Коэффициент серебра

Число, приблизительно 2,41421

В математике две величины находятся в серебряном соотношении (или серебряном среднем ) ^{[1] [2],} если отношение большей из этих двух величин к меньшей величине такое же, как отношение суммы меньшей величины плюс удвоенная большая величина к большей величине (см. ниже). Это определяет серебряное соотношение как иррациональную математическую константу , значение которой, равное единице плюс квадратный корень из 2, составляет приблизительно 2,4142135623. Его название является намеком на золотое соотношение ; аналогично тому, как золотое соотношение является предельным соотношением последовательных чисел Фибоначчи , серебряное соотношение является предельным соотношением последовательных чисел Пелля . Серебряное соотношение иногда обозначается как δ _S, но оно может варьироваться от λ до σ .

Математики изучали серебряную пропорцию еще со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени ей не давали специального названия) из-за ее связи с квадратным корнем из 2, его конвергентами, квадратными треугольными числами , числами Пелля, восьмиугольниками и тому подобными числами.

Описанное выше соотношение можно выразить алгебраически, для a > b:

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

Коэффициент серебра можно также определить с помощью простой цепной дроби [2; 2, 2, 2, ...]:

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}}$

Подходящие дроби этой непрерывной дроби ( ⁠2/1⁠ , ⁠5/2⁠ , ⁠12/5⁠ , ⁠29/12⁠ , ⁠70/29⁠ , ...) — это отношения последовательных чисел Пелля. Эти дроби обеспечивают точные рациональные приближения серебряного сечения, аналогичные приближению золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Правильный восьмиугольник, разложенный на серебряный прямоугольник (серый) и две трапеции (белые)

Серебряный прямоугольник соединен с правильным восьмиугольником . Если правильный восьмиугольник разбить на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник будет серебряным прямоугольником с соотношением сторон 1: δ _S , а 4 стороны трапеций находятся в соотношении 1:1:1: δ _S. Если длина ребра правильного восьмиугольника равна t , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δ _S t , а площадь восьмиугольника равна 2 δ _S t ^{2. [3} ]

Расчет

Для сравнения, две величины a и b, где a  >  b  > 0, называются находящимися в золотом сечении φ, если,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

Однако они находятся в серебряном соотношении δ _S, если,

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}}$

Поэтому,

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.}$

Умножение на δ _S и перестановка дают

${\displaystyle {\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

Используя квадратную формулу , можно получить два решения. Поскольку δ _S — это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому,

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots }$

Характеристики

Если отрезать от серебряного прямоугольника два максимально больших квадрата, то останется серебряный прямоугольник, с которым процесс можно повторить...

Серебряные спирали внутри серебряного прямоугольника

Помимо серебряного прямоугольника, серебряное соотношение также связано с правильным восьмиугольником и следующими трехмерными фигурами:

1.Усеченный куб

2.Дельтовидный икоситетраэдр

3.Ромбический кубооктаэдр

Теоретико-числовые свойства

Коэффициент серебра представляет собой число Пизота–Виджаярагхавана (число PV), поскольку его сопряженное число 1 − √ 2 = ⁠−1/δ _S⁠ ≈ −0,41421 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе наименьшее квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от δ ^н
_Сдо ближайшего целого числа ⁠1/δ ^н
_С⁠ ≈ 0,41421 ⁿ . Таким образом, последовательность дробных частей δ ^н
_С, n = 1, 2, 3, ... (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1 .

Полномочия

Низшие степени серебряного отношения равны

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

Полномочия продолжают действовать по образцу

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

где

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

Например, используя это свойство:

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

Используя K ₀ = 1 и K ₁ = 2 в качестве начальных условий, в результате решения рекуррентного соотношения получается формула типа Бине

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

который становится

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

Тригонометрические свойства

Серебряное отношение тесно связано с тригонометрическими отношениями для ⁠π/8⁠ = 22,5° .

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника со стороной длиной a определяется по формуле

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

Смотрите также

• Металлические средства
• Золотое сечение
• Коэффициент суперсеребра
• Мозаика Аммана–Беенкера

Ссылки

1. Вера В. де Спинадель (1999). Семейство металлических средних, Vismath 1(3) из Математического института Сербской академии наук и искусств .
2. de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ред.). «Металлические средства и дизайн». Nexus II: Архитектура и математика . Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
3. Капуста, Янош (2004), «Квадрат, круг и золотая пропорция: новый класс геометрических построений» (PDF) , Форма , 19 : 293–313.

Дальнейшее чтение

• Буитраго, Антония Редондо (2008). «Многоугольники, диагонали и бронзовое среднее», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика , стр. 321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 . 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное отношение». MathWorld .
• «Введение в непрерывные дроби: серебряные средние», архив 2018-12-08 в Wayback Machine , числа Фибоначчи и золотое сечение .
• «Серебряный прямоугольник и его последовательность» в Тартапелаго, Джорджо Пьетрокола