Распределение заусенцев

В теории вероятностей , статистике и эконометрике распределение Берра типа XII или просто распределение Берра ^[2] представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . Оно также известно как распределение Сингха–Маддалы ^[3] и является одним из ряда различных распределений, иногда называемых «обобщенным лог-логистическим распределением ».

Определения

Функция плотности вероятности

Распределение Берра (тип XII) имеет функцию плотности вероятности : ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

Параметр масштабирует базовую переменную и является положительным действительным числом. ${\displaystyle \lambda }$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения имеет вид:

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Приложения

Чаще всего он используется для моделирования дохода домохозяйства , см., например: Доход домохозяйства в США и сравните с пурпурным графиком справа.

Генерация случайных величин

Дана случайная величина, взятая из равномерного распределения в интервале , случайная величина ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(0,1\right)}$

${\displaystyle X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}}$

имеет распределение типа Берра XII с параметрами , и . Это следует из обратной кумулятивной функции распределения, приведенной выше. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Связанные дистрибутивы

• При c = 1 распределение Бёрра становится распределением Ломакса .

• Когда k = 1, распределение Берра является логарифмически-логистическим распределением, иногда называемым распределением Фиска , частным случаем распределения Чамперноуна . ^{[6] [7]}

• Распределение типа XII Берра является элементом системы непрерывных распределений, введенной Ирвингом У. Берром (1942), которая включает 12 распределений. ^[8]

• Распределение Дагума , также известное как обратное распределение Берра, представляет собой распределение 1 / X , где X имеет распределение Берра

Ссылки

1. Nadarajah, S.; Pogány, TK; Saxena, RK (2012). «О характеристической функции для распределений Берра». Статистика . 46 (3): 419–428. doi :10.1080/02331888.2010.513442. S2CID  120848446.
2. Burr, IW (1942). "Функции кумулятивной частоты". Annals of Mathematical Statistics . 13 (2): 215–232. doi : 10.1214/aoms/1177731607 . JSTOR  2235756.
3. Сингх, С.; Маддала, Г. (1976). «Функция распределения доходов по размеру». Econometrica . 44 (5): 963–970. doi :10.2307/1911538. JSTOR  1911538.
4. Маддала, GS (1996) [1983]. Ограниченно-зависимые и качественные переменные в эконометрике . Cambridge University Press. ISBN 0-521-33825-5.
5. Тадикамалла, Панду Р. (1980), «Взгляд на Burr и связанные с ним распределения», International Statistical Review , 48 (3): 337–344, doi : 10.2307/1402945, JSTOR  1402945
6. C. Kleiber и S. Kotz (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках . Нью-Йорк: Wiley.См. разделы 7.3 «Распределение Чамперноуна» и 6.4.1 «Распределение Фиска».
7. Чамперноун, Д. Г. (1952). «Градуировка распределения доходов». Econometrica . 20 (4): 591–614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
8. См. Клейбер и Котц (2003), Таблица 2.4, стр. 51, «Распределения Берра».

Дальнейшее чтение

• Родригес, Р. Н. (1977). «Руководство по распределениям типа XII Берра». Biometrika . 64 (1): 129–134. doi :10.1093/biomet/64.1.129.

Внешние ссылки

• Джон (16.02.2023). "Другие дистрибутивы Burr". www.johndcook.com .