Система управления данными

Семейство систем управления

Системы управления, управляемые данными, представляют собой широкое семейство систем управления , в которых идентификация модели процесса и/или конструкция контроллера полностью основана на экспериментальных данных, собранных на предприятии. ^[1]

Во многих приложениях управления попытка написать математическую модель установки считается сложной задачей, требующей усилий и времени от инженеров-технологов и специалистов по управлению. Эта проблема решается с помощью методов , управляемых данными , которые подгоняют модель системы к собранным экспериментальным данным, выбирая ее в определенном классе моделей. Затем инженер по управлению может использовать эту модель для разработки подходящего контроллера для системы. Однако до сих пор сложно найти простую, но надежную модель физической системы, включающую только ту динамику системы, которая представляет интерес для характеристик управления. Методы прямого управления данными позволяют настраивать контроллер, принадлежащий заданному классу, без необходимости идентификации модели системы. Таким образом, можно также просто взвесить интересующую динамику процесса внутри функции затрат на управление и исключить те динамики, которые не представляют интереса.

Обзор

Стандартный подход к проектированию систем управления состоит из двух этапов:

1. Идентификация модели направлена ​​на оценку номинальной модели системы , где – оператор единичной задержки (для представления передаточных функций в дискретном времени), а – вектор параметров, идентифицированных на наборе данных. Затем проверка состоит в построении набора неопределенностей , содержащего истинную систему на определенном уровне вероятности. ${\displaystyle {\widehat {G}}=G\left(q;{\widehat {\theta }}_{N}\right)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{N}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{0}}$
2. Целью проектирования контроллера является поиск контроллера, обеспечивающего стабильность замкнутого контура и требуемую производительность при . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Типичными целями идентификации системы являются как можно более близкое к , и как можно меньшее значение. Однако с точки зрения идентификации для управления , что действительно важно, так это производительность, достигнутая контроллером, а не внутреннее качество модели. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Один из способов справиться с неопределенностью — разработать контроллер, который будет иметь приемлемую производительность со всеми моделями в . Это основная идея процедуры проектирования надежного управления , целью которой является создание описания неопределенности процесса в частотной области. Однако, поскольку этот подход основан на предположениях наихудшего случая, а не на идее усреднения шума, он обычно приводит к консервативным наборам неопределенностей. Скорее, методы, основанные на данных, справляются с неопределенностью, работая с экспериментальными данными и избегая чрезмерного консерватизма. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{0}}$

Ниже представлены основные классификации систем управления, управляемых данными.

Косвенные и прямые методы

Существует множество методов управления системами. Фундаментальное различие заключается между косвенными и прямыми методами проектирования контроллера. В первой группе методов по-прежнему сохраняется стандартный двухэтапный подход, т.е. сначала идентифицируется модель, затем на основе этой модели настраивается контроллер. Основная проблема при этом заключается в том, что контроллер рассчитывается на основе предполагаемой модели (в соответствии с принципом эквивалентности достоверности ), но на практике . Чтобы преодолеть эту проблему, идея последней группы методов состоит в том, чтобы отобразить экспериментальные данные непосредственно на контроллере без какой-либо промежуточной идентификации модели. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}\neq G_{0}}$

Итерационные и неитеративные методы

Еще одно важное различие — между итеративными и неитеративными (или однократными ) методами. В первой группе для оценки параметров регулятора необходимы повторные итерации, в ходе которых задача оптимизации выполняется на основе результатов предыдущей итерации, и ожидается, что оценка будет становиться все более точной на каждой итерации. Этот подход также может быть реализован в режиме онлайн (см. ниже). В последней группе (оптимальная) параметризация регулятора обеспечивается одной оптимизационной задачей. Это особенно важно для тех систем, в которых итерации или повторения экспериментов по сбору данных ограничены или даже не допускаются (например, из-за экономических аспектов). В таких случаях следует выбрать метод проектирования, позволяющий создать контроллер на одном наборе данных. Этот подход часто реализуется в автономном режиме (см. ниже).

Он-лайн и офф-лайн методы.

Поскольку в практических промышленных приложениях данные разомкнутого или замкнутого контура часто доступны постоянно, методы , основанные на данных, используют эти данные для улучшения качества идентифицированной модели и/или производительности контроллера каждый раз, когда появляется новая информация. собирается на заводе. Вместо этого автономные подходы работают с пакетами данных, которые можно собирать только один или несколько раз через регулярный (но довольно длительный) интервал времени.

Итеративная настройка обратной связи

Метод итеративной настройки с обратной связью (IFT) был введен в 1994 году ^[2] , начиная с наблюдения, что при идентификации управления каждая итерация основана на (неправильном) принципе эквивалентности достоверности.

IFT — это безмодельный метод прямой итеративной оптимизации параметров контроллера фиксированного порядка; такие параметры могут последовательно обновляться с использованием информации, поступающей в результате стандартной (замкнутой) работы системы.

Пусть – желаемый выходной сигнал опорного сигнала ; ошибка между достигнутым и желаемым ответом равна . Цель разработки средств управления можно сформулировать как минимизацию целевой функции: ${\displaystyle y^{d}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}(\rho )=y(\rho )-y^{d}}$

${\displaystyle J(\rho )={\frac {1}{2N}}\sum _{t=1}^{N}E\left[{\tilde {y}}(t,\rho )^{2}\right].}$

Учитывая целевую функцию, которую необходимо минимизировать, можно применить метод квазиньютона , то есть минимизацию на основе градиента с использованием поиска градиента типа:

${\displaystyle \rho _{i+1}=\rho _{i}-\gamma _{i}R_{i}^{-1}{\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}(\rho _{i}).}$

Значение представляет собой размер шага, является соответствующей положительно определенной матрицей и является аппроксимацией градиента; истинное значение градиента определяется следующим образом: ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}}$

${\displaystyle {\frac {dJ}{d\rho }}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left[{\tilde {y}}(t,\rho ){\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )\right].}$

Значение получается с помощью следующей трехэтапной методики: ${\displaystyle {\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )}$

1. Обычный эксперимент: Проведите эксперимент в системе с замкнутым контуром, используя контроллер и эталон; собрать N измерений выходного сигнала , обозначенного как . ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y(\rho )}$ ${\displaystyle y^{(1)}(\rho )}$
2. Градиентный эксперимент: выполните эксперимент в системе с замкнутым контуром с контроллером и 0 в качестве эталона ; подайте сигнал так, чтобы он суммировался с выходной управляющей переменной и поступал в качестве входного сигнала на объект. Соберите выходные данные, обозначенные как . ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r-y^{(1)}(\rho )}$ ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle y^{(2)}(\rho )}$
3. В качестве градиентного приближения возьмем следующее: . ${\displaystyle {\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho )={\frac {\delta C}{\delta \rho }}(\rho )y^{(2)}(\rho )}$

Решающим фактором для скорости сходимости алгоритма является выбор ; когда оно мало, хорошим выбором является приближение, заданное направлением Гаусса – Ньютона: ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}{\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho _{i}){\frac {\delta {\widehat {y}}^{T}}{\delta \rho }}(\rho _{i}).}$

Неитеративная настройка на основе корреляции

Неитеративная настройка на основе корреляции (nCbT) — это неитеративный метод управляемой данными настройки контроллера с фиксированной структурой. ^[3] Он обеспечивает одноразовый метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

Предположим, что это обозначает неизвестный стабильный объект SISO с LTI, определяемую пользователем эталонную модель и определяемую пользователем весовую функцию. Контроллер фиксированного порядка LTI обозначается как , где и является вектором базисных функций LTI. Наконец, это идеальный контроллер LTI любой структуры, гарантирующий функцию замкнутого контура при применении к . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K(\rho )=\beta ^{T}\rho }$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Цель состоит в том, чтобы минимизировать следующую целевую функцию:

${\displaystyle J(\rho )=\left\|F{\bigg (}{\frac {K^{*}G-K(\rho )G}{(1+K^{*}G)^{2}}}{\bigg )}\right\|_{2}^{2}.}$

${\displaystyle J(\rho )}$является выпуклой аппроксимацией целевой функции, полученной из эталонной задачи модели, предполагая, что . ${\displaystyle {\frac {1}{(1+K(\rho )G)}}\approx {\frac {1}{(1+K^{*}G)}}}$

При устойчивости и минимальной фазе аппроксимированная эталонная задача модели эквивалентна минимизации нормы в схеме на рисунке. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varepsilon (t)}$

Идея состоит в том, что, когда G стабильна и имеет минимальную фазу, аппроксимированная эталонная задача модели эквивалентна минимизации нормы . ${\displaystyle \varepsilon }$

Предполагается, что входной сигнал является постоянно возбуждающим входным сигналом и генерируется стабильным механизмом генерации данных. Таким образом, эти два сигнала не коррелируют в эксперименте с разомкнутым контуром; следовательно, идеальная ошибка не коррелирует с . Таким образом, цель контроля состоит в нахождении таких, которые и некоррелированы. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (t,\rho ^{*})}$

Вектор инструментальных переменных определяется как: ${\displaystyle \zeta (t)}$

${\displaystyle \zeta (t)=[r_{W}(t+\ell _{1}),r_{W}(t+\ell _{1}-1),\ldots ,r_{W}(t),\ldots ,r_{W}(t-\ell _{1})]^{T}}$

где достаточно большое и , где соответствующий фильтр. ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle r_{W}(t)=Wr(t)}$ ${\displaystyle W}$

Корреляционная функция:

${\displaystyle f_{N,\ell _{1}}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\zeta (t)\varepsilon (t,\rho )}$

и задача оптимизации становится:

${\displaystyle {\widehat {\rho }}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}f_{N,\ell _{1}}^{T}f_{N,\ell _{1}}.}$

Обозначая спектр , можно продемонстрировать, что при некоторых предположениях if выбирается как: ${\displaystyle \phi _{r}(\omega )}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(e^{-j\omega })={\frac {F(e^{-j\omega })(1-M(e^{-j\omega }))}{\phi _{r}(\omega )}}}$

тогда имеет место следующее:

${\displaystyle \lim _{N,\ell _{1}\to \infty ,\ell _{1}/N\to \infty }{\widehat {\rho }}=\rho ^{*}.}$

Ограничение устойчивости

Нет никакой гарантии, что контроллер , который сворачивает, стабилен. Нестабильность может возникнуть в следующих случаях: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J_{N,\ell _{1}}}$

• Если фаза неминимальна, это может привести к аннулированию в правой половине комплексной плоскости. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K^{*}}$
• Если (даже если стабилизация) не достижима, то стабилизации может и не быть. ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K(\rho )}$
• Из-за шума измерений, даже если он стабилизируется, оценка данных может быть не такой. ${\displaystyle K^{*}=K(\rho )}$ ${\displaystyle {\widehat {K}}(\rho )}$

Рассмотрим стабилизирующий регулятор и передаточную функцию замкнутого контура . Определять: ${\displaystyle K_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}={\frac {K_{s}G}{1+K_{s}G}}}$

${\displaystyle \Delta (\rho ):=M_{s}-K(\rho )G(1-M_{s})}$

${\displaystyle \delta (\rho ):=\left\|\Delta (\rho )\right\|_{\infty }.}$

Теорема

Контроллер стабилизирует объект, если ${\displaystyle K(\rho )}$ ${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle \Delta (\rho )}$стабилен
2. ${\displaystyle \exists \delta _{N}\in (0,1)}$ул. ${\displaystyle \delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

Условие 1. выполняется, когда:

• ${\displaystyle K(\rho )}$стабилен
• ${\displaystyle K(\rho )}$содержит интегратор (он отменен).

Эталонный проект модели с ограничением устойчивости выглядит следующим образом:

${\displaystyle \rho _{s}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J(\rho )}$

${\displaystyle {\text{s.t. }}\delta (\rho )\leq \delta _{N}.}$

Выпуклую оценку на основе данных можно получить с помощью дискретного преобразования Фурье . ${\displaystyle \delta (\rho )}$

Определите следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {R}}_{r}(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )r(t){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}\\[4pt]&{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )\varepsilon (t,\rho ){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}.\end{aligned}}}$

Для стабильных установок с минимальной фазой задана следующая задача выпуклой оптимизации, управляемой данными :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\rho }}&={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )\\[3pt]&{\text{s.t.}}\\[3pt]&{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\leq \delta _{N}{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r}(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\\[4pt]\omega _{k}&={\frac {2\pi k}{2\ell _{2}+1}},\qquad k=0,\ldots ,\ell _{2}+1.\end{aligned}}}$

Виртуальная настройка обратной связи

Настройка виртуальной опорной обратной связи (VRFT) — это неитеративный метод управляемой данными настройки контроллера с фиксированной структурой. Он предоставляет однократный метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

Технология VRFT была впервые предложена в ^[4] , а затем распространена на системы LPV. ^[5] VRFT также основывается на идеях, изложенных в ^[6] как . ${\displaystyle VRD^{2}}$

Основная идея состоит в том, чтобы определить желаемую модель с замкнутым контуром и использовать ее обратную динамику для получения виртуального эталонного значения из измеренного выходного сигнала . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r_{v}(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Основная идея состоит в том, чтобы определить желаемую модель замкнутого контура M и использовать ее обратную динамику для получения виртуального эталона из измеренного выходного сигнала y.

Виртуальные сигналы – это и ${\displaystyle r_{v}(t)=M^{-1}y(t)}$ ${\displaystyle e_{v}(t)=r_{v}(t)-y(t).}$

Оптимальный регулятор получается из зашумленных данных путем решения следующей задачи оптимизации:

${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{\infty }={\underset {\rho }{\operatorname {arg\,min} }}\lim _{N\to \infty }J_{vr}(\rho )}$

где функция оптимизации задается следующим образом:

${\displaystyle J_{vr}^{N}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(u(t)-K(\rho )e_{v}(t)\right)^{2}.}$

Рекомендации

1. Базанелла А.С., Кампестрини Л., Экхард Д. (2012). Проектирование контроллера, управляемого данными: подход. Спрингер, ISBN 978-94-007-2300-9 , 208 страниц. ${\displaystyle H_{2}}$ 
2. Хьялмарссон, Х. , Геверс, М., Гуннарссон, С. и Лекин, О. (1998). Настройка итеративной обратной связи: теория и приложения. Системы управления IEEE, 18(4), 26–41.
3. ван Хойсден, К., Карими, А. и Бонвин, Д. (2011), Управление эталоном модели на основе данных с асимптотически гарантированной стабильностью. Межд. Дж. Адаптируйся. Процесс управляющего сигнала., 25: 331–351. дои : 10.1002/acs.1212
4. Кампи, Марко К., Андреа Леккини и Серджио М. Саварези. «Настройка виртуальной эталонной обратной связи: прямой метод проектирования контроллеров с обратной связью». Автоматика 38.8 (2002): 1337–1346.
5. Форментин С., Пига Д., Тот Р. и Саварези С.М. (2016). Прямое обучение контроллеров LPV на основе данных. Автоматика, 65, 98–110.
6. Гуардабасси, Гвидо О. и Серхио М. Саварези. «Приблизительная линеаризация нелинейных систем с дискретным временем с использованием обратной связи с использованием прямого проектирования виртуального входа». Системы и контрольные письма 32.2 (1997): 63–74.

Внешние ссылки

• Набор инструментов VRFT для MATLAB