Свободная вероятность — это математическая теория, изучающая некоммутативные случайные величины . Свойство «свободы» или свободной независимости является аналогом классического понятия независимости и связано со свободными произведениями . Эта теория была инициирована Дэном Войкулеску около 1986 года для того, чтобы атаковать проблему изоморфизма свободных групповых факторов, важную нерешенную проблему в теории операторных алгебр . При наличии свободной группы с некоторым числом образующих мы можем рассмотреть алгебру фон Неймана , порожденную групповой алгеброй , которая является фактором типа II 1. Проблема изоморфизма спрашивает, являются ли они изоморфными для разного числа образующих. Неизвестно даже, являются ли изоморфными любые два свободных групповых фактора. Это похоже на проблему свободной группы Тарского , которая спрашивает, имеют ли две различные неабелевы конечно порожденные свободные группы одну и ту же элементарную теорию.
Позже были установлены связи с теорией случайных матриц , комбинаторикой , представлениями симметричных групп , большими отклонениями , квантовой теорией информации и другими теориями. Свободная вероятность в настоящее время активно исследуется.
Обычно случайные величины лежат в унитальной алгебре A, такой как C*-алгебра или алгебра фон Неймана . Алгебра снабжена некоммутативным ожиданием , линейным функционалом φ: A → C , таким что φ(1) = 1. Унитальные подалгебры A 1 , ..., A m называются тогда свободно независимыми, если ожидание произведения a 1 ... a n равно нулю всякий раз, когда каждое a j имеет нулевое ожидание, лежит в A k , никакие смежные a j не происходят из одной и той же подалгебры A k , и n не равно нулю. Случайные величины являются свободно независимыми, если они порождают свободно независимые унитальные подалгебры.
Одной из целей свободной вероятности (еще не достигнутой) было построение новых инвариантов алгебр фон Неймана , и свободная размерность рассматривается как разумный кандидат на такой инвариант. Основным инструментом, используемым для построения свободной размерности, является свободная энтропия.
Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску ввел концепцию свободы около 1983 года в операторно-алгебраическом контексте; вначале не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была обнаружена только позже, в 1991 году, Войкулеску; он был мотивирован тем фактом, что предельное распределение, которое он нашел в своей свободной центральной предельной теореме, ранее появлялось в полукруговом законе Вигнера в контексте случайной матрицы.
Свободный кумулянтный функционал (введенный Роландом Шпайхером ) [1] играет важную роль в теории. Он связан с решеткой непересекающихся разбиений множества {1, ..., n } таким же образом, как классический кумулянтный функционал связан с решеткой всех разбиений этого множества.