Сглаженный восьмиугольник

Двумерная форма

Сглаженный восьмиугольник.

Семейство максимально плотных упаковок сглаженного восьмиугольника.

Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, обнаруженная Карлом Рейнхардтом в 1934 году и по его предположению , имеющая наименьшую максимальную плотность упаковки плоскости среди всех центрально-симметричных выпуклых форм. ^[1] Он также был независимо открыт Куртом Малером в 1947 году. ^[2] Он построен путем замены углов правильного восьмиугольника сечением гиперболы , касательным к двум сторонам, прилегающим к углу, и асимптотическим к сторонам. прилегающие к этим.

Строительство

Углы сглаженного восьмиугольника можно найти, вращая три правильных восьмиугольника, центры которых образуют треугольник различной формы, но постоянной площади.

Построение сглаженного восьмиугольника (черный), касательной гиперболы (красный), асимптот этой гиперболы (зеленый) и касательных сторон к гиперболе (синий)

Гипербола, образующая каждый угол сглаженного восьмиугольника, касается двух сторон правильного восьмиугольника и асимптотична двум смежным с ними сторонам. ^[3] Следующие детали относятся к правильному восьмиугольнику описанного радиуса с центром в точке и одной вершиной в точке . Для двух констант и гипербола задается уравнением или эквивалентной параметризацией (только для правой ветви) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle m=(1/2)^{1/4}}$ $${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}}$$

для части гиперболы, образующей угол, заданной диапазоном значений параметра $${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.}$$

Линии восьмиугольника, касающиеся гиперболы, равны , а линии, асимптотические к гиперболе, — просто . ${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$ ${\displaystyle y=\pm \ell x}$

Упаковка

Для каждого центрально-симметричного выпуклого плоского множества, включая сглаженный восьмиугольник, максимальная плотность упаковки достигается за счет решетчатой ​​упаковки, в которой неповернутые копии формы передаются векторами решетки. ^[4] Сглаженный восьмиугольник достигает максимальной плотности упаковки не только для одной упаковки, но и для однопараметрического семейства. Все это решетчатые упаковки. ^[5] Сглаженный восьмиугольник имеет максимальную плотность упаковки, определяемую ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$$

Это ниже максимальной плотности упаковки кругов , которая составляет ^[3] $${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$$

Максимальная известная плотность упаковки обычного правильного восьмиугольника также немного меньше максимальной плотности упаковки кругов, но выше, чем у сглаженного восьмиугольника. ^[6] $${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$$

Нерешенная задача по математике :

Является ли сглаженный восьмиугольник центрально-симметричной выпуклой формой с наименьшей максимальной плотностью упаковки?

(еще нерешенные задачи по математике)

Гипотеза Рейнхардта о том, что сглаженный восьмиугольник имеет наименьшую максимальную плотность упаковки среди всех центрально-симметричных выпуклых форм на плоскости, остается нерешенной. Однако Томас Хейлз и Каундинья Ваджха заявили, что доказали более слабую гипотезу, утверждающую, что наиболее неупаковываемый центрально-симметричный выпуклый диск должен быть сглаженным многоугольником. ^{[7] [8]} Кроме того, Федор Назаров предоставил частичный результат, доказав, что сглаженный восьмиугольник является локальным минимумом плотности упаковки среди центрально-симметричных выпуклых форм. ^[9]

Если центральная симметрия не требуется, предполагается, что правильный семиугольник имеет еще меньшую плотность упаковки, но ни его плотность упаковки, ни его оптимальность не доказаны. В трех измерениях гипотеза Улама об упаковке утверждает, что ни одна выпуклая форма не имеет меньшей максимальной плотности упаковки, чем шар. ^[5]

Рекомендации

1. Рейнхардт, Карл (1934). «Über die dichteste gitterförmige Lagerung congruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven». Абх. Математика. Сем. унив. Гамбург . 10 : 216–230. дои : 10.1007/BF02940676. S2CID  120336230.
2. Малер, Курт (1947). «О минимальном определителе и описанных шестиугольниках выпуклой области» (PDF) . Indagationes Mathematicae . 9 : 326–337. МР  0021017.
3. Фейес Тот, Ласло ; Фейес Тот, Габор; Куперберг, Влодзимеж (2023). Лагерунген: Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 360. Чам: Спрингер. п. 106. дои : 10.1007/978-3-031-21800-2. ISBN 978-3-031-21799-9. МР  4628019.
4. Фейеш Тот, Ласло (1950). «Некоторые теоремы об упаковке и покрытии». Acta Universitatis Szegediensis . 12 : 62–67. МР  0038086.
5. Каллус, Йоав (2015). «Пессимальные формы упаковки». Геометрия и топология . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . дои : 10.2140/gt.2015.19.343. МР  3318753.
6. Аткинсон, Стивен; Цзяо, Ян; Торквато, Сальваторе (10 сентября 2012 г.). «Максимально плотные упаковки двумерных выпуклых и вогнутых некруглых частиц». Физический обзор E . 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Бибкод : 2012PhRvE..86c1302A. doi : 10.1103/physreve.86.031302. PMID  23030907. S2CID  9806947.
7. Хейлз, Томас; Ваджа, Кундинья (7 мая 2024 г.). «Упаковки сглаженных многоугольников». arXiv : 2405.04331 [math.OC].
8. Барбер, Грегори (28 июня 2024 г.). «Почему эту форму так ужасно упаковывать?». Журнал Кванта . Проверено 28 июня 2024 г.
9. Назаров, Флорида (1986). «К проблеме Рейнхардта о решетчатых упаковках выпуклых областей: локальная экстремальность восьмиугольника Рейнхардта». Записки научных семинаров Ленинградского отделения Математического института имени В.А. Стеклова Академии наук СССР (ЛОМИ) . 151 : 104–114, 197–198. дои : 10.1007/BF01727653. МР  0849319.

Внешние ссылки

• Упаковка сглаженных восьмиугольников. Джон Баэз, Visual Insight, блоги AMS, 2014 г.
• Самая тонкая плотная двумерная упаковка?. Питер Шолль, 2001.