Прямой интеграл

Обобщение понятия прямой суммы в математике

В математике и функциональном анализе прямой интеграл или интеграл Гильберта является обобщением понятия прямой суммы . Теория наиболее развита для прямых интегралов гильбертовых пространств и прямых интегралов алгебр фон Неймана . Понятие было введено в 1949 году Джоном фон Нейманом в одной из статей серии On Rings of Operators . Одной из целей фон Неймана в этой статье было свести классификацию (то, что сейчас называется) алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах к классификации так называемых факторов. Факторы аналогичны полным матричным алгебрам над полем, и фон Нейман хотел доказать непрерывный аналог теоремы Артина–Веддерберна, классифицирующей полупростые кольца.

Результаты о прямых интегралах можно рассматривать как обобщения результатов о конечномерных C*-алгебрах матриц; в этом случае результаты легко доказать напрямую. Бесконечномерный случай осложняется техническими тонкостями теории меры.

Теория прямого интеграла также использовалась Джорджем Макки в его анализе систем импримитивности и его общей теории индуцированных представлений локально компактных сепарабельных групп .

Прямые интегралы гильбертовых пространств

Простейшим примером прямого интеграла являются пространства L2 ^, связанные с (σ-конечной) счетно-аддитивной мерой μ на измеримом пространстве X. Несколько более общо можно рассмотреть сепарабельное гильбертово пространство H и пространство квадратично-интегрируемых H -значных функций

${\displaystyle L_{\mu }^{2}(X,H).}$

Терминологическое примечание : Здесь используется терминология, принятая в литературе по предмету, согласно которой измеримое пространство X называется борелевским пространством , а элементы выделенной σ-алгебры X — борелевскими множествами , независимо от того, исходит ли лежащая в основе σ-алгебра из топологического пространства (в большинстве примеров это так). Борелевское пространство является стандартным тогда и только тогда, когда оно изоморфно лежащему в основе борелевскому пространству польского пространства ; все польские пространства заданной мощности изоморфны друг другу (как борелевские пространства). Если задана счетно-аддитивная мера μ на X , измеримое множество — это множество, которое отличается от борелевского множества нулевым множеством . Мера μ на X является стандартной мерой тогда и только тогда, когда существует нулевое множество E , такое что его дополнение X − E является стандартным борелевским пространством . ^{[ необходимо разъяснение ]} Все рассматриваемые здесь меры являются σ-конечными .

Определение . Пусть X — борелевское пространство, снабженное счетно-аддитивной мерой μ. Измеримое семейство гильбертовых пространств на ( X , μ) — это семейство { H _x } _{x ∈ X} , которое локально эквивалентно тривиальному семейству в следующем смысле: существует счетное разбиение

${\displaystyle \{X_{n}\}_{1\leq n\leq \omega }}$

измеримыми подмножествами X такими, что

${\displaystyle H_{x}=\mathbf {H} _{n}\quad x\in X_{n}}$

где H _n — каноническое n -мерное гильбертово пространство, то есть

${\displaystyle \mathbf {H} _{n}=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {C} ^{n}&{\mbox{ if }}n<\omega \\\ell ^{2}&{\mbox{ if }}n=\omega \end{matrix}}\right.}$

В приведенном выше примере — это пространство квадратично суммируемых последовательностей ; все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Сечение { H _x } _{x ∈ X} — это семейство { s _x } _{x ∈ X} такое, что s _x ∈ H _x для всех x ∈ X . Сечение измеримо тогда и только тогда, когда его ограничение на каждый элемент разбиения X _n измеримо. Мы определим измеримые сечения s , t , которые равны почти всюду . Для заданного измеримого семейства гильбертовых пространств прямой интеграл

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

состоит из классов эквивалентности (относительно равенства почти всюду) измеримых квадратично интегрируемых сечений { H _x } _{x ∈ X.} Это гильбертово пространство относительно скалярного произведения

${\displaystyle \langle s|t\rangle =\int _{X}\langle s(x)|t(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)}$

Учитывая локальный характер нашего определения, многие определения, применимые к отдельным гильбертовым пространствам, применимы также и к измеримым семействам гильбертовых пространств.

Замечание . Это определение, по-видимому, более ограничительно, чем определение, данное фон Нейманом и обсуждаемое в классическом трактате Диксмье об алгебрах фон Неймана. В более общем определении волокнам гильбертова пространства H _x разрешено изменяться от точки к точке без требования локальной тривиальности (локальной в смысле теории меры). Одна из основных теорем теории фон Неймана заключается в том, чтобы показать, что на самом деле более общее определение эквивалентно более простому, данному здесь.

Обратите внимание, что прямой интеграл измеримого семейства гильбертовых пространств зависит только от класса меры μ; точнее:

Теорема . Предположим, что μ, ν — σ-конечные счетно-аддитивные меры на X , имеющие те же множества меры 0. Тогда отображение

${\displaystyle s\mapsto \left({\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\right)^{1/2}s}$

является унитарным оператором

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \nu (x).}$

Пример

Самый простой пример возникает, когда X — счетное множество , а μ — дискретная мера . Таким образом, когда X = N и μ — счетная мера на N , то любая последовательность { H _k } сепарабельных гильбертовых пространств может рассматриваться как измеримое семейство. Более того,

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\cong \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

Разложимые операторы

Для примера дискретной меры на счетном множестве любой ограниченный линейный оператор T на

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

задается бесконечной матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Для этого примера дискретной меры на счетном множестве разложимые операторы определяются как операторы, которые являются блочно-диагональными , имеющими ноль для всех недиагональных элементов. Разложимые операторы можно охарактеризовать как те, которые коммутируют с диагональными матрицами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Приведенный выше пример мотивирует общее определение: семейство ограниченных операторов { T _x } _{x ∈ X} с T _x ∈ L( H _x ) называется сильно измеримым тогда и только тогда, когда его ограничение на каждое X _n сильно измеримо. Это имеет смысл, поскольку H _x является константой на X _n .

Измеримые семейства операторов с существенно ограниченной нормой , то есть

${\displaystyle \operatorname {ess-sup} _{x\in X}\|T_{x}\|<\infty }$

определить ограниченные линейные операторы

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x)\in \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

действуя точечно, т.е.

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).}$

Такие операторы называются разложимыми .

Примерами разложимых операторов являются те, которые определяются скалярнозначными (т.е. C -значными) измеримыми функциями λ на X. Фактически,

Теорема . Отображение

${\displaystyle \phi :L_{\mu }^{\infty }(X)\rightarrow \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

предоставлено

${\displaystyle \lambda \mapsto \int _{X}^{\oplus }\ \lambda _{x}d\mu (x)}$

является инволютивным алгебраическим изоморфизмом на свой образ.

Это позволяет отождествить L ^∞ _μ ( X ) с изображением φ.

Теорема ^[1] Разложимыми операторами являются в точности те, которые входят в операторный коммутант абелевой алгебры L ^∞ _μ ( X ).

Разложение абелевых алгебр фон Неймана

Спектральная теорема имеет много вариантов. Особенно мощная версия выглядит следующим образом:

Теорема . Для любой абелевой алгебры фон Неймана A на сепарабельном гильбертовом пространстве H существует стандартное борелевское пространство X и мера μ на X, такие, что она унитарно эквивалентна как операторная алгебра L ^∞ _μ ( X ), действующей на прямой интеграл гильбертовых пространств

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x).\quad }$

Утверждение, что A унитарно эквивалентно L ^∞ _μ ( X ) как операторной алгебре, означает, что существует унитарное

${\displaystyle U:H\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

такой, что U A U * является алгеброй диагональных операторов L ^∞ _μ ( X ). Обратите внимание, что это утверждает больше, чем просто алгебраическую эквивалентность A с алгеброй диагональных операторов.

Эта версия спектральной теоремы явно не определяет, как получается базовое стандартное борелевское пространство X. Для приведенного выше разложения существует результат об единственности.

Теорема . Если абелева алгебра фон Неймана A унитарно эквивалентна как L ^∞ _μ ( X ), так и L ^∞ _ν ( Y ), действующим на пространствах прямого интеграла

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad \int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

и μ, ν — стандартные меры, то существует изоморфизм Бореля

${\displaystyle \varphi :X-E\rightarrow Y-F}$

где E , F — нулевые множества, такие что

${\displaystyle K_{\phi (x)}=H_{x}\quad {\mbox{almost everywhere}}}$

Изоморфизм φ является изоморфизмом классов мер, поскольку φ и его обратное сохраняют множества меры 0.

Предыдущие две теоремы дают полную классификацию абелевых алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах. Эта классификация учитывает реализацию алгебры фон Неймана как алгебры операторов. Если рассматривать базовую алгебру фон Неймана независимо от ее реализации (как алгебру фон Неймана), то ее структура определяется очень простыми инвариантами теории меры.

Прямые интегралы алгебр фон Неймана

Пусть { H _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство гильбертовых пространств. Семейство алгебр фон Неймана { A _x } _{x ∈ X} с

${\displaystyle A_{x}\subseteq \operatorname {L} (H_{x})}$

измеримо тогда и только тогда, когда существует счетное множество D измеримых семейств операторов, которые поточечно порождают { A _x } _{x ∈ X} как алгебру фон Неймана в следующем смысле: для почти всех x ∈ X ,

${\displaystyle \operatorname {W^{*}} (\{S_{x}:S\in D\})=A_{x}}$

где W*( S ) обозначает алгебру фон Неймана, порожденную множеством S . Если { A _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство алгебр фон Неймана, прямой интеграл алгебр фон Неймана

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

состоит из всех операторов вида

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu (x)}$

для T _x ∈ A _x .

Одной из основных теорем фон Неймана и Мюррея в их оригинальной серии работ является доказательство теоремы о разложении: Любая алгебра фон Неймана является прямым интегралом множителей. Точнее говоря,

Теорема . Если { A _x } _{x ∈ X} — измеримое семейство алгебр фон Неймана и μ — стандартное, то семейство операторных коммутантов также измеримо и

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x){\bigg ]}'=\int _{X}^{\oplus }A'_{x}d\mu (x).}$

Центральное разложение

Предположим, что A — алгебра фон Неймана. Пусть Z ( A ) — центр A . Центр — это множество операторов в A , которые коммутируют со всеми операторами A :

${\displaystyle \mathbf {Z} (A)=A\cap A'}$

Тогда Z ( A ) является абелевой алгеброй фон Неймана.

Пример . Центр L( H ) одномерен. В общем случае, если A — алгебра фон Неймана, если центр одномерен, мы говорим, что A — фактор .

Когда A — алгебра фон Неймана, центр которой содержит последовательность минимальных попарно ортогональных ненулевых проекций { E _i } _{i ∈ N} таких, что

${\displaystyle 1=\sum _{i\in \mathbb {N} }E_{i}}$

тогда A E _i является алгеброй фон Неймана на области значений H _i для E _i . Легко видеть, что A E _i является фактором. Таким образом, в этом частном случае

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }AE_{i}}$

представляет A как прямую сумму множителей. Это частный случай центральной теоремы разложения фон Неймана.

В общем случае структурная теорема абелевых алгебр фон Неймана представляет Z( A ) как алгебру скалярных диагональных операторов. В любом таком представлении все операторы в A являются разложимыми операторами. Это можно использовать для доказательства основного результата фон Неймана: любая алгебра фон Неймана допускает разложение на множители.

Теорема . Предположим,

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

является прямым интегральным разложением H, а A является алгеброй фон Неймана на H, так что Z( A ) представляется алгеброй скалярных диагональных операторов L ^∞ _μ ( X ), где X является стандартным борелевским пространством. Тогда

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

где для почти всех x ∈ X , A _x является алгеброй фон Неймана, которая является фактором .

Измеримые семейства представлений

Если A — отделимая C*-алгебра , то приведенные выше результаты можно применить к измеримым семействам невырожденных *-представлений A. В случае, если A имеет единицу, невырожденность эквивалентна сохранению единицы. В силу общего соответствия, существующего между сильно непрерывными унитарными представлениями локально компактной группы G и невырожденными *-представлениями групп C*-алгебры C*( G ), теория для C*-алгебр немедленно дает теорию разложения для представлений отделимых локально компактных групп.

Теорема . Пусть A — сепарабельная C*-алгебра и π — невырожденное инволютивное представление A в сепарабельном гильбертовом пространстве H . Пусть W*(π) — алгебра фон Неймана, порожденная операторами π( a ) для a ∈ A . Тогда, соответствуя любому центральному разложению W*(π) над стандартным мерным пространством ( X , μ) (которое, как указано, является единственным в смысле теории меры), существует измеримое семейство факторных представлений

${\displaystyle \{\pi _{x}\}_{x\in X}}$

A такой , что

${\displaystyle \pi (a)=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu (x),\quad \forall a\in A.}$

Более того, существует подмножество N множества X с нулевой мерой μ, такое, что π _x , π _y не пересекаются всякий раз, когда x , y ∈ X − N , причем представления называются непересекающимися тогда и только тогда, когда между ними нет переплетающих операторов .

Можно показать, что прямой интеграл может быть проиндексирован на так называемом квазиспектре Q группы A , состоящем из классов квазиэквивалентности факторных представлений группы A. Таким образом, существует стандартная мера μ на Q и измеримое семейство факторных представлений, проиндексированных на Q, такое, что π _x принадлежит классу x . Это разложение по существу единственно. Этот результат является фундаментальным в теории групповых представлений .

Ссылки

1. Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Глава IV, Теорема 7.10, стр. 259

• Дж. Диксмье , Алгебры фон Неймана , ISBN 0-444-86308-7 
• Дж. Диксмье, C* алгебры ISBN 0-7204-0762-1 
• GW Mackey , Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета, 1976.
• Дж. фон Нейман , О кольцах операторов. Теория редукции Анналы математики 2-я серия, т. 50, № 2 (апрель 1949 г.), стр. 401–485.
• Теория операторных алгебр I, II, III Масамичи Такесаки », энциклопедия математических наук, Springer-Verlag, 2001–2003 (первый том был опубликован в 1979 году в 1-м издании) ISBN 3-540-42248-X