Размытие по Гауссу

Тип размытия изображения, создаваемый функцией Гаусса.

Разница между маленьким и большим размытием по Гауссу

При обработке изображений размытие по Гауссу (также известное как сглаживание по Гауссу ) является результатом размытия изображения с помощью функции Гаусса (названной в честь математика и ученого Карла Фридриха Гаусса ).

Это широко используемый эффект в графическом программном обеспечении, обычно для уменьшения шума изображения и уменьшения детализации. Визуальный эффект этого метода размытия представляет собой плавное размытие, напоминающее просмотр изображения через полупрозрачный экран, заметно отличающееся от эффекта боке , создаваемого расфокусированной линзой или тени объекта при обычном освещении.

Сглаживание по Гауссу также используется в качестве этапа предварительной обработки в алгоритмах компьютерного зрения для улучшения структур изображений в разных масштабах — см. представление масштабного пространства и реализация масштабного пространства .

Математика

Математически применение размытия по Гауссу к изображению аналогично свертке изображения с помощью функции Гаусса . Это также известно как двумерное преобразование Вейерштрасса . Напротив, свертка по кругу (т. е. размытие в виде круглой рамки ) более точно воспроизведет эффект боке .

Поскольку преобразование Фурье гауссиана является другим гауссианом, применение размытия по Гауссу приводит к уменьшению высокочастотных компонентов изображения; Таким образом, размытие по Гауссу является фильтром нижних частот .

Полутоновый отпечаток становится гладким благодаря размытию по Гауссу .

Размытие по Гауссу — это тип фильтра размытия изображения, который использует функцию Гаусса (которая также выражает нормальное распределение в статистике) для расчета преобразования , применяемого к каждому пикселю изображения. Формула функции Гаусса в одном измерении:

$${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$

В двух измерениях это произведение двух таких гауссовских функций, по одной в каждом измерении: ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$

xyσстандартное отклонениеконцентрические круги

Значения из этого распределения используются для построения матрицы свертки , которая применяется к исходному изображению. Этот процесс свертки визуально проиллюстрирован на рисунке справа. Новое значение каждого пикселя устанавливается как средневзвешенное значение окрестности этого пикселя. Значение исходного пикселя получает наибольший вес (имеющее наибольшее значение Гаусса), а соседние пиксели получают меньшие веса по мере увеличения их расстояния до исходного пикселя. В результате получается размытие, которое сохраняет границы и края лучше, чем другие, более равномерные фильтры размытия; см. также реализацию масштабирования пространства .

Теоретически функция Гаусса в каждой точке изображения будет ненулевой, а это означает, что в расчеты для каждого пикселя необходимо будет включить все изображение. На практике при вычислении дискретной аппроксимации функции Гаусса пиксели на расстоянии более 3 σ оказывают достаточно небольшое влияние , чтобы считаться фактически нулевым. Таким образом, вклад пикселей за пределами этого диапазона можно игнорировать. Обычно программе обработки изображений достаточно вычислить матрицу с размерами × (где – функция потолка ), чтобы обеспечить результат, достаточно близкий к результату, полученному с помощью всего распределения Гаусса. ${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$ ${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$ ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

Помимо круговой симметрии, размытие по Гауссу может применяться к двумерному изображению как два независимых одномерных расчета, поэтому его называют разделяемым фильтром . То есть эффекта от применения двумерной матрицы можно также достичь, применив ряд одномерных гауссовских матриц в горизонтальном направлении, а затем повторив процесс в вертикальном направлении. В вычислительном плане это полезное свойство, поскольку расчет может выполняться во времени (где h — высота, а w — ширина; см . обозначение Big O ), в отличие от неразделимого ядра. ${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)+O\left(h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$ ${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$

Применение последовательного размытия по Гауссу к изображению имеет тот же эффект, что и применение одного, более крупного размытия по Гауссу, радиус которого равен квадратному корню из суммы квадратов фактически примененных радиусов размытия. Например, применение последовательного размытия по Гауссу с радиусами 6 и 8 дает те же результаты, что и применение одного размытия по Гауссу радиусом 10, поскольку . Из-за этой взаимосвязи время обработки невозможно сэкономить, моделируя размытие по Гауссу с последовательными меньшими размытиями — необходимое время будет, по крайней мере, таким же большим, как при выполнении одного большого размытия. ${\displaystyle {\sqrt {6^{2}+8^{2}}}=10}$

Два уменьшенных изображения Флага Содружества Наций . Перед уменьшением масштаба к нижнему изображению применялось размытие по Гауссу, но не к верхнему. Размытие делает изображение менее резким, но предотвращает образование артефактов наложения муара .

Размытие по Гауссу обычно используется при уменьшении размера изображения. При понижении разрешения изображения перед повторной дискретизацией обычно к нему применяется фильтр нижних частот. Это необходимо для того, чтобы в изображении с пониженной дискретизацией не появлялась ложная высокочастотная информация ( алиасинг ). Размытие по Гауссу имеет хорошие свойства, например, отсутствие резких краев и, следовательно, не вносит звон в отфильтрованное изображение.

Фильтр нижних частот

Размытие по Гауссу — это фильтр нижних частот , ослабляющий высокочастотные сигналы. ^[3]

Его амплитудный график Боде ( логарифмический масштаб в частотной области ) представляет собой параболу .

Уменьшение дисперсии

Насколько фильтр Гаусса со стандартным отклонением сглаживает изображение? Другими словами, насколько это уменьшает стандартное отклонение значений пикселей на изображении? Предположим ^, что значения пикселей в оттенках серого имеют стандартное отклонение , тогда после применения фильтра уменьшенное стандартное отклонение можно ^{аппроксимировать как} ${\displaystyle \sigma _{f}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{r}}$

$${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{f}2{\sqrt {\pi }}}}.}$$

Пример гауссовой матрицы

Эта выборочная матрица создается путем выборки ядра гауссовского фильтра (с σ = 0,84089642) в средних точках каждого пикселя и последующей нормализации. Центральный элемент (в [0, 0]) имеет наибольшее значение, уменьшающееся симметрично по мере увеличения расстояния от центра. Поскольку начало ядра фильтра находится в центре, матрица начинается и заканчивается там , где R равно радиусу ядра. ${\textstyle G(-R,-R)}$ ${\textstyle G(R,R)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00038771&0.01330373&0.11098164&{\textbf {0.22508352}}&0.11098164&0.01330373&0.00038771\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\end{bmatrix}}}$$

Элемент 0,22508352 (центральный) в 1177 раз больше элемента 0,00019117, который находится сразу за пределами 3σ.

Выполнение

Эффект размытия по Гауссу обычно создается путем свертки изображения с КИХ- ядром гауссовских значений.

На практике лучше всего воспользоваться свойством отделяемости размытия по Гауссу, разделив процесс на два прохода. На первом проходе одномерное ядро ​​используется для размытия изображения только в горизонтальном или вертикальном направлении. На втором проходе то же одномерное ядро ​​используется для размытия в оставшемся направлении. Итоговый эффект аналогичен свертке с двумерным ядром за один проход, но требует меньше вычислений.

Дискретизация обычно достигается путем выборки ядра гауссовского фильтра в дискретных точках, обычно в положениях, соответствующих средним точкам каждого пикселя. Это снижает вычислительные затраты, но для очень маленьких ядер фильтра точечная выборка функции Гаусса с очень небольшим количеством выборок приводит к большой ошибке. В этих случаях точность поддерживается (при небольших вычислительных затратах) за счет интегрирования функции Гаусса по площади каждого пикселя. ^[4]

При преобразовании непрерывных значений гауссианы в дискретные значения, необходимые для ядра, сумма значений будет отличаться от 1. Это приведет к затемнению или осветлению изображения. Чтобы исправить это, значения можно нормализовать, разделив каждый член ядра на сумму всех членов ядра.

Гораздо лучший и теоретически более обоснованный подход состоит в том, чтобы вместо этого выполнять сглаживание с помощью дискретного аналога ядра Гаусса ^[5] , который обладает теми же свойствами в дискретной области, что и делает непрерывное ядро ​​Гаусса специальным в непрерывной области, например , ядро, соответствующее решению уравнения диффузии, описывающего процесс пространственного сглаживания, подчиняющегося свойству полугруппы при добавлении дисперсии ядра или описывающего эффект броуновского движения в пространственной области, и с суммой его значения в точности равны 1. Более подробное описание дискретного аналога ядра Гаусса см. в статье о реализации в масштабном пространстве и . ^[5]

Эффективность FIR снижается при высоких сигмах. Альтернативы КИХ-фильтру существуют. К ним относятся очень быстрое размытие нескольких блоков , быстрый и точный детектор краев IIR Deriche , «стековое размытие», основанное на размытии блока, и многое другое. ^[6]

Временно-причинное временное сглаживание

Для обработки предварительно записанных временных сигналов или видео ядро ​​Гаусса также можно использовать для сглаживания временной области, поскольку данные предварительно записаны и доступны во всех направлениях. Однако при обработке временных сигналов или видео в ситуациях реального времени ядро ​​Гаусса нельзя использовать для временного сглаживания, поскольку оно будет иметь доступ к данным из будущего, которые, очевидно, не могут быть доступны. Для временного сглаживания в ситуациях реального времени вместо этого можно использовать временное ядро, называемое ядром причинно-временного предела ^[7] , которое обладает аналогичными свойствами в ситуации, обусловленной временем (несоздание новых структур в сторону увеличения масштаба и ковариация временного масштаба), как подчиняется гауссово ядро ​​в непричинном случае. Ядро временного предела соответствует свертке с бесконечным числом усеченных экспоненциальных ядер, связанных каскадом, со специально выбранными постоянными времени. Для дискретных данных это ядро ​​часто может быть хорошо аппроксимировано численно небольшим набором рекурсивных фильтров первого порядка, соединенных каскадом, более подробную информацию см. в ^{[7] .}

Обычное использование

Это показывает, как сглаживание влияет на обнаружение краев. При большем сглаживании обнаруживается меньше краев.

Обнаружение края

Сглаживание по Гауссу обычно используется при обнаружении границ . Большинство алгоритмов обнаружения краев чувствительны к шуму; 2D фильтр Лапласа, построенный на основе дискретизации оператора Лапласа , очень чувствителен к шумной среде.

Использование фильтра размытия по Гауссу перед обнаружением краев направлено на снижение уровня шума в изображении, что улучшает результат следующего алгоритма обнаружения краев. Этот подход обычно называют лапласианом Гаусса или фильтрацией LoG. ^[8]

Фотография

Цифровые камеры более низкого уровня , в том числе многие камеры мобильных телефонов , обычно используют размытие по Гауссу ^{[ нужна ссылка ]} для скрытия шума изображения , вызванного более высокой светочувствительностью ISO .

Размытие по Гауссу автоматически применяется при постобработке фотографии программным обеспечением камеры, что приводит к необратимой потере деталей. ^{[9] [ нужен лучший источник ]}

Смотрите также

• Разница гауссиан
• Шум изображения
• Гауссов фильтр
• Гауссова пирамида
• Бесконечная импульсная характеристика (БИХ)
• Масштабирование пространственной реализации
• Медианный фильтр
• Преобразование Вейерштрасса

Примечания и ссылки

1. Шапиро, Л.Г. и Стокман, Г.К.: «Компьютерное зрение», стр. 137, 150. Прентис Холл, 2001 г.
2. Марк С. Никсон и Альберто С. Агуадо. Извлечение признаков и обработка изображений . Академическое издательство, 2008, с. 88.
3. Р.А. Хаддад и А.Н. Акансу, «Класс быстрых гауссовских биномиальных фильтров для обработки речи и изображений», Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том. 39, стр. 723–727, март 1991 г.
4. Эрик Рейнхард. Визуализация с высоким динамическим диапазоном: сбор данных, отображение и освещение на основе изображения . Морган Кауфманн, 2006, стр. 233–234.
5. Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.
6. Гетрёйер, Паскаль (17 декабря 2013 г.). «Обзор алгоритмов гауссовой свертки». Обработка изображений в режиме онлайн . 3 : 286–310. дои : 10.5201/ipol.2013.87 .(код документа)
7. Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинно-временное и рекурсивное по времени масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошлого времени». Биологическая кибернетика . 117 (1–2): 21–59. дои : 10.1007/s00422-022-00953-6 . ПМЦ 10160219 . ПМИД  36689001.  
8. Фишер, Перкинс, Уокер и Вольфарт (2003). «Пространственные фильтры — Лапласиан Гаусса» . Проверено 13 сентября 2010 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Риттер, Франк (24 октября 2013 г.). «Камеры для смартфонов: Warum gute Fotos zu schießen nicht mehr ausreicht [Комментарий]». ГИГА (на немецком языке). Телевидение ГИГА . Проверено 20 сентября 2020 г. Bei Fotos, умирает в der Nacht entstanden sind, dominiert Pixelmatsch.

Внешние ссылки

• GLSL-реализация разделимого фильтра размытия по Гауссу.
• Пример размытия по Гауссу (фильтрация нижних частот), примененного к гравюре и гравюре с целью удаления деталей для сравнения изображений.
• Функция Mathematica GaussianFilter

• Функция OpenCV (C++) GaussianBlur