Ссылка (симплициальный комплекс)

Связь в симплициальном комплексе является обобщением соседства вершины в графе. Связь вершины кодирует информацию о локальной структуре комплекса в вершине.

Ссылка вершины

Для данного абстрактного симплициального комплекса $X$ и вершины в его связь является множеством, содержащим каждую грань такую , что и является гранью $X.$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\textstyle v\не \в \тау }$ ${\textstyle \тау \чашка \{v\}}$

В частном случае, когда $X$ является одномерным комплексом (то есть графом ), содержит все вершины , такие что является ребром в графе; то есть окрестность в графе. ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle u\neq v}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\textstyle v}$

Для геометрического симплициального комплекса $X$ и его связь является множеством, содержащим каждую грань, такую что и существует симплекс в , который имеет в качестве вершины и в качестве грани. ^[1]^{: 3} Эквивалентно, соединение является гранью в . ^[2]^{: 20} ${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\textstyle v\не \в \тау }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle \тау}$ ${\textstyle v\звезда \тау }$ ${\textstyle X}$

В качестве примера предположим, что v — верхняя вершина тетраэдра слева. Тогда связь v — это треугольник в основании тетраэдра. Это потому, что для каждого ребра этого треугольника соединение v с ребром — это треугольник (один из трех треугольников по сторонам тетраэдра); а соединение v с самим треугольником — это весь тетраэдр.
Связующим звеном вершины тетраэдра является треугольник.

Альтернативное определение: связь вершины — это граф $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ , построенный следующим образом. Вершины $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ — это ребра $X$ , инцидентные $v$ . Два таких ребра являются смежными в $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ тогда и только тогда, когда они инцидентны общей 2-клетке в $v$ . ${\textstyle v\in V(X)}$

Графу $Lk(v, X)$ часто приписывается топология шара малого радиуса с центром в $точке v$ ; он является аналогом сферы с центром в точке. ^[3]

Ссылка на лицо

Определение связи можно распространить с одной вершины на любую грань.

Для данного абстрактного симплициального комплекса $X$ и любой грани X $его$ связь представляет собой множество, содержащее каждую грань , которая не пересекается и является гранью $X$ : . ${\textstyle \сигма}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\textstyle \сигма ,\тау }$ ${\ textstyle \ тау \ чашка \ сигма }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$

Для геометрического симплициального комплекса $X$ и любой грани его связь является множеством, содержащим каждую грань , которая не пересекается, и существует симплекс в , который имеет обе грани и . ^[1]^{: 3} ${\textstyle \сигма \in X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\textstyle \сигма ,\тау }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \сигма}$ ${\textstyle \тау}$

Примеры

Связь вершины тетраэдра представляет собой треугольник – три вершины связи соответствуют трем ребрам, инцидентным вершине, а три ребра связи соответствуют граням, инцидентным вершине. В этом примере связь можно визуализировать, отсекая вершину плоскостью; формально, пересекая тетраэдр плоскостью вблизи вершины – полученное поперечное сечение и есть связь.

Другой пример проиллюстрирован ниже. Есть двумерный симплициальный комплекс. Слева вершина отмечена желтым цветом. Справа связь этой вершины отмечена зеленым цветом.

Вершина и ее связь .

Характеристики

Для любого симплициального комплекса $X$ каждое звено замкнуто вниз, и поэтому он также является симплициальным комплексом ; он является подкомплексом $X.$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$
Поскольку $X$ является симплициальным, между и множеством существует изоморфизм множеств : каждое соответствует , что входит в . ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ $X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ такой, что }}\sigma \subseteq \rho \}$ ${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\ textstyle \ тау \ чашка \ сигма }$ $X_{\сигма}$

Ссылка и звезда

Понятие, тесно связанное с ссылкой, — звезда .

Если задан абстрактный симплициальный комплекс $X$ и любая грань , , его звезда — это множество, содержащее каждую грань, такую что является гранью $X$ . В частном случае, когда $X$ является одномерным комплексом (то есть графом ) , содержит все ребра для всех вершин , которые являются соседями . То есть, это теоретико-графовая звезда с центром в . ${\textstyle \сигма \in X}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\ textstyle \ тау \ чашка \ сигма }$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle у}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle у}$

Если задан геометрический симплициальный комплекс $X$ и любая грань , то его звезда — это множество, содержащее каждую грань, такую, что существует симплекс, имеющий обе грани и : . Другими словами, это замыкание множества — множество симплексов, имеющих грань. ${\textstyle \сигма \in X}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \тау \in X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \сигма}$ ${\textstyle \тау}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ являются гранями }}\rho \}}$ ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ является гранью }}\rho \}}$ ${\textstyle \сигма}$

Итак, ссылка является подмножеством звезды. Звезда и ссылка связаны следующим образом:

Для любого , . ^[1]^{: 3} ${\textstyle \сигма \in X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
Для любого , то есть звезда является конусом его зацепления в . ^[2]^{: 20} ${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle v}$

Пример проиллюстрирован ниже. Есть двумерный симплициальный комплекс. Слева вершина отмечена желтым. Справа звезда этой вершины отмечена зеленым.

Вершина и ее звезда .

Смотрите также

Вершинная фигура — геометрическое понятие, аналогичное симплициальному зацеплению.

Ссылки

^ abc Брайант, Джон Л. (2001-01-01), Дэверман, Р. Дж.; Шер, Р. Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология», Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5, получено 2022-11-15
^ ab Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1972). Введение в кусочно-линейную топологию. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
^ Бридсон, Мартин ; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer , ISBN 3-540-64324-9