Серия колоколов

В математике ряд Белла — это формальный степенной ряд , используемый для изучения свойств арифметических функций. Серия Bell была представлена ​​и разработана Эриком Темплом Беллом .

Учитывая арифметическую функцию и простое число , определите формальный степенной ряд , называемый рядом Белла по модулю, как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

Можно показать, что две мультипликативные функции идентичны, если все их ряды Белла равны; это иногда называют теоремой единственности : учитывая мультипликативные функции и , можно иметь тогда и только тогда, когда : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=g}$

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$для всех простых чисел . ${\displaystyle p}$

Два ряда могут быть умножены (иногда это называется теоремой умножения ): Для любых двух арифметических функций и пусть будет их сверткой Дирихле . Тогда для каждого простого числа имеем: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=f*g}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

В частности, это делает тривиальным нахождение ряда Белла обратного Дирихле .

Если полностью мультипликативен , то формально: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Примеры

Ниже приводится таблица рядов Белла известных арифметических функций.

• Функция Мёбиуса имеет ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• Квадрат функции Мебиуса имеет ${\displaystyle \mu _{p}^{2}(x)=1+x.}$
• Тотент Эйлера имеет ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• Мультипликативное тождество свертки Дирихле имеет ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}$
• Функция Лиувилля имеет ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• Степенная функция Id _k имеет Здесь Id _k — полностью мультипликативная функция . ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$
• Функция делителя имеет ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.}$
• Постоянная функция со значением 1 удовлетворяет , т.е. является геометрической прогрессией . ${\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}}$
• Если – степень простой омега-функции , то ${\displaystyle f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)}$ ${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.}$
• Предположим, что f мультипликативна и g — любая арифметическая функция , удовлетворяющая всем простым числам p и . Затем ${\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.}$
• Если обозначает функцию Мёбиуса порядка k, то ${\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)}$ ${\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.}$

Смотрите также

• Номера звонков

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001