Синусоида тополога

Патологическое топологическое пространство

По мере того, как x приближается к нулю справа, величина скорости изменения 1/ x увеличивается. Вот почему частота синусоиды увеличивается по мере продвижения влево по графику.

В разделе математики , известном как топология , топологическая синусоида или Варшавская синусоида представляет собой топологическое пространство с несколькими интересными свойствами, которые делают его важным примером для учебника.

Его можно определить как график функции sin(1/ x ) на полуинтервале (0, 1] вместе с началом координат в топологии, индуцированной из евклидовой плоскости :

${\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}$

Характеристики

Синусоидальная кривая тополога T связна , но не локально связна и не связана по пути . Это происходит потому, что она включает точку (0,0), но нет способа связать функцию с началом координат, чтобы создать путь .

Пространство T является непрерывным образом локально компактного пространства (а именно, пусть V будет пространством {−1} ∪ (0, 1] и используем отображение f из V в T, определенное соотношениями f (−1) = (0,0) и f ( x ) = ( x , sin(1/ x )) для x > 0), но само T не является локально компактным.

Топологическая размерность T равна 1 .

Варианты

Два варианта топологической синусоиды обладают и другими интересными свойствами.

Синусоиду замкнутого тополога можно определить, взяв синусоиду тополога и добавив ее набор предельных точек ; некоторые тексты определяют саму синусоиду тополога как эту замкнутую версию, поскольку они предпочитают использовать термин «синусоида замкнутого тополога» для обозначения другой кривой. [ ^1] Это пространство замкнуто и ограничено, а значит, компактно по теореме Гейне–Бореля , но имеет схожие свойства с синусоидой тополога — оно тоже связно, но не локально связно и не линейно связно. ${\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}$

Синусоиду расширенного тополога можно определить, взяв синусоиду замкнутого тополога и добавив к ней множество . Она дугообразно связана , но не локально связана . ${\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}$

Смотрите также

• Список топологий
• Варшавский круг

Ссылки

1. Манкрес, Джеймс Р. (1979). Топология; первый курс . Englewood Cliffs. стр. 158. ISBN 9780139254956.

• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 137–138, ISBN 978-0-486-68735-3, г-н  1382863
• Вайсштейн, Эрик В. «Синусоидальная кривая тополога». Математический мир .