В обработке сигналов когерентность — это статистика , которая может использоваться для изучения связи между двумя сигналами или наборами данных . Она обычно используется для оценки передачи мощности между входом и выходом линейной системы . Если сигналы эргодичны , а системная функция линейна , ее можно использовать для оценки причинно-следственной связи между входом и выходом. [ необходима цитата ]
Когерентность (иногда называемая квадратом амплитуды когерентности ) между двумя сигналами x(t) и y(t) представляет собой действительную функцию , которая определяется как: [1] [2]
где G xy (f) — кросс-спектральная плотность между x и y, а G xx (f) и G yy (f) — автоспектральная плотность x и y соответственно. Величина спектральной плотности обозначается как |G|. Учитывая ограничения, отмеченные выше (эргодичность, линейность), функция когерентности оценивает степень, в которой y(t) может быть предсказана из x(t) с помощью оптимальной линейной функции наименьших квадратов .
Значения когерентности всегда будут удовлетворять . Для идеальной линейной системы с постоянными параметрами с одним входом x(t) и одним выходом y(t) когерентность будет равна единице. Чтобы увидеть это, рассмотрим линейную систему с импульсной характеристикой h(t), определяемой как: , где обозначает свертку . В области Фурье это уравнение становится , где Y(f) — преобразование Фурье y(t), а H(f) — передаточная функция линейной системы . Поскольку для идеальной линейной системы: и , а поскольку — вещественное, выполняется следующее тождество:
Однако в физическом мире идеальная линейная система редко реализуется, шум является неотъемлемым компонентом измерения системы, и вполне вероятно, что линейная система с одним входом и одним выходом недостаточна для охвата полной динамики системы. В случаях, когда предположения об идеальной линейной системе недостаточны, неравенство Коши–Шварца гарантирует значение .
Если C xy меньше единицы, но больше нуля, это указывает на то, что: в измерения вносится шум, что предполагаемая функция, связывающая x(t) и y(t), нелинейна, или что y(t) выдает выход из-за входа x(t), а также других входов. Если когерентность равна нулю, это указывает на то, что x(t) и y(t) совершенно не связаны, учитывая ограничения, упомянутые выше.
Когерентность линейной системы, таким образом, представляет собой дробную часть выходной мощности сигнала, которая производится входом на этой частоте. Мы также можем рассматривать эту величину как оценку дробной мощности выхода, которая не вносится входом на определенной частоте. Это естественным образом приводит к определению когерентного выходного спектра:
обеспечивает спектральную количественную оценку выходной мощности, которая не коррелирует с шумом или другими входными данными.
Здесь мы иллюстрируем вычисление когерентности (обозначенной как ), как показано на рисунке 1. Рассмотрим два сигнала, показанные в нижней части рисунка 2. Кажется, что существует тесная связь между уровнями поверхностных вод океана и уровнями скважин грунтовых вод. Также ясно, что барометрическое давление влияет как на уровни океанских вод, так и на уровни грунтовых вод.
На рисунке 3 показана автоспектральная плотность уровня воды в океане за длительный период времени.
Как и ожидалось, большая часть энергии сосредоточена на известных приливных частотах. Аналогично, автоспектральная плотность уровней грунтовых вод показана на рисунке 4.
Очевидно, что изменение уровня грунтовых вод имеет значительную мощность на частотах приливов и отливов океана. Чтобы оценить степень влияния уровня поверхности океана на уровень грунтовых вод, мы вычисляем когерентность между ними. Предположим, что существует линейная зависимость между высотой поверхности океана и уровнем грунтовых вод. Мы также предполагаем, что высота поверхности океана контролирует уровень грунтовых вод, поэтому мы принимаем высоту поверхности океана в качестве входной переменной, а высоту скважины грунтовых вод в качестве выходной переменной.
Вычисленная когерентность (рисунок 1) показывает, что на большинстве основных океанических приливных частот изменение уровня грунтовых вод в этом конкретном месте составляет более 90% из-за воздействия океанских приливов. Однако следует проявлять осторожность при определении причинно-следственной связи. Если отношение ( передаточная функция ) между входом и выходом нелинейно , то значения когерентности могут быть ошибочными. Другая распространенная ошибка заключается в предположении причинно-следственной связи между входом и выходом между наблюдаемыми переменными, когда на самом деле причинный механизм отсутствует в системной модели. Например, очевидно, что атмосферное барометрическое давление вызывает изменение как уровней воды в океане, так и уровней грунтовых вод, но барометрическое давление не включено в системную модель в качестве входной переменной. Мы также предположили, что уровни воды в океане управляют или контролируют уровни грунтовых вод. В действительности это комбинация гидрологического воздействия со стороны уровней воды в океане и приливного потенциала , которые управляют как наблюдаемыми входными, так и выходными сигналами. Кроме того, шум, возникающий в процессе измерения или при спектральной обработке сигнала, может способствовать ухудшению когерентности или нарушать ее.
Если сигналы нестационарны (и, следовательно, не эргодичны ), приведенные выше формулировки могут оказаться неподходящими. Для таких сигналов концепция когерентности была расширена с использованием концепции распределений времени-частоты для представления изменяющихся во времени спектральных вариаций нестационарных сигналов вместо традиционных спектров. Для получения более подробной информации см. [3].
Когерентность использовалась для измерения динамической функциональной связности в мозговых сетях. Исследования показывают, что когерентность между различными областями мозга может меняться в зависимости от различных ментальных или перцептивных состояний. [4] На когерентность мозга в состоянии покоя могут влиять расстройства и заболевания. [5]
