Система компьютерной алгебры

Математическое программное обеспечение

Система компьютерной алгебры ( CAS ) или система символьной алгебры ( SAS ) — это любое математическое программное обеспечение , способное манипулировать математическими выражениями аналогично традиционным ручным вычислениям математиков и ученых . Развитие систем компьютерной алгебры во второй половине 20-го века является частью дисциплины « компьютерная алгебра » или «символьные вычисления», что стимулировало работу над алгоритмами над математическими объектами, такими как полиномы .

Системы компьютерной алгебры можно разделить на два класса: специализированные и общего назначения. Специализированные посвящены определенному разделу математики, например, теории чисел , теории групп или преподаванию элементарной математики .

Системы компьютерной алгебры общего назначения призваны быть полезными пользователю, работающему в любой научной области, требующей манипулирования математическими выражениями. Чтобы быть полезной, система компьютерной алгебры общего назначения должна включать в себя различные функции, такие как:

• пользовательский интерфейс , позволяющий пользователю вводить и отображать математические формулы, обычно с помощью клавиатуры, пунктов меню, мыши или стилуса.
• язык программирования и интерпретатор (результат вычислений обычно имеет непредсказуемую форму и непредсказуемый размер, поэтому часто требуется вмешательство пользователя),
• упроститель , который представляет собой систему переписывания для упрощения математических формул,
• менеджер памяти , включая сборщик мусора , необходимый из-за огромного размера промежуточных данных, которые могут появиться во время вычислений,
• арифметика произвольной точности , необходимая из-за огромного размера целых чисел, которые могут встречаться,
• большая библиотека математических алгоритмов и специальных функций .

Библиотека должна обеспечивать не только потребности пользователей, но и потребности упрощателя. Например, вычисление полиномиальных наибольших общих делителей систематически используется для упрощения выражений, включающих дроби.

Такое большое количество необходимых компьютерных возможностей объясняет небольшое количество систем компьютерной алгебры общего назначения. Важнейшие системы включают Axiom , GAP , Maxima , Magma , Maple , Mathematica и SageMath .

История

Калькулятор Texas Instruments TI-Nspire , содержащий систему компьютерной алгебры.

Системы компьютерной алгебры начали появляться в 1960-х годах и развивались из двух совершенно разных источников — требований физиков-теоретиков и исследований в области искусственного интеллекта .

Ярким примером первой разработки стала новаторская работа, проведенная впоследствии лауреатом Нобелевской премии по физике Мартинусом Вельтманом , который в 1963 году разработал программу для символической математики, особенно физики высоких энергий, под названием Schoonschip (по-голландски «чистый корабль»). Другой ранней системой был FORMAC .

Используя Lisp в качестве основы программирования, Карл Энгельман создал MATHLAB в 1964 году в MITRE в рамках исследовательской среды искусственного интеллекта. Позже MATHLAB стал доступен пользователям систем PDP-6 и PDP-10, работающих под управлением TOPS-10 или TENEX в университетах. Сегодня его все еще можно использовать в SIMH- эмуляциях PDP-10. MATLAB (« математическая лаборатория ») не следует путать с MATLAB (« матричная лаборатория »), которая представляет собой систему численных вычислений, созданную 15 лет спустя в Университете Нью - Мексико .

В 1987 году компания Hewlett-Packard представила первый ручной калькулятор CAS серии HP-28 , и впервые в калькуляторе стало возможным ^[1] упорядочивать алгебраические выражения, дифференцирование, ограниченное символьное интегрирование, ряды Тейлора. построение и решатель алгебраических уравнений. В 1999 году независимо разработанная CAS Erable для серии HP 48 стала официально интегрированной частью прошивки появляющейся серии HP 49/50 , а год спустя также и для серии HP 40 , тогда как HP Prime приняла систему Xcas . в 2013.

Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с CAS на базе программного обеспечения Derive ; серия TI-Nspire заменила Derive в 2007 году. Серия TI-89 , впервые выпущенная в 1998 году, также содержит CAS.

Casio выпустила свой первый калькулятор CAS CFX -9970G , а на смену ему пришла серия Algebra FX в 1999–2003 годах и нынешняя серия ClassPad . ^{[ нужна цитата ]}

Первыми популярными системами компьютерной алгебры были muMATH , Download , Derive (на основе muMATH) и Macsyma ; популярная версия Macsyma с авторским левом под названием Maxima активно поддерживается. Редукция стала свободным программным обеспечением в 2008 году. ^[2] На сегодняшний день ^{[ когда? ]} наиболее популярными коммерческими системами являются Mathematica ^[3] и Maple , которые обычно используются математиками-исследователями, учеными и инженерами. Свободно доступные альтернативы включают SageMath (который может выступать в качестве интерфейса для нескольких других бесплатных и несвободных CAS). Другие важные системы включают Axiom , GAP , Maxima , Magma и SageMath .

Переход к веб-приложениям в начале 2000-х годов ознаменовался выпуском WolframAlpha , онлайн-поисковой системы и CAS, включающего возможности Mathematica . ^[4]

Совсем недавно системы компьютерной алгебры были реализованы с использованием искусственных нейронных сетей , хотя по состоянию на 2020 год они коммерчески недоступны. ^[5]

Символические манипуляции

Поддерживаемые символические манипуляции обычно включают:

• упрощение до меньшего выражения или некоторой стандартной формы , включая автоматическое упрощение с предположениями и упрощение с ограничениями
• замена символов или числовых значений для определенных выражений
• изменение формы выражений: разложение произведений и степеней, частичная и полная факторизация , перезапись в простейшие дроби , удовлетворение ограничений , переписывание тригонометрических функций в экспоненты, преобразование логических выражений и т.д.
• частичная и полная дифференциация
• некоторое неопределенное и определенное интегрирование (см. символическое интегрирование ), включая многомерные интегралы
• символическая ограниченная и неограниченная глобальная оптимизация
• решение линейных и некоторых нелинейных уравнений в различных областях
• решение некоторых дифференциальных и разностных уравнений
• принимая некоторые ограничения
• интегральные преобразования
• рядные операции, такие как разложение, суммирование и произведение
• матричные операции, включая произведения , обратные операции и т. д.
• статистические вычисления
• доказательство и проверка теорем , что очень полезно в области экспериментальной математики.
• оптимизированная генерация кода

В приведенном выше слове слово some указывает на то, что операцию не всегда можно выполнить.

Дополнительные возможности

Многие из них также включают в себя:

• язык программирования , позволяющий пользователям реализовывать свои собственные алгоритмы
• числовые операции произвольной точности
• точная целочисленная арифметика и функциональность теории чисел
• Редактирование математических выражений в двумерной форме
• построение графиков и параметрических графиков функций в двух и трех измерениях и их анимация
• рисование схем и диаграмм
• API-интерфейсы для его связывания с внешней программой, такой как база данных, или использования на языке программирования для использования системы компьютерной алгебры.
• манипуляции со строками , такие как сопоставление и поиск
• дополнения для использования в прикладной математике, ^такой как физика, биоинформатика , вычислительная химия и ^пакеты для физических ^{вычислений}
• решатели дифференциальных уравнений ^{[6] [7] [8] [9]}

Некоторые включают в себя:

• графическое производство и редактирование, такое как компьютерные изображения и обработка сигналов , например обработка изображений
• синтез звука

Некоторые системы компьютерной алгебры ориентированы на специализированные дисциплины; они обычно разрабатываются в научных кругах и бесплатны. Они могут быть неэффективны для числовых операций по сравнению с числовыми системами .

Типы выражений

Выражения, которыми управляет CAS, обычно включают полиномы от нескольких переменных; стандартные функции выражений ( синус , экспонента и т. д.); различные специальные функции ( Γ , ζ , erf , функции Бесселя и т. д.); произвольные функции выражений; оптимизация; производные, интегралы, упрощения, суммы и произведения выражений; усеченные ряды с выражениями в виде коэффициентов, матриц выражений и т. д. Поддерживаемые числовые домены обычно включают представление действительных чисел с плавающей запятой , целые числа (неограниченного размера), комплексные (представление с плавающей запятой), интервальное представление действительных чисел , рациональные числа (точное представление) и алгебраические числа .

Использование в образовании

Было много сторонников более широкого использования систем компьютерной алгебры в классах начальной и средней школы. Основная причина такой пропаганды заключается в том, что системы компьютерной алгебры отражают реальную математику больше, чем математика, основанная на бумаге и карандаше или ручном калькуляторе. ^[10] Это стремление к более широкому использованию компьютеров в математических классах было поддержано некоторыми советами по образованию. В некоторых регионах это даже включено в учебную программу. ^[11]

Системы компьютерной алгебры широко используются в высшем образовании. ^{[12] [13]} Многие университеты либо предлагают специальные курсы по развитию их использования, либо подразумевают, что студенты будут использовать их в своей курсовой работе. Компании, разрабатывающие системы компьютерной алгебры, стремятся увеличить их распространенность в программах университетов и колледжей. ^{[14] [15]}

Калькуляторы, оснащенные CAS, не разрешены на экзаменах ACT , PLAN и в некоторых классах ^[16] , хотя они могут быть разрешены на всех разрешенных калькуляторами тестах Совета колледжей , включая SAT , некоторые предметные тесты SAT и AP Calculus. Экзамены по химии , физике и статистике .

Математика, используемая в системах компьютерной алгебры

• Алгоритм завершения Кнута – Бендикса ^[17]
• Алгоритмы поиска корня ^[17]
• Символьное интегрирование, например, с помощью алгоритма Риша или алгоритма Риша – Нормана.
• Гипергеометрическое суммирование, например, с помощью алгоритма Госпера.
• Предельное вычисление, например, с помощью алгоритма Грунца.
• Полиномиальная факторизация , например, по конечным полям, ^[18] алгоритм Берлекампа или алгоритм Кантора–Зассенхауза .
• Наибольший общий делитель, например, с помощью алгоритма Евклида
• Метод исключения Гаусса ^[19]
• Базис Грёбнера, например, с помощью алгоритма Бухбергера ; обобщение алгоритма Евклида и исключения Гаусса
• Аппроксимант Паде
• Лемма Шварца – Циппеля и проверка полиномиальных тождеств.
• Китайская теорема об остатках
• Диофантовые уравнения
• Устранение кванторов над действительными числами, например, с помощью метода Тарского/ цилиндрического алгебраического разложения.
• Алгоритм Ландау (вложенные радикалы)
• Производные элементарных функций и специальных функций . (например, см. производные неполной гамма-функции .)
• Цилиндрическое алгебраическое разложение

Смотрите также

• Математический портал

• Список систем компьютерной алгебры
• Научные вычисления
• Статистический пакет
• Автоматизированное доказательство теорем
• Алгебраический язык моделирования
• Программирование логики ограничений
• Теории выполнимости по модулю

Рекомендации

1. Нельсон, Ричард. «Первые калькуляторы Hewlett-Packard». Hewlett Packard. Архивировано из оригинала 3 июля 2010 г.
2. «Система компьютерной алгебры REDUCE в SourceForge» . уменьшить-algebra.sourceforge.net . Проверено 28 сентября 2015 г.
3. Интервью с Гастоном Гонне, соавтором Maple. Архивировано 29 декабря 2007 г. в Wayback Machine , SIAM History of Numerical Analysis and Computing, 16 марта 2005 г.
4. Бхаттачарья, Джотирмой (12 мая 2022 г.). «Wolfram | Alpha: бесплатная онлайн-система компьютерной алгебры». Индус . ISSN  0971-751X . Проверено 26 апреля 2023 г.
5. Орнес, Стивен. «Символическая математика наконец уступает место нейронным сетям». Журнал Кванта . Проверено 4 ноября 2020 г.
6. «dsolve — Помощь по программированию Maple» . www.maplesoft.com . Проверено 9 мая 2020 г.
7. "DSolve - Документация по языку Wolfram" . www.wolfram.com . Проверено 28 июня 2020 г.
8. «Основы алгебры и исчисления — Учебное пособие Sage v9.0». doc.sagemath.org . Проверено 9 мая 2020 г.
9. «Символическая алгебра и математика с Xcas» (PDF) .
10. «Обучение детей настоящей математике с помощью компьютеров» . Тед.ком . Проверено 12 августа 2017 г.
11. «Математика - Образование Манитобы» . Edu.gov.mb.ca. _ Проверено 12 августа 2017 г.
12. «Математика для преподавателей, сотрудников и студентов: информационные технологии - Северо-Западный университет» . It.northwestern.edu . Проверено 12 августа 2017 г.
13. «Математика для студентов - информационные технологии Колумбийского университета» . cuit.columbia.edu . Проверено 12 августа 2017 г.
14. «Математика для высшего образования: использование для курсов в университетах и ​​​​колледжах» . Вольфрам.com . Проверено 12 августа 2017 г.
15. "MathWorks - Академия - MATLAB и Simulink" . Mathworks.com . Проверено 12 августа 2017 г.
16. Тесты CAAP ACT: использование калькуляторов в тесте по математике CAAP. Архивировано 31 августа 2009 г., в Wayback Machine.
17. Б. Бухбергер; Дж. Е. Коллинз; Р. Лоос (29 июня 2013 г.). Компьютерная алгебра: символические и алгебраические вычисления. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-3406-1.
18. Иоахим фон цур Гатен; Юрген Герхард (25 апреля 2013 г.). Современная компьютерная алгебра. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03903-2.
19. Кейт О. Геддес; Стивен Р. Чапор; Джордж Лабан (30 июня 2007 г.). Алгоритмы компьютерной алгебры. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-585-33247-5.

Внешние ссылки

• Учебная программа и оценка в эпоху систем компьютерной алгебры. Архивировано 1 декабря 2009 г. в Wayback Machine — из Информационного центра образовательных ресурсов по науке, математике и экологическому образованию, Колумбус, Огайо .
• Ричард Дж. Фейтман. «Очерки по алгебраическому упрощению». Технический отчет MIT-LCS-TR-095, 1972 г. (Представляет исторический интерес, показывая направление исследований в области компьютерной алгебры. На сайте MIT LCS: [1])