Выпуклость (финансы)

В математических финансах выпуклость относится к нелинейностям в финансовой модели . Другими словами, если цена базовой переменной изменяется, цена выхода не изменяется линейно, а зависит от второй производной (или, грубо говоря, членов более высокого порядка ) функции моделирования. Геометрически модель больше не плоская, а изогнутая, и степень кривизны называется выпуклостью.

Терминология

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной цены выпуска по отношению к цене ввода. В ценообразовании производных это называется Гамма (Γ), один из греков . На практике наиболее значимым из них является выпуклость облигаций , вторая производная цены облигаций по отношению к процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным членом, и, таким образом, часто наиболее значимым, «выпуклость» также используется в широком смысле для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели для учета нелинейностей называется коррекцией выпуклости .

Математика

Формально корректировка выпуклости возникает из неравенства Йенсена в теории вероятностей: ожидаемое значение выпуклой функции больше или равно функции ожидаемого значения:

${\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}$

Геометрически, если цена модели изгибается вверх по обе стороны от текущей стоимости (функция выигрыша выпукла вверх и находится выше касательной в этой точке), то если цена базового актива изменяется, цена выхода больше , чем моделируется с использованием только первой производной. И наоборот, если цена модели изгибается вниз (выпуклость отрицательна, функция выигрыша находится ниже касательной), цена выхода ниже , чем моделируется с использованием только первой производной. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Точная корректировка выпуклости зависит от модели будущих ценовых движений базового актива (распределения вероятностей) и от модели цены, хотя она линейна по выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация

Выпуклость можно использовать для интерпретации ценообразования производных инструментов: математически выпуклость — это опциональность: цена опциона (стоимость опциона) соответствует выпуклости базовой выплаты.

В ценообразовании опционов по Блэку-Шоулзу , исключая процентные ставки и первую производную, уравнение Блэка-Шоулза сводится к "(бесконечно малому) значению времени является выпуклостью". То есть, стоимость опциона обусловлена ​​выпуклостью конечной выплаты: у вас есть возможность купить актив или нет (в колл; для пут это опцион на продажу), а функция конечной выплаты ( форма хоккейной клюшки ) является выпуклой - "опциональность" соответствует выпуклости в выплате. Таким образом, если вы покупаете опцион колл, ожидаемая стоимость опциона выше , чем просто взятие ожидаемой будущей стоимости базового актива и ввод ее в функцию выплаты опциона: ожидаемая стоимость выпуклой функции выше, чем функция ожидаемой стоимости (неравенство Дженсена). Цена опциона - стоимость опциона - таким образом, отражает выпуклость функции выплаты ^{[ необходимо разъяснение ]} . ${\displaystyle \Theta =-\Gamma ,}$

Эта стоимость изолируется с помощью стрэддла — покупка стрэддла «при деньгах» (стоимость которого увеличивается, если цена базового актива увеличивается или уменьшается) (изначально) не имеет дельты: вы просто покупаете выпуклость (опциональность), не занимая позицию по базовому активу — вы выигрываете от степени движения, а не от направления .

С точки зрения управления рисками, длинная выпуклость (имеющая положительную Гамму и, следовательно, (без учета процентных ставок и Дельты) отрицательную Тету) означает, что человек выигрывает от волатильности (положительная Гамма), но со временем теряет деньги (отрицательная Тета) — он получает чистую прибыль, если цены движутся сильнее ожидаемого, и чистые убытки, если цены движутся слабее ожидаемого.

Регулировка выпуклости

С точки зрения моделирования корректировки выпуклости возникают каждый раз, когда базовые финансовые переменные, смоделированные не являются мартингалом по мере ценообразования . Применение теоремы Гирсанова ^[1] позволяет выразить динамику смоделированных финансовых переменных по мере ценообразования и, следовательно, оценить эту корректировку выпуклости. Типичные примеры корректировок выпуклости включают:

• Quanto options : базовый актив выражен в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингейлом по своей внутренней нейтральной мере риска, он больше не находится под нейтральной мерой риска валюты платежа
• Инструменты свопа с постоянным сроком погашения (CMS) (свопы, кэпы/полы) ^[2]
• Анализ спреда с поправкой на опцион (OAS) для ценных бумаг, обеспеченных ипотекой , или других отзывных облигаций
• Расчет форвардной ставки IBOR по фьючерсам на евродоллар
• Форварды IBOR по рыночной модели LIBOR (LMM)

Ссылки

1. Д. Папаиоанну (2011): «Прикладная многомерная теорема Гирсанова», SSRN
2. P. Hagan (2003) Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps, and Floors, Wilmott Magazine Архивировано 15 апреля 2012 г. на Wayback Machine

• Бенаму, Эрик, Глобальные производные инструменты: продукты, теория и практика, стр. 111–120, 5.4 Коррекция выпуклости (особенно 5.4.1 Коррекция выпуклости) ISBN  978-981-256-689-8
• Пелссер, Антон (апрель 2001 г.). «Математическое обоснование коррекции выпуклости». SSRN  267995. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )