В математике алгебра фон Неймана или W*-алгебра — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая тождественный оператор . Это особый тип C*-алгебры .
Алгебры фон Неймана были первоначально введены Джоном фон Нейманом , мотивированным его изучением отдельных операторов , представлений групп , эргодической теории и квантовой механики . Его теорема о двойном коммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как алгебры симметрий.
Ниже приведены два основных примера алгебр фон Неймана:
Алгебры фон Неймана были впервые изучены фон Нейманом (1930) в 1929 году; он и Фрэнсис Мюррей разработали основную теорию под первоначальным названием « кольца операторов» в серии статей, написанных в 1930-х и 1940-х годах (Ф. Дж. Мюррей и Дж. фон Нейман 1936, 1937, 1943; Дж. фон Нейман 1938, 1940, 1943, 1949), переизданных в собрании сочинений фон Неймана (1961).
Вводные отчеты об алгебрах фон Неймана даны в онлайн-заметках Джонса (2003) и Вассермана (1991) и книгах Диксмье (1981), Шварца (1967), Блэкадара (2005) и Сакаи (1971). Трехтомная работа Такесаки (1979) дает энциклопедическое изложение теории. В книге Конна (1994) обсуждаются более сложные темы.
Существует три распространенных способа определения алгебр фон Неймана.
Первый и наиболее распространенный способ — определить их как слабо замкнутые *-алгебры ограниченных операторов (в гильбертовом пространстве), содержащие единицу. В этом определении слабая (операторная) топология может быть заменена многими другими распространенными топологиями, включая сильную , сверхсильную или сверхслабую операторную топологию. *-алгебры ограниченных операторов, замкнутые в топологии нормы, являются C*-алгебрами , поэтому, в частности, любая алгебра фон Неймана является C*-алгеброй.
Второе определение состоит в том, что алгебра фон Неймана является подалгеброй ограниченных операторов, замкнутой относительно инволюции (*-операция) и равной своему двойному коммутанту , или, что эквивалентно, коммутанту некоторой подалгебры, замкнутой относительно *. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте (von Neumann 1930) утверждает, что первые два определения эквивалентны.
Первые два определения описывают алгебру фон Неймана конкретно как набор операторов, действующих в некотором заданном гильбертовом пространстве. Сакаи (1971) показал, что алгебры фон Неймана также могут быть определены абстрактно как C*-алгебры, имеющие предуал ; другими словами, алгебра фон Неймана, рассматриваемая как банахово пространство , является двойственным некоторого другого банахова пространства, называемого предуалом. Предуал алгебры фон Неймана на самом деле уникален с точностью до изоморфизма. Некоторые авторы используют «алгебру фон Неймана» для алгебр вместе с действием в гильбертовом пространстве и «W*-алгебру» для абстрактного понятия, поэтому алгебра фон Неймана является W*-алгеброй вместе с гильбертовым пространством и подходящим точным унитальным действием в гильбертовом пространстве. Конкретные и абстрактные определения алгебры фон Неймана аналогичны конкретным и абстрактным определениям C*-алгебры, которая может быть определена либо как замкнутая по норме *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве, либо как банахова *-алгебра, такая что || aa* ||=|| a || || a* ||.
Некоторые термины в теории алгебры фон Неймана могут оказаться запутанными, и термины часто имеют разное значение за пределами предмета.
Забыв о топологии алгебры фон Неймана, мы можем считать ее (унитальной) *-алгеброй или просто кольцом. Алгебры фон Неймана являются полунаследственными : каждый конечно порождённый подмодуль проективного модуля сам по себе является проективным. Было предпринято несколько попыток аксиоматизировать базовые кольца алгебр фон Неймана, включая *-кольца Бэра и AW*-алгебры . *-алгебра аффилированных операторов конечной алгебры фон Неймана является регулярным кольцом фон Неймана . (Сама алгебра фон Неймана в общем случае не является регулярной по фон Нейману.)
Связь между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогична связи между коммутативными C*-алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами . Каждая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L ∞ ( X ) для некоторого пространства с мерой ( X , μ) и наоборот, для каждого σ-конечного пространства с мерой X *-алгебра L ∞ ( X ) является алгеброй фон Неймана.
Благодаря этой аналогии теория алгебр фон Неймана получила название некоммутативной теории меры, тогда как теория C*-алгебр иногда называется некоммутативной топологией (Конн, 1994).
Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E* , называются проекциями ; это в точности операторы, которые дают ортогональную проекцию H на некоторое замкнутое подпространство. Говорят, что подпространство гильбертова пространства H принадлежит алгебре фон Неймана M, если оно является образом некоторой проекции в M. Это устанавливает соответствие 1:1 между проекциями M и подпространствами, принадлежащими M. Неформально это замкнутые подпространства, которые можно описать с помощью элементов M или о которых M «знает».
Можно показать, что замыкание образа любого оператора в M и ядра любого оператора в M принадлежит M. Кроме того, замыкание образа под оператором M любого подпространства, принадлежащего M, также принадлежит M. (Эти результаты являются следствием полярного разложения ).
Основную теорию проекций разработали Мюррей и фон Нейман (1936). Два подпространства, принадлежащие M, называются ( Мюррея–фон Неймана ) эквивалентными, если существует частичная изометрия, отображающая первое изоморфно на другое, которое является элементом алгебры фон Неймана (неформально, если M «знает», что подпространства изоморфны). Это индуцирует естественное отношение эквивалентности на проекциях, определяя E как эквивалентное F, если соответствующие подпространства эквивалентны, или, другими словами, если существует частичная изометрия H , которая отображает образ E изометрически в образ F и является элементом алгебры фон Неймана. Другой способ утверждения этого состоит в том, что E эквивалентно F, если E =uu* и F=u*u для некоторой частичной изометрии u в M.
Отношение эквивалентности ~, определенное таким образом, является аддитивным в следующем смысле: предположим, что E 1 ~ F 1 и E 2 ~ F 2 . Если E 1 ⊥ E 2 и F 1 ⊥ F 2 , то E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . Аддитивность, вообще говоря, не будет иметь места, если в определении ~ потребовать унитарную эквивалентность, т. е. если мы скажем, что E эквивалентно F, если u*Eu = F для некоторого унитарного u . Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр дают достаточное условие для эквивалентности Мюррея-фон Неймана.
Подпространства, принадлежащие M , частично упорядочены включением, и это индуцирует частичный порядок ≤ проекций. Существует также естественный частичный порядок на множестве классов эквивалентности проекций, индуцируемый частичным порядком ≤ проекций. Если M является фактором, ≤ является полным порядком на классах эквивалентности проекций, описанным в разделе о следах ниже.
Проекция (или подпространство, принадлежащее M ) E называется конечной проекцией , если не существует проекции F < E (то есть F ≤ E и F ≠ E ), эквивалентной E . Например, все конечномерные проекции (или подпространства) конечны (поскольку изометрии между гильбертовыми пространствами оставляют размерность фиксированной), но тождественный оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве не является конечным в алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов в нем, поскольку он изометрически изоморфен собственному подмножеству самого себя. Однако бесконечномерные подпространства могут быть конечными.
Ортогональные проекции являются некоммутативными аналогами индикаторных функций в L ∞ ( R ). L ∞ ( R ) является ||·|| ∞ -замыканием подпространства, порожденного индикаторными функциями. Аналогично, алгебра фон Неймана порождается своими проекциями; это является следствием спектральной теоремы для самосопряженных операторов .
Проекции конечного фактора образуют непрерывную геометрию .
Алгебра фон Неймана N, центр которой состоит только из кратных единичного оператора, называется фактором . Как показал фон Нейман (1949), каждая алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна прямому интегралу факторов. Это разложение по существу единственно. Таким образом, задача классификации классов изоморфизма алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах может быть сведена к задаче классификации классов изоморфизма факторов.
Мюррей и фон Нейман (1936) показали, что каждый фактор имеет один из 3 типов, как описано ниже. Классификацию типов можно распространить на алгебры фон Неймана, которые не являются факторами, и алгебра фон Неймана имеет тип X, если ее можно разложить как прямой интеграл факторов типа X; например, каждая коммутативная алгебра фон Неймана имеет тип I 1 . Каждая алгебра фон Неймана может быть однозначно записана как сумма алгебр фон Неймана типов I, II и III.
Иногда используются и другие способы деления факторов на классы:
Говорят, что фактор имеет тип I, если существует минимальная проекция E ≠ 0 , т. е. проекция E такая, что не существует другой проекции F с 0 < F < E . Любой фактор типа I изоморфен алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве; поскольку для каждого кардинального числа существует одно гильбертово пространство , классы изоморфизма факторов типа I в точности соответствуют кардинальным числам. Поскольку многие авторы рассматривают алгебры фон Неймана только в сепарабельных гильбертовых пространствах, принято называть ограниченные операторы в гильбертовом пространстве конечной размерности n фактором типа I n , а ограниченные операторы в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве — фактором типа I ∞ .
Говорят, что фактор имеет тип II, если нет минимальных проекций, но есть ненулевые конечные проекции. Это подразумевает, что каждая проекция E может быть «разделена пополам» в том смысле, что существуют две проекции F и G , которые эквивалентны по Мюррею–фон Нейману и удовлетворяют E = F + G . Если оператор тождества в факторе типа II конечен, говорят, что фактор имеет тип II 1 ; в противном случае говорят, что он имеет тип II ∞ . Наиболее изученными факторами типа II являются гиперконечный фактор типа II 1 и гиперконечный фактор типа II ∞ , найденные Мюрреем и фон Нейманом (1936). Это уникальные гиперконечные факторы типов II 1 и II ∞ ; существует несчетное количество других факторов этих типов, которые являются предметом интенсивного изучения. Мюррей и фон Нейман (1937) доказали фундаментальный результат, что фактор типа II 1 имеет единственное конечное следовое состояние, а множество следов проекций равно [0,1].
Фактор типа II ∞ имеет полуконечный след, единственный с точностью до масштабирования, а множество следов проекций равно [0,∞]. Множество действительных чисел λ, для которых существует автоморфизм, масштабирующий след в λ раз, называется фундаментальной группой фактора типа II ∞ .
Тензорное произведение множителя типа II 1 и бесконечного множителя типа I имеет тип II ∞ , и наоборот, любой множитель типа II ∞ может быть построен таким образом. Фундаментальная группа множителя типа II 1 определяется как фундаментальная группа его тензорного произведения с бесконечным (сепарабельным) множителем типа I. В течение многих лет было открытой проблемой нахождение множителя типа II , фундаментальная группа которого не была бы группой положительных вещественных чисел , но затем Конн показал, что групповая алгебра фон Неймана счетной дискретной группы со свойством Каждана (T) (тривиальное представление изолировано в дуальном пространстве), такой как SL(3, Z ), имеет счетную фундаментальную группу. Впоследствии Сорин Попа показал , что фундаментальная группа может быть тривиальной для некоторых групп, включая полупрямое произведение Z 2 на SL(2, Z ).
Примером фактора типа II 1 является групповая алгебра фон Неймана счетной бесконечной дискретной группы, такая, что каждый нетривиальный класс сопряженности бесконечен. Макдафф (1969) нашел несчетное семейство таких групп с неизоморфными групповыми алгебрами фон Неймана, тем самым показав существование несчетного числа различных отделимых факторов типа II 1 .
Наконец, факторы типа III — это факторы, которые вообще не содержат никаких ненулевых конечных проекций. В своей первой статье Мюррей и фон Нейман (1936) не смогли решить, существуют ли они; первые примеры были позже найдены фон Нейманом (1940). Поскольку оператор тождества всегда бесконечен в этих факторах, их иногда называли типом III ∞ в прошлом, но недавно эта нотация была заменена нотацией III λ , где λ — действительное число в интервале [0,1]. Точнее, если спектр Конна (его модулярной группы) равен 1, то фактор имеет тип III 0 , если спектр Конна — это все целые степени λ для 0 < λ < 1, то тип — III λ , а если спектр Конна — это все положительные действительные числа, то тип — III 1 . (Спектр Конна является замкнутой подгруппой положительных вещественных чисел, поэтому это единственные возможности.) Единственный след на факторах типа III принимает значение ∞ на всех ненулевых положительных элементах, и любые две ненулевые проекции эквивалентны. Одно время факторы типа III считались неразрешимыми объектами, но теория Томиты–Такесаки привела к хорошей структурной теории. В частности, любой фактор типа III может быть записан каноническим способом как перекрестное произведение фактора типа II ∞ и вещественных чисел.
Любая алгебра фон Неймана M имеет предуал M ∗ , который является банаховым пространством всех ультраслабо непрерывных линейных функционалов на M . Как следует из названия, M является (как банахово пространство) двойственным к своему предуалу. Предуал уникален в том смысле, что любое другое банахово пространство, двойственным к которому является M , канонически изоморфно M ∗ . Сакаи (1971) показал, что существование предуала характеризует алгебры фон Неймана среди алгебр C*.
Определение предуала, данное выше, по-видимому, зависит от выбора гильбертова пространства, на которое действует M , поскольку это определяет сверхслабую топологию. Однако предуал можно определить и без использования гильбертова пространства, на которое действует M , определив его как пространство, порожденное всеми положительными нормальными линейными функционалами на M. (Здесь «нормальный» означает, что он сохраняет супремумы при применении к возрастающим сетям самосопряженных операторов; или, что эквивалентно, к возрастающим последовательностям проекций.)
Предуал M ∗ является замкнутым подпространством дуала M* (который состоит из всех непрерывных по норме линейных функционалов на M ), но обычно меньше. Доказательство того, что M ∗ (обычно) не то же самое, что и M* , неконструктивно и использует аксиому выбора существенным образом; очень трудно продемонстрировать явные элементы M* , которые не находятся в M ∗ . Например, экзотические положительные линейные формы на алгебре фон Неймана l ∞ ( Z ) задаются свободными ультрафильтрами ; они соответствуют экзотическим *-гомоморфизмам в C и описывают компактификацию Стоуна–Чеха Z .
Примеры:
Веса и их особые случаи, состояния и следы подробно обсуждаются в (Takesaki 1979).
Любой фактор имеет след, такой что след ненулевой проекции ненулевой, а след проекции бесконечен, если и только если проекция бесконечна. Такой след уникален с точностью до масштабирования. Для факторов, которые являются разделимыми или конечными, две проекции эквивалентны, если и только если они имеют одинаковый след. Тип фактора можно определить из возможных значений этого следа по проекциям фактора следующим образом:
Если алгебра фон Неймана действует на гильбертовом пространстве, содержащем вектор v с нормой 1 , то функционал a → ( av , v ) является нормальным состоянием. Эту конструкцию можно обратить, чтобы получить действие на гильбертовом пространстве из нормального состояния: это конструкция GNS для нормальных состояний.
Если задан абстрактный сепарабельный фактор, можно попросить классифицировать его модули, то есть сепарабельные гильбертовы пространства, на которые он действует. Ответ дается следующим образом: каждому такому модулю H можно задать M -размерность dim M ( H ) (не его размерность как комплексного векторного пространства) такую, что модули изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую M -размерность. M -размерность аддитивна, и модуль изоморфен подпространству другого модуля тогда и только тогда, когда он имеет меньшую или равную M -размерность.
Модуль называется стандартным, если он имеет циклический разделяющий вектор. Каждый фактор имеет стандартное представление, которое единственно с точностью до изоморфизма. Стандартное представление имеет антилинейную инволюцию J такую, что JMJ = M ′ . Для конечных факторов стандартный модуль задается конструкцией GNS, примененной к единственному нормальному следовому состоянию, а M -размерность нормализована так, что стандартный модуль имеет M -размерность 1, тогда как для бесконечных факторов стандартный модуль является модулем с M -размерностью, равной ∞.
Возможные M -размерности модулей приведены ниже:
Коннес (1976) и другие доказали, что следующие условия на алгебре фон Неймана M в сепарабельном гильбертовом пространстве H эквивалентны :
Общепринятого термина для класса алгебр, описанных выше, не существует; Конн предположил, что стандартным термином должно быть «аменабельный» .
Были классифицированы поддающиеся учету факторы: для каждого из типов I n , I ∞ , II 1 , II ∞ , III λ существует уникальный фактор для 0 < λ ≤ 1, а факторы типа III 0 соответствуют определенным эргодическим потокам. (Для типа III 0 называть это классификацией немного неверно, поскольку известно, что не существует простого способа классифицировать соответствующие эргодические потоки.) Факторы типа I и II 1 были классифицированы Мюрреем и фон Нейманом (1943), а остальные были классифицированы Конном (1976), за исключением случая типа III 1 , который был завершен Хаагерупом.
Все аменабельные факторы могут быть построены с использованием конструкции группового мерного пространства Мюррея и фон Неймана для одного эргодического преобразования . Фактически, они являются в точности факторами, возникающими как скрещенные произведения свободных эргодических действий Z или Z/nZ на абелевых алгебрах фон Неймана L ∞ ( X ). Факторы типа I возникают, когда пространство меры X является атомарным , а действие транзитивным. Когда X является диффузным или неатомарным , оно эквивалентно [0,1] как пространство меры . Факторы типа II возникают, когда X допускает эквивалентную конечную (II 1 ) или бесконечную (II ∞ ) меру, инвариантную относительно действия Z . Факторы типа III возникают в оставшихся случаях, когда нет инвариантной меры, а есть только класс инвариантной меры : эти факторы называются факторами Кригера .
Тензорное произведение гильбертовых пространств двух гильбертовых пространств является пополнением их алгебраического тензорного произведения. Можно определить тензорное произведение алгебр фон Неймана (пополнение алгебраического тензорного произведения алгебр, рассматриваемых как кольца), которое снова является алгеброй фон Неймана, и действовать на тензорное произведение соответствующих гильбертовых пространств. Тензорное произведение двух конечных алгебр конечно, а тензорное произведение бесконечной алгебры и ненулевой алгебры бесконечно. Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана (I, II или III) является максимальным из их типов. Теорема коммутации для тензорных произведений утверждает, что
где M ′ обозначает коммутант M .
Тензорное произведение бесконечного числа алгебр фон Неймана, если сделано наивно, обычно является смехотворно большой неразделимой алгеброй. Вместо этого фон Нейман (1938) показал, что следует выбрать состояние на каждой из алгебр фон Неймана, использовать это для определения состояния на алгебраическом тензорном произведении, которое может быть использовано для получения гильбертова пространства и (достаточно малой) алгебры фон Неймана. Араки и Вудс (1968) изучили случай, когда все факторы являются конечными матричными алгебрами; эти факторы называются факторами Араки–Вудса или факторами ITPFI (ITPFI означает «бесконечное тензорное произведение конечных факторов типа I»). Тип бесконечного тензорного произведения может существенно меняться по мере изменения состояний; например, бесконечное тензорное произведение бесконечного числа факторов типа I 2 может иметь любой тип в зависимости от выбора состояний. В частности, Пауэрс (1967) нашел несчетное семейство неизоморфных гиперконечных факторов типа III λ для 0 < λ < 1, называемых факторами Пауэрса , путем взятия бесконечного тензорного произведения факторов типа I на 2 , каждый из которых имеет состояние, заданное формулой:
Все гиперконечные алгебры фон Неймана, не относящиеся к типу III 0, изоморфны факторам Араки–Вудса, но существует несчетное множество алгебр типа III 0, которые таковыми не являются.
Бимодуль (или соответствие) — это гильбертово пространство H с модульными действиями двух коммутирующих алгебр фон Неймана. Бимодули имеют гораздо более богатую структуру, чем модули. Любой бимодуль над двумя факторами всегда дает подфактор , поскольку один из факторов всегда содержится в коммутанте другого. Существует также тонкая операция относительного тензорного произведения, предложенная Конном на бимодулях. Теория подфакторов, инициированная Воганом Джонсом , примиряет эти две, казалось бы, разные точки зрения.
Бимодули также важны для групповой алгебры фон Неймана M дискретной группы Γ. Действительно, если V — любое унитарное представление Γ, то, рассматривая Γ как диагональную подгруппу Γ × Γ, соответствующее индуцированное представление на l 2 (Γ, V ) естественным образом является бимодулем для двух коммутирующих копий M . Важные теоретические свойства представления Γ могут быть сформулированы полностью в терминах бимодулей и, следовательно, имеют смысл для самой алгебры фон Неймана. Например, Конн и Джонс дали определение аналога свойства Каждана (T) для алгебр фон Неймана таким образом.
Алгебры фон Неймана типа I всегда аменабельны, но для других типов существует несчетное количество различных неаменабельных факторов, которые, кажется, очень трудно классифицировать или даже отличить друг от друга. Тем не менее, Войкулеску показал, что класс неаменабельных факторов, вытекающих из конструкции пространства групповой меры, не пересекается с классом, вытекающим из групповых алгебр фон Неймана свободных групп. Позднее Нарутака Одзава доказал, что групповые алгебры фон Неймана гиперболических групп дают простые факторы типа II 1 , т. е. те, которые не могут быть факторизованы как тензорные произведения факторов типа II 1 , результат, впервые доказанный Лимингом Ге для свободных групповых факторов с использованием свободной энтропии Войкулеску . Работа Попы по фундаментальным группам неаменабельных факторов представляет собой еще один значительный прогресс. Теория факторов «за пределами гиперконечности» в настоящее время быстро расширяется, со многими новыми и удивительными результатами; он тесно связан с явлениями жесткости в геометрической теории групп и эргодической теории .
Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов , статистическая механика , квантовая теория поля , локальная квантовая физика , свободная вероятность , некоммутативная геометрия , теория представлений , дифференциальная геометрия и динамические системы .
Например, C*-алгебра предоставляет альтернативную аксиоматизацию теории вероятностей. В этом случае метод называется конструкцией Гельфанда–Наймарка–Сигала . Это аналогично двум подходам к измерению и интегрированию, где есть выбор: сначала построить меры множеств и затем определить интегралы, или сначала построить интегралы и определить меры множеств как интегралы характеристических функций.
