В геометрии сеть многогранника — это совокупность непересекающихся многоугольников , соединенных ребрами , на плоскости , которые можно сложить (вдоль ребер), чтобы стать гранями многогранника . Многогранные сети являются полезным подспорьем при изучении многогранников и объемной геометрии в целом, поскольку они позволяют строить физические модели многогранников из такого материала, как тонкий картон. [1]
Ранний пример многогранных сетей появляется в работах Альбрехта Дюрера , чья книга 1525 года «Курс искусства измерения с помощью циркуля и линейки » ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) включала сети для платоновых тел и некоторых архимедовых тел. . [2] [3] Эти конструкции впервые были названы сетями в 1543 году Августином Хиршфогелем . [4]
Для данного многогранника может существовать множество различных сетей, в зависимости от выбора того, какие ребра соединены, а какие разделены. Ребра, которые вырезаны из выпуклого многогранника для формирования сети, должны образовывать остовное дерево многогранника, но вырезание некоторых остовных деревьев может привести к самоперекрытию многогранника при развертывании, а не к образованию сети. [5] И наоборот, данная сеть может складываться в несколько различных выпуклых многогранников, в зависимости от углов, под которыми сложены ее края, и выбора того, какие края склеить. [6] Если дана сетка с образцом склейки ее ребер, такая, что каждая вершина полученной фигуры имеет положительный угловой дефект и такая, что сумма этих дефектов равна ровно 4 π , то обязательно существует ровно один многогранник. что из него можно сложить; это теорема единственности Александрова . Однако сформированный таким образом многогранник может иметь грани, отличные от тех, которые указаны как часть сети: некоторые из сетевых многоугольников могут иметь складки поперек них, а некоторые ребра между чистыми многоугольниками могут оставаться развернутыми. Кроме того, одна и та же сеть может иметь несколько допустимых шаблонов склейки, что приводит к образованию разных сложенных многогранников. [7]
Каждый ли выпуклый многогранник имеет простую развертку ребер?
В 1975 году Шепард задался вопросом, имеет ли каждый выпуклый многогранник хотя бы одну сеть или простое развертывание ребер. [8] Этот вопрос, который также известен как гипотеза Дюрера или проблема развертывания Дюрера, остается без ответа. [9] [10] [11] Существуют невыпуклые многогранники, которые не имеют разветвлений, и можно разделить грани каждого выпуклого многогранника (например, по разрезу ) , так что набор разделенных граней имеет сеть. [5] В 2014 году Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник допускает сеть после аффинного преобразования . [12] Кроме того, в 2019 году Барвинок и Гоми показали, что обобщение гипотезы Дюрера неверно для псевдоребер , [13] то есть сети геодезических, которые соединяют вершины многогранника и образуют граф с выпуклыми гранями.
Связанный с этим открытый вопрос заключается в том, имеет ли каждая сеть выпуклого многогранника « блуминг» — непрерывное несамопересекающееся движение из плоского состояния в сложенное, которое сохраняет каждую грань плоской на протяжении всего движения. [14]
Кратчайший путь по поверхности между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на подходящей сети для подмножества граней, которых касается путь. Сеть должна быть такой, чтобы прямая линия полностью находилась внутри нее, и, возможно, придется рассмотреть несколько сетей, чтобы увидеть, какая из них дает кратчайший путь. Например, в случае куба , если точки находятся на соседних гранях, одним кандидатом на кратчайший путь является путь, пересекающий общее ребро; кратчайший путь такого типа находится с помощью сети, в которой две грани также смежны. Другие кандидаты на кратчайший путь проходят через поверхность третьей грани, примыкающей к обеим (которых две), и соответствующие сети можно использовать для поиска кратчайшего пути в каждой категории. [15]
Задача о пауке и мухе — это развлекательная математическая головоломка, в которой нужно найти кратчайший путь между двумя точками кубоида.
Сеть 4-многогранника , четырехмерного многогранника , состоит из многогранных ячеек , соединенных своими гранями и занимающих все одно и то же трехмерное пространство, подобно тому, как многогранные грани сети многогранника соединены своими гранями. края и все занимают одну и ту же плоскость. Сеть тессеракта, четырехмерного гиперкуба , широко используется в картине Сальвадора Дали « Распятие (Corpus Hypercubus)» (1954). [16] Та же сеть тессеракта занимает центральное место в сюжете рассказа Роберта А. Хайнлайна «И он построил кривой дом» . [17]
Число комбинаторно различных сетей -мерных гиперкубов можно найти, представляя эти сети в виде дерева на узлах, описывающего шаблон, по которому пары граней гиперкуба склеиваются вместе, образуя сеть, вместе с идеальным паросочетанием на графе дополнений . дерева, описывающего пары граней, противоположных друг другу на свернутом гиперкубе. Используя это представление, количество различных разверток гиперкубов размерностей 2, 3, 4,... было подсчитано как
{{citation}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )