Расстояние от точки до линии

Задача по геометрии

Расстояние (или перпендикулярное расстояние ) от точки до прямой — это кратчайшее расстояние от фиксированной точки до любой точки на фиксированной бесконечной прямой в евклидовой геометрии . Это длина отрезка прямой , соединяющего точку с прямой и перпендикулярного прямой. Формулу для ее вычисления можно вывести и выразить несколькими способами.

Знание кратчайшего расстояния от точки до линии может быть полезным в различных ситуациях, например, для поиска кратчайшего расстояния до дороги, количественной оценки разброса на графике и т. д. В регрессии Деминга , типе подгонки линейной кривой, если зависимые и независимые переменные имеют одинаковую дисперсию, это приводит к ортогональной регрессии , в которой степень несовершенства подгонки измеряется для каждой точки данных как перпендикулярное расстояние точки от линии регрессии.

Декартовы координаты

Линия, определяемая уравнением

В случае прямой на плоскости, заданной уравнением ax + by + c = 0, где a , b и c — действительные константы, причем _a и b оба не _равны нулю, расстояние от прямой до точки ( x0 , y0 ) равно ^{[1] [2] : стр.14}

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Точка на этой линии, которая ближе всего к ( x ₀ , y ₀ ), имеет координаты: ^[3]

${\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Горизонтальные и вертикальные линии

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0, a и b не могут оба быть равны нулю, если только c также не равно нулю, в этом случае уравнение не определяет прямую. Если a  = 0 и b  ≠  0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = - c / b . Расстояние от ( x ₀ , y ₀ ) до этой прямой измеряется вдоль вертикального отрезка длиной | y ₀ - (- c / b )| = | by ₀ + c | / | b | в соответствии с формулой. Аналогично, для вертикальных прямых ( b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно | ax ₀ + c | / | a |, измеренное вдоль горизонтального отрезка.

Линия, определяемая двумя точками

Если прямая проходит через две точки P ₁ =( x ₁ , y ₁ ) и P ₂ =( x ₂ , y ₂ ), то расстояние (x ₀ ,y ₀ ) от прямой равно:

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}$

Знаменатель этого выражения — расстояние между P ₁ и P ₂ . Числитель — удвоенная площадь треугольника с вершинами в трех точках (x ₀ ,y ₀ ), P ₁ и P ₂ . См.: Площадь треугольника § Использование координат . Выражение эквивалентно , которое можно получить, переставив стандартную формулу для площади треугольника: , где b — длина стороны, а h — перпендикулярная высота из противолежащей вершины. ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство справедливо только в том случае, если линия не является ни вертикальной, ни горизонтальной, то есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении линии не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон - a / b , поэтому любая перпендикулярная ей прямая будет иметь наклон b / a (отрицательная обратная величина). Пусть ( m , n ) будет точкой пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной ей прямой, которая проходит через точку ( x ₀ , y ₀ ). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, поэтому

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}$

Таким образом, возводя это уравнение в квадрат, получаем: ${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}$

Теперь подумайте,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}$

используя квадратное уравнение выше. Но у нас также есть,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

так как ( m , n ) находится на ax + by + c = 0. Таким образом,

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

и мы получаем длину отрезка прямой, определяемого этими двумя точками,

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$^[4]

Геометрическое доказательство

Диаграмма для геометрического доказательства

Это доказательство справедливо только в том случае, если линия не горизонтальна и не вертикальна. ^[5]

Опустите перпендикуляр из точки P с координатами ( x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначьте основание _{перпендикуляра} R. Проведите вертикальную прямую через P и обозначьте ее пересечение с данной прямой S. _В любой точке T на прямой начертите прямоугольный треугольник TVU, боковыми сторонами которого являются горизонтальные и вертикальные отрезки с гипотенузой TU на данной прямой и горизонтальной стороной длиной | B | (см. рисунок). Вертикальная сторона ∆ TVU будет иметь длину | A |, так как прямая имеет наклон -A / B .

∆ PRS и ∆ TVU являются подобными треугольниками , поскольку они оба прямоугольные, и ∠ PSR ≅ ∠ TUV, поскольку они являются соответствующими углами трансверсали к параллельным прямым PS и UV (обе являются вертикальными прямыми). ^[6] Соответствующие стороны этих треугольников находятся в одинаковом соотношении, поэтому:

${\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}$

Если точка S имеет координаты ( x ₀ , m ), то | PS | = | y ₀ - m | и расстояние от P до прямой равно:

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

и наконец получаем: ^[7]

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Разновидностью этого доказательства является размещение V в точке P и вычисление площади треугольника ∆ UVT двумя способами, чтобы получить это, где D — высота ∆ UVT, проведенная к гипотенузе ∆ UVT из точки P. Затем формулу расстояния можно использовать для выражения , , и через координаты точки P и коэффициенты уравнения прямой, чтобы получить указанную формулу. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {TU}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {VU}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {VT}}|}$

Доказательство векторной проекции

Диаграмма для доказательства векторной проекции

Пусть P будет точкой с координатами ( x ₀ , y ₀ ) и пусть данная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Также пусть Q = ( x ₁ , y ₁ ) будет любой точкой на этой прямой, а n — вектором ( a , b ), начинающимся в точке Q . Вектор n перпендикулярен прямой, а расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции на n . Длина этой проекции определяется по формуле: ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}$

${\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}$

Сейчас,

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$так и ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

таким образом

${\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Так как Q — точка на прямой, то и, следовательно, ^[8] ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}$

${\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Другая формула

Можно составить другое выражение для нахождения кратчайшего расстояния от точки до прямой. Этот вывод также требует, чтобы прямая не была ни вертикальной, ни горизонтальной.

Точка P задана координатами ( ). Уравнение прямой задается выражением . Уравнение нормали к прямой, проходящей через точку P, задается выражением . ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ ${\displaystyle y=mx+k}$ ${\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}$

Точка пересечения этих двух прямых является ближайшей точкой исходной прямой к точке P. Следовательно:

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}$

Мы можем решить это уравнение относительно x ,

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}$

Координату y точки пересечения можно найти, подставив это значение x в уравнение исходной линии,

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}$

Используя уравнение для нахождения расстояния между двумя точками, мы можем вывести, что формула для нахождения кратчайшего расстояния между линией и точкой выглядит следующим образом: ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}$

Вспоминая, что m = - a / b и k = - c / b для линии с уравнением ax + by + c = 0, небольшое алгебраическое упрощение сводит это к стандартному выражению. ^[9]

Векторная формулировка

Иллюстрация векторной формулировки.

Уравнение прямой можно задать в векторной форме:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$

Здесь a — положение точки на линии, а n — единичный вектор в направлении линии. Тогда при изменении скаляра t x дает геометрическое место линии.

Расстояние произвольной точки p до этой прямой определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

Эту формулу можно вывести следующим образом: — вектор из p в точку a на прямой. Тогда — проецируемая длина на прямую и т. д. ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ ${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

вектор, который является проекцией на линию. Таким образом ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

является компонентом перпендикуляра к прямой. Расстояние от точки до прямой тогда является просто нормой этого вектора. ^[10] Эта более общая формула не ограничивается двумя измерениями. ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$

Другая векторная формулировка

Если линия ( l  ) проходит через точку A и имеет направляющий вектор , то расстояние между точкой P и линией ( l ) равно ${\displaystyle {\vec {u}}}$

${\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

где — векторное произведение векторов и , а где — векторная норма . ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Обратите внимание, что перекрестные произведения существуют только в размерностях 3 и 7 и, что тривиально, в размерностях 0 и 1 (где перекрестное произведение является константой 0).

Смотрите также

• Нормальная форма Гессе
• Пересечение линий
• Расстояние между двумя линиями
• Расстояние от точки до плоскости
• Наклонные линии#Расстояние

Примечания

1. Ларсон и Хостетлер 2007, стр. 452
2. Испания 2007
3. Ларсон и Хостетлер 2007, стр. 522
4. Между определенностью и неопределенностью: статистика и вероятность в пяти частях с примечаниями об историческом происхождении и наглядными числовыми примерами
5. Баллантайн и Джерберт 1952 не упоминают это ограничение в своей статье.
6. Если два треугольника находятся по разные стороны прямой, то эти углы равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами.
7. Баллантайн и Джерберт 1952
8. Антон 1994, стр. 138-9
9. Ларсон и Хостетлер 2007, стр. 522
10. Воскресенье, Дэн. "Линии и расстояние от точки до линии". softSurfer . Получено 6 декабря 2013 г.

Ссылки

• Антон, Говард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Баллантайн, Дж. П.; Джерберт, А. Р. (1952), «Расстояние от линии или плоскости до точки», American Mathematical Monthly , 59 : 242–243, doi : 10.2307/2306514
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: A Concise Course , Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
• Спейн, Барри (2007) [1957], Аналитические конические сечения , Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7

Дальнейшее чтение

• Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2013), Энциклопедия расстояний (2-е изд.), Springer, стр. 86, ISBN 9783642309588