Распределение Каниадакиса по Гауссу

Continuous probability distribution

Распределение Гаусса Каниадакиса (также известное как κ -распределение Гаусса) представляет собой распределение вероятностей , которое возникает как обобщение распределения Гаусса в результате максимизации энтропии Каниадакиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров κ -распределения Каниадакиса . Распределение κ-Гаусса успешно применялось для описания нескольких сложных систем в экономике, ^[1] геофизике, ^[2] астрофизике и многих других.

κ-Гауссово распределение является частным случаем κ-обобщенного гамма-распределения . ^[3]

Определения

Функция плотности вероятности

Общий вид центрированной κ -гауссовской функции плотности вероятности Каниадакиса следующий: ^[3]

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=Z_{\kappa }\exp _{\kappa }(-\beta x^{2})}$

где - индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса , - параметр масштаба, и ${\displaystyle |\kappa |<1}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle Z_{\kappa }={\sqrt {\frac {2\beta \kappa }{\pi }}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}}$

– константа нормализации.

Стандартное нормальное распределение восстанавливается в пределе ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения κ -гауссова распределения определяется выражением

${\displaystyle F_{\kappa }(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\textrm {erf}}_{\kappa }{\big (}{\sqrt {\beta }}x{\big )}}$

где

${\displaystyle {\textrm {erf}}_{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt}$

- функция Каниадакиса κ -Error, которая является обобщением обычной функции ошибки как . ${\displaystyle {\textrm {erf}}(x)}$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Характеристики

Моменты, среднее значение и дисперсия

Центрированное κ -гауссово распределение имеет момент нечетного порядка, равный нулю, включая среднее.

Дисперсия конечна для и определяется выражением: ${\displaystyle \kappa <2/3}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta }}{\frac {2+\kappa }{2-\kappa }}{\frac {4\kappa }{4-9\kappa ^{2}}}\left[{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}\right)}}\right]^{2}}$

Куртозис

Эксцесс центрированного κ -гауссова распределения можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {X^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}$

который можно записать как

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {2Z_{\kappa }}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{4}\,\exp _{\kappa }\left(-\beta x^{2}\right)dx}$

Таким образом, эксцесс центрированного κ -гауссова распределения определяется выражением:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3{\sqrt {\pi }}Z_{\kappa }}{2\beta ^{2/3}\sigma _{\kappa }^{4}}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}}$

или

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3\beta ^{11/6}{\sqrt {2\kappa }}}{2}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}\left({\frac {2-\kappa }{2+\kappa }}\right)^{2}\left({\frac {4-9\kappa ^{2}}{4\kappa }}\right)^{2}\left[{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\right]^{3}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}}$

κ-функция ошибки

Функция κ -Error Каниадакиса (или функция κ -Error ) представляет собой однопараметрическое обобщение обычной функции ошибок, определяемой как: ^[3]

${\displaystyle \operatorname {erf} _{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt}$

Хотя функцию ошибок нельзя выразить через элементарные функции, обычно используются численные приближения.

Для случайной величины X , распределенной в соответствии с κ-гауссовым распределением со средним значением 0 и стандартным отклонением , функция κ-Error означает вероятность того, что X попадает в интервал . ${\displaystyle {\sqrt {\beta }}}$ ${\displaystyle [-x,\,x]}$

Приложения

Распределение κ -Гаусса применялось в нескольких областях, таких как:

• В экономике κ-гауссово распределение применялось при анализе финансовых моделей , точно отражающих динамику процессов экстремальных изменений цен на акции . ^[4]
• В обратных задачах законы ошибок в экстремальной статистике надежно представлены κ-гауссовскими распределениями. ^{[2] [5] [6]}
• В астрофизике данные об остаточных лучевых скоростях звезд имеют статистическое распределение гауссовского типа, в котором индекс K имеет сильную связь с возрастом звездных скоплений. ^{[7] [8]}
• В ядерной физике исследование функции доплеровского уширения в ядерных реакторах хорошо описывается κ-гауссовским распределением для анализа взаимодействия нейтрона с ядрами. ^{[9] [10]}
• В космологии — за интерпретацию динамической эволюции Вселенной Фридмана–Робертсона–Уокера .
• В физике плазмы — для анализа распределения электронов в электронно-акустических двойных слоях ^[11] и дисперсии ленгмюровских волн . ^[12]

Смотрите также

• Джорджио Каниадакис
• Статистика Каниадакиса
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Каниадакиса κ-Эрланга

Рекомендации

1. Моретто, Энрико; Паскуали, Сара; Тривеллато, Барбара (2017). «Негауссова модель ценообразования опционов, основанная на экспоненциальной деформации Каниадакиса». Европейский физический журнал Б. 90 (10): 179. Бибкод : 2017EPJB...90..179M. doi : 10.1140/epjb/e2017-80112-x. ISSN  1434-6028. S2CID  254116243.
2. да Силва, Серхио Луис EF; Карвалью, Педро Тьяго К.; де Араужу, Жуан М.; Корсо, Жилберто (27 мая 2020 г.). «Полноволновая инверсия на основе статистики Каниадакиса». Физический обзор E . 101 (5): 053311. Бибкод : 2020PhRvE.101e3311D. doi : 10.1103/PhysRevE.101.053311. ISSN  2470-0045. PMID  32575242. S2CID  219746493.
3. Каниадакис, Г. (01 января 2021 г.). «Новые степенные распределения, возникающие в κ-статистике (а)». Письма по еврофизике . 133 (1): 10002. arXiv : 2203.01743 . Бибкод : 2021EL....13310002K. дои : 10.1209/0295-5075/133/10002. ISSN  0295-5075. S2CID  234144356.
4. Моретто, Энрико; Паскуали, Сара; Тривеллато, Барбара (2017). «Негауссова модель ценообразования опционов, основанная на экспоненциальной деформации Каниадакиса». Европейский физический журнал Б. 90 (10): 179. Бибкод : 2017EPJB...90..179M. doi : 10.1140/epjb/e2017-80112-x. ISSN  1434-6028. S2CID  254116243.
5. Вада, Тацуаки; Суяри, Хироки (2006). «κ-обобщение закона ошибки Гаусса». Буквы по физике А. 348 (3–6): 89–93. arXiv : cond-mat/0505313 . Бибкод : 2006PhLA..348...89Вт. doi :10.1016/j.physleta.2005.08.086. S2CID  119003351.
6. да Силва, Серхио Луис EF; Сильва, Р.; дос Сантос Лима, Густаво З.; де Араужу, Жуан М.; Корсо, Жилберто (2022). «Устойчивый к выбросам κ -обобщенный подход для надежной оценки физических параметров». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 600 : 127554. arXiv : 2111.09921 . Бибкод : 2022PhyA..60027554D. doi :10.1016/j.physa.2022.127554. S2CID  248803855.
7. Карвальо, JC; Сильва, Р.; до Насименту-младший, доктор юридических наук; Соарес, Б.Б.; Де Медейрос-младший (1 сентября 2010 г.). «Наблюдательные измерения рассеянных звездных скоплений: проверка статистики Каниадакиса и Тсаллиса». EPL (Письма по еврофизике) . 91 (6): 69002. Бибкод : 2010EL.....9169002C. дои : 10.1209/0295-5075/91/69002. ISSN  0295-5075. S2CID  120902898.
8. Карвальо, JC; Сильва, Р.; до Насименту-младший, доктор юридических наук; Де Медейрос-младший (2008). «Степенная статистика и скорости вращения звезд в Плеядах». EPL (Письма по еврофизике) . 84 (5): 59001. arXiv : 0903.0836 . Бибкод : 2008EL.....8459001C. дои : 10.1209/0295-5075/84/59001. ISSN  0295-5075. S2CID  7123391.
9. Гедес, Гильерме; Гонсалвес, Алессандро К.; Пальма, Дэниел А.П. (2017). «Функция доплеровского расширения с использованием распределения Каниадакиса». Летопись атомной энергетики . 110 : 453–458. doi :10.1016/j.anucene.2017.06.057.
10. де Абреу, Виллиан В.; Гонсалвес, Алессандро К.; Мартинес, Акилино С. (2019). «Аналитическое решение функции доплеровского уширения с использованием распределения Каниадакиса». Летопись атомной энергетики . 126 : 262–268. doi :10.1016/j.anucene.2018.11.023. S2CID  125724227.
11. Гугам, Лейла Айт; Трибеш, Мулуд (2016). «Электронно-акустические волны в плазме с κ-деформированным распределением электронов Каниадакиса». Физика плазмы . 23 (1): 014501. Бибкод : 2016PhPl...23a4501G. дои : 10.1063/1.4939477. ISSN  1070-664X.
12. Чен, Х.; Чжан, SX; Лю, SQ (2017). «Продольные плазменные моды κ -деформированной распределенной плазмы Каниадакиса». Физика плазмы . 24 (2): 022125. Бибкод : 2017PhPl...24b2125C. дои : 10.1063/1.4976992. ISSN  1070-664X.

Внешние ссылки

• Статистика Каниадакиса на arXiv.org