Компактный оператор в гильбертовом пространстве

В математической дисциплине функционального анализа понятие компактного оператора в гильбертовом пространстве является расширением понятия матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы являются в точности замыканием операторов конечного ранга (представимых конечномерными матрицами) в топологии, индуцированной нормой оператора . Таким образом, результаты теории матриц иногда могут быть распространены на компактные операторы с использованием аналогичных аргументов. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует действительно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов в банаховых пространствах принимает форму, очень похожую на каноническую форму Жордана матриц. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна . Соответствующий результат справедлив для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем случае предположение о компактности можно отбросить. Как указано выше, методы, используемые для доказательства результатов, например, спектральной теоремы , в некомпактном случае обычно различны и включают операторнозначные меры на спектре .

Будут рассмотрены некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве, начиная с общих свойств, а затем рассматривая подклассы компактных операторов.

Определение

Пусть — гильбертово пространство , а — множество ограниченных операторов на . Тогда оператор называется компактным, если образ каждого ограниченного множества под относительно компактен . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T\in L(H)}$ ${\displaystyle T}$

Некоторые общие свойства

В этом разделе мы перечислим некоторые общие свойства компактных операторов.

Если X и Y являются сепарабельными гильбертовыми пространствами (фактически, X банахово и Y нормированное будет достаточно), то T  : X → Y компактно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно при рассмотрении как отображение из X со слабой топологией в Y (с топологией нормы). (См. (Zhu 2007, теорема 1.14, стр.11), и отметим в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ X удовлетворяет (∀φ ∈ Hom( X , K )) sup{ x** (φ) = φ( x ) : x } < ∞, где K — основное поле. Принцип равномерной ограниченности применяется, поскольку Hom( X , K ) с топологией нормы будет банаховым пространством, а отображения x**  : Hom( X , K ) → K являются непрерывными гомоморфизмами относительно этой топологии.)

Семейство компактных операторов является замкнутым по норме, двусторонним, *-идеалом в L ( H ). Следовательно, компактный оператор T не может иметь ограниченный обратный, если H бесконечномерен. Если ST = TS = I , то тождественный оператор был бы компактным, противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B _n → B , C _n → C в сильной операторной топологии и T компактно, то сходится к по норме. ^[1] Например, рассмотрим гильбертово пространство со стандартным базисом { e _n }. Пусть P _m — ортогональная проекция на линейную оболочку { e ₁ , ..., e _m }. Последовательность { P _m } сходится к тождественному оператору I сильно, но не равномерно. Определим T как T компактно, и, как утверждалось выше, P _m T → IT = T в равномерной операторной топологии: для всех x , ${\displaystyle B_{n}TC_{n}^{*}}$ ${\displaystyle BTC^{*}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {N} ),}$ ${\displaystyle Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}e_{n}.}$ $${\displaystyle \left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.}$$

Обратите внимание, что каждый P _m является оператором конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если T компактен, то T является равномерным пределом некоторой последовательности операторов конечного ранга.

В силу замкнутости нормы идеала компактных операторов обратное также верно.

Фактор-C*-алгебра L ( H ) по модулю компактных операторов называется алгеброй Калкина , в которой можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Компактный самосопряженный оператор

Ограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H называется самосопряженным, если T = T * или, что эквивалентно,

$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.}$$

Отсюда следует, что ⟨ Tx , x ⟩ является действительным для любого x ∈ H , поэтому собственные значения T , когда они существуют, являются действительными. Когда замкнутое линейное подпространство L из H инвариантно относительно T , то ограничение T на L является самосопряженным оператором на L , и, кроме того, ортогональное дополнение L ^⊥ к L также инвариантно относительно T . Например, пространство H можно разложить в ортогональную прямую сумму двух T –инвариантных замкнутых линейных подпространств: ядра T , и ортогонального дополнения (ker T ) ^⊥ к ядру (которое равно замыканию области значений T , для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве спектральной теоремы ниже.

Результатом классификации для эрмитовых матриц n × n является спектральная теорема : если M = M* , то M унитарно диагонализуема, и диагонализация M имеет действительные элементы. Пусть T — компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Мы докажем то же самое утверждение для T : оператор T может быть диагонализирован ортонормированным набором собственных векторов, каждый из которых соответствует действительному собственному значению.

Спектральная теорема

Теорема Для каждого компактного самосопряженного оператора T в действительном или комплексном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис H , состоящий из собственных векторов T. Более конкретно, ортогональное дополнение ядра T допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов T , либо счетно бесконечный ортонормированный базис { en _} собственных векторов T с соответствующими собственными значениями { λn } ⊂ R , такими, _что λn → ₀ .

Другими словами, компактный самосопряженный оператор может быть унитарно диагонализирован. Это спектральная теорема.

Когда H является сепарабельным , можно смешать базис { en _} со счетным ортонормированным базисом для ядра T и получить ортонормированный базис { fn _} для H , _{состоящий} из собственных векторов T с действительными собственными значениями { μn } _, такими что μn → 0 .

Следствие Для каждого компактного самосопряженного оператора T в действительном или комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве H существует счетно бесконечный ортонормированный базис { f _n } оператора H , состоящий из собственных векторов оператора T с соответствующими собственными значениями { μ _n } ⊂ R , такой, что μ _n → 0 .

Идея

Давайте сначала обсудим конечномерное доказательство. Доказательство спектральной теоремы для эрмитовой n × n матрицы T зависит от доказательства существования одного собственного вектора x . Как только это сделано, эрмитовость подразумевает, что как линейная оболочка, так и ортогональное дополнение x (размерности n − 1) являются инвариантными подпространствами T . Желаемый результат затем получается индукцией для . ${\displaystyle T_{x^{\perp }}}$

Существование собственного вектора можно показать (по крайней мере) двумя альтернативными способами:

1. Можно рассуждать алгебраически: характеристический многочлен T имеет комплексный корень, поэтому T имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
2. Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение — это максимум на замкнутой единичной сфере функции f : R ^{2 n} → R , определяемой формулой f ( x ) = x*Tx = ⟨ Tx , x ⟩ .

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей общности; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также не сразу понятно, как обобщить концепцию характеристического многочлена.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: находим собственный вектор, расширяя второй конечномерный аргумент выше, затем применяем индукцию. Сначала мы набросаем аргумент для матриц.

Так как замкнутая единичная сфера S в R ^{2 n} компактна, а f непрерывна, то f ( S ) компактна на вещественной прямой, поэтому f достигает максимума на S на некотором единичном векторе y . По теореме Лагранжа о множителях y удовлетворяет для некоторого λ. По эрмитовости Ty = λ y . $${\displaystyle \nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$$

В качестве альтернативы, пусть z ∈ C ⁿ будет любым вектором. Обратите внимание, что если единичный вектор y максимизирует ⟨ Tx , x ⟩ на единичной сфере (или на единичном шаре), он также максимизирует отношение Рэлея : $${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.}$$

Рассмотрим функцию: $${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$$

По исчислению h ′(0) = 0 , т.е. $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}}$$

Определять: $${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$$

После некоторой алгебры приведенное выше выражение становится ( Re обозначает действительную часть комплексного числа) $${\displaystyle \operatorname {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.}$$

Но z произвольно, поэтому Ty − my = 0. Это суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Обратите внимание , что хотя множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Именно здесь предположение о компактности оператора T оказывается полезным.

Подробности

Утверждение.   Если T — компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве H и тогда m ( T ) или − m ( T ) является собственным значением T . $${\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},}$$

Если m ( T ) = 0 , то T = 0 по тождеству поляризации , и этот случай ясен. Рассмотрим функцию $${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$$

Заменяя T на − T при необходимости, можно предположить, что супремум f на замкнутом единичном шаре B ⊂ H равен m ( T ) > 0. Если f достигает своего максимума m ( T ) на B на некотором единичном векторе y , то, по тем же рассуждениям, что и для матриц, y является собственным вектором T с соответствующим собственным значением λ = ⟨ λy , y ⟩ = ⟨ Ty , y ⟩ = f ( y ) = m ( T ) .

По теореме Банаха–Алаоглу и рефлексивности H замкнутый единичный шар B слабо компактен. Кроме того, компактность T означает (см. выше), что T  : X со слабой топологией → X с топологией нормы непрерывно ^{[ оспаривается – обсудим ]} . Эти два факта подразумевают, что f непрерывно на B, снабженном слабой топологией, и , следовательно, f достигает своего максимума m на B при некотором y ∈ B . По максимальности, которая, в свою очередь, подразумевает, что y также максимизирует отношение Рэлея g ( x ) (см. выше). Это показывает, что y является собственным вектором T , и завершает доказательство утверждения. ${\displaystyle \|y\|=1,}$

Примечание. Компактность T имеет решающее значение. В общем случае f не обязательно должна быть непрерывной для слабой топологии на единичном шаре B. Например, пусть T — тождественный оператор, который не является компактным, когда H бесконечномерен. Возьмем любую ортонормированную последовательность { y _n }. Тогда y _n слабо сходится к 0, но lim f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0).

Пусть T — компактный оператор в гильбертовом пространстве H . Конечная (возможно, пустая) или счетно бесконечная ортонормированная последовательность { e _n } собственных векторов оператора T с соответствующими ненулевыми собственными значениями строится по индукции следующим образом. Пусть H ₀ = H и T ₀ = T . Если m ( T ₀ ) = 0, то T = 0, и построение останавливается, не создавая никакого собственного вектора e _n . Предположим, что были найдены ортонормированные собственные векторы e ₀ , ..., e _{n − 1} оператора T . Тогда En  := span( e ₀ , ..., e _{n − 1} ) инвариантно относительно T , и в _силу самосопряженности ортогональное дополнение H _n оператора En является инвариантным подпространством T . Пусть T _n обозначает ограничение T на H _n . Если m ( T _n ) = 0, то T _n = 0, и построение останавливается _. В противном случае, согласно утверждению, примененному к T _n , существует собственный вектор e _n нормы 1 оператора T в H _n с соответствующим ненулевым собственным значением λ _n = ± m ( T _n ) .

Пусть F = (span{ e _n }) ^⊥ , где { e _n } — конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; по самосопряженности F инвариантна относительно T . Пусть S обозначает ограничение T на F . Если процесс был остановлен после конечного числа шагов с последним вектором e _{m −1} , то F = H _m и S = ​​T _m = 0 по построению. В бесконечном случае компактность T и слабая сходимость e _n к 0 влекут, что Te _n = λ _n e _n → 0 , следовательно, λ _n → 0 . Поскольку F содержится в H _n для каждого n , то m ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _n | для каждого n , следовательно, m ( S ) = 0. Это снова подразумевает, что S = 0 .

Тот факт, что S = 0, означает, что F содержится в ядре T . Обратно, если x ∈ ker( T ), то по самосопряженности x ортогонален каждому собственному вектору { e _n } с ненулевым собственным значением. Отсюда следует, что F = ker( T ) , и что { e _n } является ортонормированным базисом для ортогонального дополнения ядра T . Можно завершить диагонализацию T , выбрав ортонормированный базис ядра. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: по лемме Цорна выберите U как максимальное подмножество H со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами T , они имеют норму один, и любые два различных элемента U ортогональны. Пусть F будет ортогональным дополнением линейной оболочки U . Если F ≠ {0}, то это нетривиальное инвариантное подпространство T , и по первоначальному утверждению должен существовать собственный вектор y нормы один для T в F . Но тогда U ∪ { y } противоречит максимальности U . Отсюда следует, что F = {0}, поэтому span( U ) плотно в H . Это показывает, что U является ортонормированным базисом H , состоящим из собственных векторов T .

Функциональное исчисление

Если T компактен на бесконечномерном гильбертовом пространстве H , то T необратим, следовательно, σ( T ), спектр T , всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ( T ) состоит из собственных значений { λ _n } T и 0 (если 0 уже не является собственным значением). Множество σ( T ) является компактным подмножеством комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ( T ).

Любая спектральная теорема может быть переформулирована в терминах функционального исчисления . В данном контексте мы имеем:

Теорема. Пусть C (σ( T )) обозначает C*-алгебру непрерывных функций на σ( T ). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ : C (σ( T )) → L ( H ) такой, что Φ(1) = I и, если f — тождественная функция f ( λ ) = λ , то Φ( f ) = T . Более того, σ( f ( T )) = f (σ( T )) .

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть { e _n } — ортонормированный базис собственных векторов для H с соответствующими собственными значениями { λ _n }; для f ∈ C (σ( T )) оператор Φ( f ), диагональный относительно ортонормированного базиса { e _n }, определяется путем установки для каждого n . Поскольку Φ( f ) диагонален относительно ортонормированного базиса, его норма равна супремуму модуля диагональных коэффициентов, $${\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}}$$ $${\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.}$$

Другие свойства Φ легко проверяются. Наоборот, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда f — многочлен. По теореме о приближении Вейерштрасса , многочленные функции плотны в C (σ( T )), и отсюда следует, что Ψ = Φ . Это показывает, что Φ является единственным.

Более общее непрерывное функциональное исчисление может быть определено для любого самосопряженного (или даже нормального, в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Компактный случай, описанный здесь, является особенно простым примером этого функционального исчисления.

Одновременная диагонализация

Рассмотрим гильбертово пространство H (например, конечномерное C ⁿ ) и коммутирующий набор самосопряженных операторов. Тогда при подходящих условиях его можно одновременно (унитарно) диагонализировать. А именно , существует ортонормированный базис Q, состоящий из общих собственных векторов для операторов — т.е. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$ $${\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0}$$

Лемма  —  Предположим, что все операторы в компактны. Тогда каждое замкнутое ненулевое -инвариантное подпространство имеет общий собственный вектор для . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство

Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение на . Возьмем любую единичную длину. Это общий собственный вектор. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$

Случай II: есть некоторый оператор с по крайней мере 2 собственными значениями на и пусть . Поскольку T компактен и α не равен нулю, мы имеем — конечномерное (и, следовательно, замкнутое) ненулевое -инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с T , мы имеем для и , что ). В частности, поскольку α — всего лишь одно из собственных значений на , мы определенно имеем . Таким образом, мы могли бы в принципе рассуждать индукцией по размерности, получая, что имеет общий собственный вектор для . ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$ ${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \dim S'<\dim S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теорема 1  —  Если все операторы в компактны, то операторы могут быть одновременно (унитарно) диагонализованы. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство

Следующий набор частично упорядочен включением. Он, очевидно, обладает свойством Цорна. Поэтому, взяв Q в качестве максимального члена, если Q является базисом для всего гильбертова пространства H , мы закончили. Если бы это было не так, то, положив , легко видеть, что это было бы -инвариантным нетривиальным замкнутым подпространством; и, таким образом, по лемме выше, в нем лежал бы общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный Q ). Но тогда было бы собственное расширение Q в пределах P ; противоречие с его максимальностью. $${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$$ ${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теорема 2  —  Если в существует инъективный компактный оператор ; то операторы могут быть одновременно (унитарно) диагонализованы. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство

Зафиксируем компактный инъективный. Тогда мы имеем, по спектральной теории компактных симметричных операторов в гильбертовых пространствах: где — дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, и все собственные пространства конечномерны. Поскольку множество коммутирующее, то все собственные пространства инвариантны. Поскольку операторы, ограниченные собственными пространствами (которые конечномерны), автоматически все компактны, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q _σ для . Поскольку T ₀ симметричен, то мы имеем , что — (счетное) ортонормированное множество. Оно также, по разложению, которое мы впервые сформулировали, является базисом для H . ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$$ ${\displaystyle \sigma (T_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$ $${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$$

Теорема 3  —  Если H — конечномерное гильбертово пространство и коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализируем; то операторы могут быть одновременно диагонализированы. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

Доказательство

Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда подойдет любой базис для H.

Случай II: Зафиксируем оператор с по крайней мере двумя собственными значениями, и пусть так, что является симметричным оператором. Теперь пусть α будет собственным значением . Тогда легко видеть, что оба: являются нетривиальными -инвариантными подпространствами. Индукцией по размерности мы получаем, что существуют линейно независимые базисы Q ₁ , Q ₂ для подпространств, которые показывают, что операторы в могут быть одновременно диагонализуемы на подпространствах. Тогда ясно, что демонстрирует, что операторы в могут быть одновременно диагонализуемы. ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ $${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Обратите внимание, что нам вообще не пришлось напрямую использовать механизм матриц в этом доказательстве. Есть и другие версии, которые это делают.

Мы можем усилить вышесказанное до случая, когда все операторы просто коммутируют со своими сопряженными; в этом случае мы удаляем термин «ортогональный» из диагонализации. Существуют более слабые результаты для операторов, возникающих из представлений, основанных на Вейле–Питере. Пусть G — фиксированная локально компактная хаусдорфова группа, и (пространство квадратично интегрируемых измеримых функций относительно единственной с точностью до масштаба меры Хаара на G ). Рассмотрим непрерывное действие сдвига: ${\displaystyle H=L^{2}(G)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}}$$

Тогда если G был компактен, то существует единственное разложение H в счетную прямую сумму конечномерных, неприводимых, инвариантных подпространств (это по сути диагонализация семейства операторов ). Если G не был компактен, но был абелевым, то диагонализация не достигается, но мы получаем единственное непрерывное разложение H в одномерные инвариантные подпространства. ${\displaystyle G\subseteq U(H)}$

Компактный нормальный оператор

Семейство эрмитовых матриц является собственным подмножеством матриц, которые унитарно диагонализируемы. Матрица M унитарно диагонализируема тогда и только тогда, когда она нормальна, т. е. M*M = MM* . Аналогичные утверждения справедливы для компактных нормальных операторов.

Пусть T компактен и T*T = TT* . Применим декартово разложение к T : определим $${\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$$

Самосопряженные компактные операторы R и J называются соответственно действительной и мнимой частями T. Из компактности T следует, что T* и, следовательно, R и J также компактны. Кроме того, из нормальности T следует, что R и J коммутируют. Поэтому их можно одновременно диагонализировать, откуда и следует утверждение.

Гипонормальный компактный оператор (в частности, субнормальный оператор ) является нормальным.

Унитарный оператор

Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности в комплексной плоскости; это может быть вся единичная окружность. Однако, если U — тождество плюс компактное возмущение, то U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее, предположим, что U = I + C , где C компактен. Уравнения UU* = U*U = I и C = U − I показывают, что C нормален. Спектр C содержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = I + C , спектр U получается сдвигом спектра C на 1.

Примеры

• Пусть H = L ² ([0, 1]) . Оператор умножения M, определяемый формулой, является ограниченным самосопряженным оператором на H , который не имеет собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным. $${\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$$
• Примером компактного оператора в гильбертовом пространстве, который не является самосопряженным, является оператор Вольтерра , определенный для функции и значения как Это оператор, соответствующий интегральным уравнениям Вольтерра . ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$$
• Определим ядро ​​Гильберта-Шмидта на и связанный с ним интегральный оператор Гильберта-Шмидта как Тогда — компактный оператор; это оператор Гильберта-Шмидта с нормой Гильберта-Шмидта . ${\displaystyle K:\Omega \times \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ ${\displaystyle T_{K}:L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )}$ $${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \|T_{k}\|_{\mathrm {HS} }=\|K\|_{L^{2}}}$
• ${\displaystyle T_{K}}$является компактным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда является эрмитовым ядром , которое, согласно теореме Мерсера , может быть представлено в виде, где является ортонормированным базисом собственных векторов оператора , с собственными значениями и сумма сходится абсолютно и равномерно на . ${\displaystyle K(x,y)}$ $${\displaystyle K(x,y)=\sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},}$$ ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Смотрите также

• Алгебра Калкина  – фактор кольца ограниченных линейных операторов на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве по идеальным компактным операторамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Компактный оператор  – Тип непрерывного линейного оператора
• Разложение спектра (функциональный анализ)  – конструкция в функциональном анализе, полезная для решения дифференциальных уравнений. Если убрать предположение о компактности, то операторы в общем случае не обязаны иметь счетный спектр.
• Оператор Фредгольма  – ограниченный оператор, ядро ​​и коядро которого имеют конечную размерность.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Разложение сингулярных значений # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах  – Матричное разложение − Понятие сингулярных значений можно распространить с матриц на компактные операторы.
• Спектральная теория компактных операторов
• Строго сингулярный оператор

Ссылки

1. Видом, Х. (1976). «Асимптотическое поведение блочных тёплицевых матриц и определителей. II». Успехи в математике . 21 (1): 1–29. doi : 10.1016/0001-8708(76)90113-4 .

• Дж. Бланк, П. Экснер и М. Хавличек, Операторы гильбертова пространства в квантовой физике , Американский институт физики, 1994.
• М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики I: Функциональный анализ , Academic Press, 1972.
• Чжу, Кехе (2007), Теория операторов в функциональных пространствах , Математические обзоры и монографии, т. 138, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3965-2