Маятник Катера

Реверсивный свободно качающийся маятник

Оригинальный маятник Катера, показывающий использование, из статьи Катера 1818 года. Период маятника измерялся путем сравнения его колебаний с маятником в прецизионных часах позади него. Прицел (слева) использовался для избежания ошибки параллакса .

Маятник Катера — это реверсивный свободно качающийся маятник , изобретенный британским физиком и капитаном армии Генри Катером в 1817 году (опубликован 29 января 1818 года) ^[1] для использования в качестве гравиметрического прибора для измерения локального ускорения силы тяжести . Его преимущество в том, что, в отличие от предыдущих маятниковых гравиметров, центр тяжести маятника и центр колебаний не нужно определять, что обеспечивает большую точность. В течение примерно столетия, до 1930-х годов, маятник Катера и его различные усовершенствования оставались стандартным методом измерения силы земного притяжения во время геодезических исследований. В настоящее время он используется только для демонстрации принципов маятника.

Описание

Маятник можно использовать для измерения ускорения свободного падения g, поскольку при узких колебаниях период его колебаний T зависит только от g и его длины L : ^[2]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Таким образом, измерив длину L и период T маятника, можно вычислить g .

Маятник Катера состоит из жесткого металлического стержня с двумя точками поворота, по одной около каждого конца стержня. Он может быть подвешен к любому из шарниров и качаться. Он также имеет либо регулируемый груз, который можно перемещать вверх и вниз по стержню, либо один регулируемый шарнир, чтобы регулировать периоды качания. При использовании он качается на одном шарнире, и период измеряется , а затем переворачивается вверх дном и качается на другом шарнире, и период измеряется. Подвижный груз (или шарнир) регулируется до тех пор, пока два периода не станут равными. В этой точке период T равен периоду «идеального» простого маятника, длина которого равна расстоянию между шарнирами. Из периода и измеренного расстояния L между шарнирами ускорение свободного падения можно рассчитать с большой точностью по уравнению (1) выше.

Ускорение свободного падения маятника Катера определяется по формуле: ^[3]

${\displaystyle g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{\ell _{1}+\ell _{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{\ell _{1}-\ell _{2}}}}}}$

где T ₁ и T ₂ — периоды времени колебаний, когда он подвешен к K ₁ и K ₂ соответственно, а ℓ ₁ и ℓ ₂ — расстояния режущих кромок K ₁ и K ₂ от центра тяжести соответственно.

История

Измерение силы тяжести с помощью маятников

Маятник Катера и подставка

Первым человеком, обнаружившим, что гравитация меняется по поверхности Земли, был французский ученый Жан Рише , который в 1671 году был отправлен в экспедицию в Кайенну , Французская Гвиана , Французской академией наук , где ему было поручено провести измерения с помощью маятниковых часов . Благодаря наблюдениям, которые он провел в следующем году, Рише определил, что часы были 2+на 1 ⁄ 2 минуты в день медленнее, чем в Париже, или эквивалентно длине маятника с колебанием в одну секунду там было 1+1 ⁄ 4 парижских линий , или 2,6 мм, короче, чем в Париже. ^{[4] [5]} Ученые того времени поняли и доказали Исааком Ньютоном в 1687 году, что это было связано с тем, что Земля не была идеальной сферой, а слегка сплющенной ; она была толще на экваторе из-за вращения Земли. Поскольку поверхность была дальше от центра Земли в Кайенне, чем в Париже, гравитация там была слабее. После того, как было сделано это открытие, свободно качающиеся маятники стали использоваться в качестве точных гравиметров , которые брали с собой в путешествия в разные части света для измерения локального гравитационного ускорения. Накопление географических данных о гравитации приводило к все более и более точным моделям общей формы Земли.

Маятники так широко использовались для измерения силы тяжести, что во времена Катера локальная сила тяжести обычно выражалась не значением ускорения g, которое сейчас используется, а длиной в этом месте секундного маятника , маятника с периодом в две секунды, так что каждый взмах занимает одну секунду. Из уравнения (1) видно, что для секундного маятника длина просто пропорциональна g :

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

Погрешность маятников гравиметра

Во времена Катера период маятников T можно было измерить очень точно, синхронизируя их с точными часами, установленными по прохождению звезд над головой. До открытия Катера точность измерений g была ограничена сложностью точного измерения другого фактора L , длины маятника. L в уравнении (1) выше была длиной идеального математического «простого маятника», состоящего из точечной массы, качающейся на конце безмассовой нити. Однако «длину» реального маятника, качающегося твердого тела, известного в механике как составной маятник , определить сложнее. В 1673 году голландский ученый Христиан Гюйгенс в своем математическом анализе маятников, Horologium Oscillatorium , показал, что реальный маятник имеет тот же период, что и простой маятник с длиной, равной расстоянию между точкой опоры и точкой, называемой центром колебаний , которая расположена под центром тяжести маятника и зависит от распределения массы по длине маятника. Проблема заключалась в том, что не было способа точно найти местоположение центра колебаний в реальном маятнике. Теоретически его можно было бы вычислить по форме маятника, если бы металлические части имели однородную плотность, но металлургическое качество и математические способности того времени не позволяли сделать точный расчет.

Чтобы обойти эту проблему, большинство ранних исследователей гравитации, таких как Жан Пикар (1669), Шарль Мари де ла Кондамин (1735) и Жан-Шарль де Борда (1792), аппроксимировали простой маятник, используя металлическую сферу, подвешенную на легкой проволоке. Если проволока имела незначительную массу, центр колебаний был близок к центру тяжести сферы. Но даже точное нахождение центра тяжести сферы было сложным. Кроме того, этот тип маятника по своей сути был не очень точным. Сфера и проволока не качались вперед и назад как жесткое устройство, потому что сфера приобретала небольшой угловой момент во время каждого колебания. Кроме того, проволока эластично растягивалась во время колебания маятника, слегка изменяя L во время цикла.

Решение Катера

Однако в Horologium Oscillatorium Гюйгенс также доказал, что точка опоры и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если любой маятник подвесить вверх ногами за его центр колебаний, он будет иметь тот же период колебаний, а новый центр колебаний будет старой точкой опоры. Расстояние между этими двумя сопряженными точками было равно длине простого маятника с тем же периодом.

В составе комитета, назначенного Королевским обществом в 1816 году для реформирования британских мер, Кейтер был нанят Палатой общин для точного определения длины секундного маятника в Лондоне. ^[6] Он понял, что принцип Гюйгенса может быть использован для нахождения центра колебаний, а значит, и длины L жесткого (составного) маятника. Если бы маятник был подвешен вверх ногами ко второй точке опоры, которую можно было бы регулировать вверх и вниз на стержне маятника, и вторая точка опоры была бы отрегулирована до тех пор, пока маятник не имел бы тот же период , что и при качании правой стороной вверх от первой точки опоры, вторая точка опоры была бы в центре колебаний, а расстояние между двумя точками опоры было бы L.

Катер был не первым, кому пришла в голову эта идея. ^{[7] [8]} Французский математик Гаспар де Прони впервые предложил обратимый маятник в 1800 году, но его работа была опубликована только в 1889 году. В 1811 году Фридрих Боненбергер снова открыл его, но Катер независимо изобрел его и первым применил на практике.

Рисунок маятника Катера
(a) противостоящие друг другу шарниры с остриями, на которых подвешен маятник
(b) груз точной настройки, перемещаемый регулировочным винтом
(c) груз грубой настройки, закрепленный на стержне установочным винтом
(d) грузик
(e) указатели для считывания показаний

Маятник

Катер построил маятник, состоящий из латунного стержня длиной около 2 метров, 1+1 ⁄ 2 дюйма в ширину и одну восьмую дюйма в толщину, с грузом (d) на одном конце. ^{[1] [9]} Для шарнира с низким трением он использовал пару коротких треугольных лезвий «ножа», прикрепленных к стержню. При использовании маятник подвешивался к кронштейну на стене, поддерживаемому краями лезвий ножей, покоящимися на плоских агатовых пластинах. Маятник имел два таких шарнира лезвий ножей (a) , обращенных друг к другу, примерно в метре (40 дюймах) друг от друга, так что колебание маятника занимало примерно одну секунду, когда он подвешивался к каждому шарниру.

Катер обнаружил, что, если сделать один из шарниров регулируемым, это приводит к неточностям, что затрудняет поддержание осей обоих шарниров точно параллельными. Вместо этого он постоянно прикрепил лезвия ножей к стержню и отрегулировал периоды маятника с помощью небольшого подвижного груза (b, c) на валу маятника. Поскольку гравитация изменяется максимум на 0,5% по всей Земле, а в большинстве мест гораздо меньше, вес приходилось регулировать лишь немного. Перемещение груза к одному из шарниров уменьшало период при подвешивании на этом шарнире и увеличивало период при подвешивании на другом шарнире. Это также имело то преимущество, что точное измерение расстояния между шарнирами приходилось делать только один раз.

Экспериментальная процедура

Для использования маятник подвешивался на кронштейне на стене, с шарнирами лезвия ножа, поддерживаемыми двумя небольшими горизонтальными агатовыми пластинами, перед точными маятниковыми часами для измерения периода. Сначала он качался на одном шарнире, и колебания фиксировались, затем переворачивался вверх дном и качался на другом шарнире, и колебания снова фиксировались. Маленький груз (b) регулировался регулировочным винтом, и процесс повторялся до тех пор, пока маятник не имел одинаковый период при качании на каждом шарнире. Подставляя измеренный период T и измеренное расстояние между лопастями шарнира L в уравнение периода (1), g можно было вычислить очень точно.

Катер выполнил 12 попыток. ^[1] Он очень точно измерил период своего маятника, используя часовой маятник методом совпадений ; определяя интервал между совпадениями , когда два маятника качались синхронно. Он измерил расстояние между лопастями шарнира с помощью компаратора микроскопа с точностью до 10−4 ^дюйма (2,5 мкм). Как и в случае с другими измерениями гравитации маятника, ему пришлось применить небольшие поправки к результату для ряда переменных факторов:

• ненулевая ширина размаха маятника, что увеличило период
• температура, которая привела к изменению длины стержня из-за теплового расширения
• атмосферное давление, которое уменьшало эффективную массу маятника за счет выталкивающей силы вытесненного воздуха, увеличивая период
• высота, которая уменьшала силу тяготения с расстоянием от центра Земли. Измерения силы тяжести всегда относятся к уровню моря .

Он дал свой результат как длину секундного маятника . После исправлений он обнаружил, что средняя длина солнечного секундного маятника в Лондоне, на уровне моря, при 62 °F (17 °C), качающегося в вакууме, составляла 39,1386 дюйма. Это эквивалентно ускорению свободного падения 9,81158 м/с ² . Наибольшее отклонение его результатов от среднего значения составило 0,00028 дюйма (7,1 мкм). Это представляло точность измерения силы тяжести 0,7×10 ⁻⁵ (7 миллигалов ).

В 1824 году британский парламент сделал измерение секундного маятника Катером официальным резервным стандартом длины для определения ярда, если прототип ярда будет уничтожен. ^{[10] [11] [12] [13]}

Использовать

Гравиметр с вариантом маятника Репсольда

Значительное увеличение точности измерения силы тяжести, ставшее возможным благодаря маятнику Катера, сделало гравиметрию неотъемлемой частью геодезии . Чтобы быть полезным, необходимо было найти точное местоположение (широту и долготу) «станции», где производилось измерение силы тяжести, поэтому маятниковые измерения стали частью геодезии . Маятники Катера использовались во время великих исторических геодезических съемок большей части мира, которые проводились в 19 веке. В частности, маятники Катера использовались в Великой тригонометрической съемке Индии.

Обратимые маятники оставались стандартным методом, используемым для измерения абсолютной силы тяжести, пока в 1950-х годах их не заменили гравиметры свободного падения . ^[14]

Маятник Репсольда–Бесселя

Маятник Репсольда.

Повторное измерение каждого периода маятника Катера и регулировка весов до тех пор, пока они не станут равными, отнимали много времени и были подвержены ошибкам. Фридрих Бессель в 1826 году показал, что это было ненужно. Пока периоды, измеренные от каждой точки опоры, T ₁ и T ₂ , близки по значению, период T эквивалентного простого маятника может быть вычислен из них: ^[15]

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

Здесь и — расстояния двух шарниров от центра тяжести маятника. Расстояние между шарнирами, , можно измерить с большой точностью. и , и, таким образом, их разность , нельзя измерить с сопоставимой точностью. Их можно найти, уравновесив маятник на острие ножа, чтобы найти его центр тяжести, и измерив расстояния каждого из шарниров от центра тяжести. Однако, поскольку намного меньше , второй член справа в приведенном выше уравнении мал по сравнению с первым, поэтому его не нужно определять с высокой точностью, и описанная выше процедура балансировки достаточна для получения точных результатов. ${\displaystyle h_{1}\,}$ ${\displaystyle h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}\,}$ ${\displaystyle h_{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$ ${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$

Поэтому маятник не обязательно должен быть регулируемым, он может быть просто стержнем с двумя шарнирами. Пока каждый шарнир находится близко к центру колебаний другого, так что два периода близки, период T эквивалентного простого маятника можно рассчитать с помощью уравнения (2), а гравитацию можно рассчитать из T и L с помощью (1).

Кроме того, Бессель показал, что если бы маятник был сделан симметричной формы, но с внутренним весом на одном конце, ошибка, вызванная эффектами сопротивления воздуха, была бы отменена. Кроме того, другую ошибку, вызванную ненулевым радиусом режущих кромок ножа шарнира, можно было бы сделать так, чтобы она была отменена путем перестановки режущих кромок ножа.

Бессель не построил такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией разработал симметричный маятник длиной 56 см со сменными поворотными лопастями и периодом около 3 ⁄ 4 секунды. Маятник Репсольда широко использовался Швейцарским и Российским геодезическими агентствами, а также в Обзоре Индии . Другие широко используемые маятники этой конструкции были изготовлены Чарльзом Пирсом и К. Деффоржем.

Международная ассоциация геодезии

Конференция Европейского измерения дуги 1875 года рассматривала лучший инструмент для определения силы тяжести. Ассоциация приняла решение в пользу возвратного маятника, и было решено повторить в Берлине, на станции, где Фридрих Вильгельм Бессель проводил свои знаменитые измерения, определение силы тяжести с помощью приборов различных типов, используемых в разных странах, чтобы сравнить их и, таким образом, получить уравнение их шкал, после углубленного обсуждения, в котором принял участие американский ученый Чарльз Сандерс Пирс . ^[16] Действительно, поскольку фигура Земли могла быть выведена из изменений длины секундного маятника , руководство Береговой службы Соединенных Штатов поручило Чарльзу Сандерсу Пирсу весной 1875 года отправиться в Европу с целью проведения экспериментов с маятником на главных начальных станциях для операций такого рода, чтобы связать определения сил тяжести в Америке с определениями в других частях света; а также с целью тщательного изучения методов проведения этих исследований в разных странах Европы. ^[17]

Определение силы тяжести обратимым маятником было подвержено двум типам ошибок. С одной стороны, сопротивление воздуха, а с другой стороны, движения, которые колебания маятника сообщали его плоскости подвеса. Эти движения были особенно важны для аппарата, разработанного братьями Репсольд по указаниям Бесселя, поскольку маятник имел большую массу, чтобы противодействовать эффекту вязкости воздуха. В то время как Эмиль Плантамур проводил серию экспериментов с этим устройством, Адольф Хирш нашел способ продемонстрировать движения плоскости подвеса маятника с помощью остроумного процесса оптического усиления. Исаак-Шарль Элизе Селлерье, математик из Женевы, и Чарльз Сандерс Пирс независимо друг от друга разработали формулу коррекции, которая позволила использовать наблюдения, сделанные с помощью этого типа гравиметра. ^{[18] [19]}

Президент Постоянной комиссии по измерению европейской дуги с 1874 по 1886 год, Карлос Ибаньес Ибаньес де Иберо стал первым президентом Международной геодезической ассоциации (1887–1891) после смерти Иоганна Якоба Байера . Под председательством Ибаньеса Международная геодезическая ассоциация приобрела глобальный масштаб с присоединением США , Мексики , Чили , Аргентины и Японии . В результате работы Международной геодезической ассоциации в 1901 году Фридрих Роберт Гельмерт нашел, в основном с помощью гравиметрии, параметры эллипсоида, удивительно близкие к реальности. ^{[20] [21] [22] [23]}

Ссылки

1. Kater, Henry (1818). "Отчет об экспериментах по определению длины маятника, вибрирующего секунды на широте Лондона". Phil. Trans. R. Soc . 104 (33). London: 109. Получено 25.11.2008 .
2. Nave, CR (2005). "Simple Pendulum". Гиперфизика . Кафедра физики и астрономии, Университет штата Джорджия . Получено 20 февраля 2009 г.
3. "Маятник Катера". Виртуальные лаборатории Амриты . Амрита Вишва Видьяпитам. 2011 . Проверено 26 января 2019 г.
4. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co. стр. 20.
5. Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке». Бюллетень Национального музея США 240: Материалы Музея истории и технологий, перепечатанные в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института. стр. 307. Получено 28.01.2009 .
6. Зупко, Рональд Эдвард (1990). Революция в измерении: западноевропейские веса и меры с эпохи науки. Нью-Йорк: Diane Publishing. С. 107–110. ISBN 0-87169-186-8.
7. Ленцен и Мультауф 1964, с. 315
8. Пойнтинг и Томпсон 1907, стр. 12
9. Элиас Лумис (1864). Элементы натуральной философии, 4-е изд. Нью-Йорк: Harper & Brothers. стр. 109.
10. Акт об установлении и установлении единообразия весов и мер , Британский парламент, 17 июня 1824 г., перепечатано в Raithby, John (1824). Статуты Соединенного Королевства Великобритании и Ирландии, том 27. Лондон: Andrew Strahan. стр. 759. Формулировка закона указывает, что определение маятника должно использоваться для восстановления двора в случае уничтожения прототипа.
11. Траутвайн, Джон Крессон (1907). Карманная книга инженера-строителя, 18-е изд. Wiley. стр. 216.
12. Раттер, Генри (1866). Метрическая система мер и весов в сравнении с британскими стандартными мерами и весами в полном наборе сравнительных таблиц. Эффингем Уилсон. стр. XVII. маятник.
13. Зупко, Рональд Эдвард (1990). Революция в измерении: западноевропейские веса и меры со времен науки. Американское философское общество. С. 179. ISBN 9780871691866.
14. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия: Введение. Вальтер де Грюйтер. п. 177. ИСБН 3-11-017072-8.
15. Пойнтинг и Томпсон 1907, стр. 15
16. Цюрих, ETH-Библиотека. «Бюллетень Общества естественных наук Невшателя». Электронная периодика (на французском языке). п. 256 . Проверено 25 октября 2021 г.
17. "Отчет Чарльза С. Пирса о его второй поездке в Европу для Ежегодного отчета суперинтенданта Береговой службы США, Нью-Йорк, 18.05.1877". www.unav.es . Получено 25.10.2021 .
18. текст, Académie des Sciences (Франция) Auteur du (январь 1880 г.). «Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences / publiés... par MM. les secrétaires perpétuels». Галлика (на французском языке). стр. 1463–1466 . Проверено 25 октября 2021 г.
19. Ибаньес и Ибаньес де Иберо, Карлос (1881). Discursos leidos ante la Real Academia de Ciencias Exactas Fisicas y Naturales en la recepcion de Don Joaquin Barraquer y Rovira (на испанском языке). Мадрид: Imprenta de la Viuda e Hijo de DE Aguado. стр. 70–73.
20. Геодезия в Универсальной энциклопедии (на французском языке). Энциклопедия Универсальная. 1996. стр. Том 10, с. 302. ИСБН 978-2-85229-290-1. OCLC  36747385.
21. Torge, Wolfgang (2016). Rizos, Chris; Willis, Pascal (ред.). «От регионального проекта к международной организации: «Эра Байера-Гельмерта» Международной ассоциации геодезии 1862–1916». IAG 150 лет . Симпозиумы Международной ассоциации геодезии. 143. Cham: Springer International Publishing: 3–18. doi :10.1007/1345_2015_42. ISBN 978-3-319-30895-1.
22. Torge, W. (2005-04-01). «Международная ассоциация геодезии 1862–1922: от регионального проекта до международной организации». Journal of Geodesy . 78 (9): 558–568. Bibcode : 2005JGeod..78..558T. doi : 10.1007/s00190-004-0423-0. ISSN  1432-1394. S2CID  120943411.
23. Солер, Т. (1997-02-01). «Профиль генерала Карлоса Ибаньеса и Ибаньеса де Иберо: первого президента Международной геодезической ассоциации». Журнал геодезии . 71 (3): 176–188. Bibcode : 1997JGeod..71..176S. doi : 10.1007/s001900050086. ISSN  1432-1394. S2CID  119447198.

Внешние ссылки

• Точное измерение g с помощью маятника Катера, Шеффилдский университет. Имеет вывод уравнений
• Катер, Генри (июнь 1818 г.) Отчет об экспериментах по определению длины маятника, колеблющегося секунды на широте Лондона, The Edinburgh Review, т. 30, стр. 407. Содержит подробный отчет об эксперименте, описание маятника, определенную величину, интерес французских ученых.