Расстояние между двумя параллельными прямыми

Задача по координатной геометрии

Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости — это минимальное расстояние между любыми двумя точками .

Формула и доказательство

Поскольку линии параллельны, перпендикулярное расстояние между ними является константой, поэтому не имеет значения, какая точка выбрана для измерения расстояния. Учитывая уравнения двух невертикальных параллельных линий

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

расстояние между двумя прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих прямых с перпендикулярной прямой

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Это расстояние можно найти, решив сначала линейные системы

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

чтобы получить координаты точек пересечения. Решениями линейных систем являются точки

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

и

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

Расстояние между точками равно

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

что сводится к

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Когда линии даны

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

расстояние между ними можно выразить как

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Смотрите также

• Расстояние от точки до линии

Ссылки

• Воздержался в: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3 , стр. 17–19 (немецкий)
• Хардт Кремер, Рольф Хевельманн, Инго Клемиш: Analytische Geometry und Lineare Akgebra . Дистервег, 1988, ISBN 3-425-05301-9 , стр. 298 (немецкий) 

Внешние ссылки

• Флориан Модлер: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, стр. 44-59 (немецкий)
• А. Дж. Хобсон: «ПРОСТО МАТЕМАТИКА» — НОМЕР БЛОКА 8.5 — ВЕКТОРЫ 5 (Векторные уравнения прямых линий), стр. 8-9