Преобразование Вейля

См. также Преобразование Вигнера – Вейля для другого определения преобразования Вейля.

В теоретической физике преобразование Вейля , названное в честь Германа Вейля , представляет собой локальное изменение масштаба метрического тензора :

${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$

который создает другую метрику в том же конформном классе . Теория или выражение, инвариантные относительно этого преобразования, называются конформно-инвариантными , или говорят, что они обладают инвариантностью Вейля или симметрией Вейля . Симметрия Вейля — важная симметрия в конформной теории поля . Это, например, симметрия действия Полякова . Когда квантово-механические эффекты нарушают конформную инвариантность теории, говорят, что она демонстрирует конформную аномалию или аномалию Вейля .

Обычная связность Леви-Чивита и связанные с ней спиновые связи не инвариантны относительно преобразований Вейля. Связности Вейля — это класс аффинных связей, который является инвариантным, хотя ни одна связность Вейля не является индивидуально инвариантной относительно преобразований Вейля.

Конформный вес

Величина имеет конформный вес , если при преобразовании Вейля она преобразуется через ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega }.}$

Таким образом, конформно взвешенные величины принадлежат определенным расслоениям плотности ; см. также конформное измерение . Пусть – связность одной формы, связанная со связностью Леви-Чивита . Введем связь, которая зависит также от исходной одноформы через ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

Тогда ковариантно и имеет конформный вес . ${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi }$ ${\displaystyle k-1}$

Формулы

Для трансформации

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

Мы можем вывести следующие формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

Обратите внимание, что тензор Вейля инвариантен относительно масштабирования Вейля.

Рекомендации

• Вейль, Герман (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [ Пространство, Время, Материя ]. Лекции по общей теории относительности (на немецком языке). Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-56978-2.