спираль Дойла

Упаковка кругов, расположенных в виде спиралей

Спираль Дойла типа (8,16), напечатанная в 1911 году в журнале Popular Science в качестве иллюстрации филлотаксиса . ^[1] Один из ее спиральных рукавов заштрихован.

В математике упаковки кругов спираль Дойла — это узор из непересекающихся кругов на плоскости, в котором каждый круг окружен кольцом из шести касающихся кругов . Эти узоры содержат спиральные рукава, образованные кругами, соединенными через противоположные точки касания, с центрами на логарифмических спиралях трех различных форм.

Спирали Дойла названы в честь математика Питера Г. Дойла, который внес важный вклад в их математическое построение в конце 1980-х или начале 1990-х годов. ^[2] Однако их изучение в филлотаксисе (математика роста растений) восходит к началу 1900-х годов. ^{[1] [3] [4]}

Определение

Спираль Дойла определяется как определенный тип упаковки кругов , состоящий из бесконечного числа кругов на плоскости, при этом никакие два круга не имеют перекрывающихся внутренних частей. В спирали Дойла каждый круг заключен в кольцо из шести других кругов. Шесть окружающих кругов касаются центрального круга и двух своих соседей в кольце. ^{[5] [6]}

Характеристики

Радиусы

Как заметил Дойл , ^[2] единственный способ упаковать круги с комбинаторной структурой спирали Дойла — это использовать круги, радиусы которых также строго структурированы. ^[5] Шесть кругов можно упаковать вокруг круга радиуса тогда и только тогда, когда существуют три положительных действительных числа , , и , так что окружающие круги имеют радиусы (в циклическом порядке) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

${\displaystyle ra}$, , , , , и . ${\displaystyle rb}$ ${\displaystyle rc}$ ${\displaystyle r/a}$ ${\displaystyle r/b}$ ${\displaystyle r/c}$

Только некоторые тройки чисел , , и происходят из спиралей Дойла; другие соответствуют системам окружностей, которые в конечном итоге накладываются друг на друга. ^{[6] [7]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$

Оружие

Два концентрических кольца из девяти кругов в розовом окне собора Святого Олбанса . ^[8] Эти два кольца являются частью спирали Дойла (9,9), но центральный круг и другие круги не следуют этому узору.

В спирали Дойла можно сгруппировать окружности в соединяющиеся цепочки окружностей через противоположные точки касания. Они были названы рукавами , следуя той же терминологии, которая используется для спиральных галактик . ^{[9] [10]} Внутри каждого рукава окружности имеют радиусы в двойной бесконечной геометрической последовательности или последовательности того же типа с общим множителем или . В большинстве спиралей Дойла центры окружностей на одном рукаве лежат на логарифмической спирали , и все логарифмические спирали, полученные таким образом, встречаются в одной центральной точке. Некоторые спирали Дойла вместо этого имеют концентрические круговые рукава (как в показанном витраже) или прямые рукава. ^[6] $${\displaystyle \dots ,ra^{-2},ra^{-1},r,ra,ra^{2},\dots }$$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Подсчет оружия

Точная форма любой спирали Дойла может быть параметризована тремя натуральными числами , подсчитывая количество рукавов каждой из трех ее форм. Когда одна форма рукава встречается бесконечно часто, ее количество определяется как 0, а не . Наименьшее ${\displaystyle \infty }$ количество рукавов равно разнице двух других, поэтому любую спираль Дойла можно описать как тип , где ${\displaystyle (p,q)}$ и — два наибольших количества в отсортированном порядке . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leq q}$

Подсчет рукавов каждого типа в спирали типа (6,8)

Каждая пара с определяет спираль Дойла, с ее третьим и наименьшим числом ветвей, равным . Форма этой спирали определяется однозначно этими числами с точностью до подобия . ^[5] Для спирали типа множители радиуса равны , , и для комплексных чисел и , удовлетворяющих уравнению когерентности и уравнениям касания Это означает, что множители радиуса являются алгебраическими числами . ^{[9] [7]} Самоподобия спирали с центром в начале координат образуют дискретную группу , порожденную и . ^[7] Окружность, центр которой находится на расстоянии от центральной точки спирали, имеет радиус . ^[9] ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle 1<q/2\leq p\leq q}$ ${\displaystyle q-p}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle a=|\alpha |}$ ${\displaystyle b=|\beta |}$ ${\displaystyle c={\tfrac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ^{p}=\beta ^{q}}$ $${\displaystyle {\frac {1+|\alpha |}{|1-\alpha |}}={\frac {1+|\beta |}{|1-\beta |}}={\frac {|\alpha |+|\beta |}{|\alpha -\beta |}}.}$$ ${\displaystyle z\mapsto \alpha z}$ ${\displaystyle z\mapsto \beta z}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\tfrac {|1-\alpha |}{1+|\alpha |}}d}$

Точные значения этих параметров известны для нескольких простых случаев. В других случаях их можно точно аппроксимировать с помощью числового поиска, а результаты этого поиска можно использовать для определения числовых значений размеров и положений всех кругов . ^{[5] [9]}

Симметрия

Спираль Дойла (6,8) при преобразовании Мёбиуса. Схема касательных сохраняется, но три самых внешних круга не окружены своим кольцом касательных кругов.

Спирали Дойля обладают симметриями, которые объединяют масштабирование и вращение вокруг центральной точки (или перенос и вращение в случае правильной шестиугольной упаковки плоскости единичными окружностями), переводя любой круг упаковки в любой другой круг. ^[6] Применение преобразования Мёбиуса к спирали Дойля сохраняет форму и касания ее окружностей. Поэтому преобразование Мёбиуса может создавать дополнительные узоры непересекающихся касательных окружностей, каждая из которых касается шести других. Эти узоры обычно имеют узор двойной спирали, в котором связанные последовательности окружностей выходят из одной центральной точки (образ центра спирали Дойля) и попадают в другую точку (образ точки на бесконечности ). Однако они не отвечают всем требованиям спиралей Дойля: некоторые окружности в этом узоре не будут окружены своими шестью соседними окружностями. ^{[9] [12]}

Примеры и особые случаи

Локсодромическая последовательность Коксетера касательных окружностей , спираль Дойла типа (2,3)

Самый общий случай спирали Дойла имеет три различных множителя радиуса, все отличные от 1, и три различных числа ветвей, все ненулевые. Примером является локсодромическая последовательность Коксетера касательных окружностей , спираль Дойла типа (2,3), с числом ветвей 1, 2 и 3, и с множителями и для , где обозначает золотое сечение . В пределах одного спирального рукава с наибольшей кривизной окружности в локсодромической последовательности Коксетера образуют последовательность, радиусы которой являются степенями . Каждые четыре последовательных круга в этой последовательности являются касательными. ^[12] ${\displaystyle \alpha =\tau ^{3}}$ ${\displaystyle \beta =\tau ^{2}}$ $${\displaystyle \tau =-(1+{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}})+i(1+{\sqrt {\varphi }}),}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\tau |=\varphi +{\sqrt {\varphi }}}$

Когда ровно одно из трех подсчетов рукавов равно нулю, подсчитываемые рукава являются круглыми с множителем радиуса 1. Количество кругов в каждом из этих круглых рукавов равно количеству рукавов каждого из двух других типов. Все круглые рукава концентричны, центрированы там, где встречаются спиральные рукава. ^[5] Множители для спирали Дойла типа и . ^{[9] [a]} На фотографии витражного окна церкви два кольца из девяти кругов принадлежат спирали Дойла этой формы, типа (9,9) . ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle \alpha =ae^{i{\frac {\pi }{p}}}}$ ${\displaystyle \beta =ae^{-i{\frac {\pi }{p}}}}$

Прямые рукава производятся для подсчета рукавов . В этом случае два типа спиральных рукавов имеют одинаковый множитель радиуса и являются зеркальными отражениями друг друга. Прямых рукавов вдвое больше, чем спиралей любого типа. Каждый прямой рукав образован окружностями с центрами, лежащими на луче, проходящем через центральную точку. ^[5] Поскольку количество прямых рукавов должно быть четным, прямые рукава можно сгруппировать в противоположные пары, при этом два луча из каждой пары встречаются, образуя линию. Множителями для спирали Дойла типа являются и . ^{[9] [b]} Спираль Дойла типа (8,16) из иллюстрации Popular Science является примером с восемью рукавами, закручивающимися так же, как заштрихованный рукав, еще восемью отраженными рукавами и шестнадцатью лучами. ${\displaystyle p=q/2}$ ${\displaystyle (p,2p)}$ ${\displaystyle \alpha =b^{2}}$ ${\displaystyle \beta =be^{i{\frac {\pi }{p}}}}$

Гексагональная упаковка единичных кругов

Последний частный случай — спираль Дойла типа (0,0), правильная шестиугольная упаковка плоскости единичными окружностями. Все ее множители радиуса равны единице, а ее плечи образуют параллельные семейства линий трех различных наклонов. ^[5]

Приложения

Спирали Дойля образуют дискретный аналог экспоненциальной функции , как часть более общего использования упаковок кругов как дискретных аналогов конформных отображений . Действительно, узоры, очень похожие на спирали Дойля (но сделанные из касательных фигур, которые не являются окружностями), могут быть получены путем применения экспоненциальной карты к масштабированной копии правильной шестиугольной упаковки кругов. ^[5] Три отношения радиусов между соседними окружностями, фиксированные по всей спирали, можно рассматривать как аналогичные характеристике экспоненциальной карты как имеющей фиксированную производную Шварца . ^[6] Спирали Дойля использовались для изучения групп Клейна , дискретных групп симметрий гиперболического пространства , путем вложения этих спиралей на сферу в бесконечности гиперболического пространства и поднятия симметрий каждой спирали до симметрий самого пространства . ^[9]

Спирали касательных окружностей, часто с числами Фибоначчи плеч, использовались для моделирования филлотаксиса , спиральных моделей роста, характерных для определенных видов растений, начиная с работы Геррита ван Итерсона в 1907 году. ^[4] В этом контексте плечо спирали Дойла называется парастихией , а количество плеч спирали Дойла называется числами парастихи . Когда два числа парастихи и являются числами Фибоначчи , и либо последовательны, либо разделены только одним числом Фибоначчи, то третье число парастихи также будет числом Фибоначчи . ^[13] Имея это приложение в виду, Арнольд Эмх в 1910 году вычислил положения кругов в спиралях Дойла типа , отметив в своей работе связи между этими спиралями, логарифмическими спиралями и экспоненциальной функцией. ^{[1] [3]} Для моделирования роста растений таким способом можно также использовать спиральные упаковки касательных окружностей на поверхностях, отличных от плоскости, включая цилиндры и конусы . ^[14] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p,2p)}$

Спиральные упаковки кругов также изучались как декоративный мотив в архитектурном дизайне . ^[8]

Связанные шаблоны

Недойлевские спиральные узоры, полученные путем размещения единичных окружностей с равными угловыми смещениями на спирали Ферма ; центральное изображение — это изображение с угловыми смещениями золотого сечения

Касательные окружности могут образовывать спиральные узоры, локальная структура которых напоминает квадратную сетку, а не гексагональную сетку, которая может быть непрерывно преобразована в упаковки Дойля. ^[13] Пространство локально-квадратных спиральных упаковок бесконечномерно, в отличие от спиралей Дойля, которые могут быть определены постоянным числом параметров. ^[15] Также возможно описать спиралевидные системы перекрывающихся окружностей, которые покрывают плоскость, а не непересекающихся окружностей, которые упаковывают плоскость, при этом каждая точка плоскости покрыта не более чем двумя окружностями, за исключением точек, где три окружности встречаются под углами, и при этом каждая окружность окружена шестью другими. Они имеют много общих свойств со спиралями Дойля . ^[16] ${\displaystyle 60^{\circ }}$

Спираль Дойла не следует путать с другим спиральным рисунком кругов , изучаемым для определенных форм роста растений, таких как семенные головки подсолнечника . В этом рисунке круги имеют единичный размер, а не растут логарифмически, и не касаются друг друга. Вместо того, чтобы иметь центры на логарифмической спирали, они размещены на спирали Ферма , смещенные на золотой угол друг от друга относительно центра спирали, где есть золотое сечение . ^{[17] [18]} ${\displaystyle 2\pi /\varphi ^{2}\approx 137.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \varphi }$

Примечания

1. Здесь для . ^[9] ${\displaystyle a=w+{\sqrt {w^{2}-1}}}$ ${\displaystyle w=\tan ^{2}{\tfrac {\pi }{p}}+\sec {\tfrac {\pi }{p}}}$
2. Здесь для и . ^[9] ${\displaystyle b={\frac {1+{\sqrt {v-c}}}{v}}}$ ${\displaystyle v={\frac {{\sqrt {5+4c}}-1}{2}}}$ ${\displaystyle c=\cos {\tfrac {\pi }{p}}}$

Ссылки

1. Эмч, Арнольд (ноябрь 1911 г.), «Математика и инженерия в природе», Popular Science Monthly , 79 : 450–458
2. Описание Дойлом шести радиусов кольца дисков, окружающих центральный диск в этих спиралях, по-видимому, не было опубликовано; оно цитируется как «устное сообщение» Картером, Итиелем; Родином, Бертом (1992), «Обратная задача для упаковки кругов и конформного отображения», Труды Американского математического общества , 334 (2): 861–875, doi : 10.2307/2154486 , JSTOR  2154486, MR  1081937и описан без ссылки как наблюдение Дойла в Beardon, Dubejko & Stephenson (1994)
3. Эмч, Арнольд (1910), «Sur quelques exemples mathématiques dans les sciences naturallles», L'Enseignement mathématique (на французском языке), 12 : 114–123
4. Jean, Roger V. (май 1983 г.), «Вводный обзор: Математическое моделирование в филлотаксисе: современное состояние», Mathematical Biosciences , 64 (1): 1–27, doi :10.1016/0025-5564(83)90025-1
5. Бирдон, Алан Ф .; Дубейко, Томаш; Стивенсон, Кеннет (1994), «Спиральные упаковки шестиугольных кругов на плоскости», Geometriae Dedicata , 49 (1): 39–70, doi : 10.1007/BF01263534, MR  1261573, S2CID  122370986
6. Бобенко, Александр И.; Хоффманн, Тим (2001), «Конформно симметричные упаковки кругов: обобщение спиралей Дойла», Experimental Mathematics , 10 (1): 141–150, doi :10.1080/10586458.2001.10504437, MR  1822860, S2CID  14578266
7. Stephenson, Kenneth (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 326, ISBN 978-0-521-82356-2, МР  2131318
8. Fernández-Cabo, MC (июнь 2017 г.), «Касательные окружности на плоскости с использованием переменного компаса», Журнал архитектурной инженерии , 23 (2): 04017001, doi : 10.1061/(asce)ae.1943-5568.0000233
9. Райт, Дэвид Дж. (2006), «Поиск точки кипения» (PDF) , в Мински, Яир; Сакума, Макото ; Серия, Кэролайн (ред.), Пространства клейновых групп , Серия заметок лекций Лондонского математического общества, т. 329, Cambridge University Press, стр. 301–336, MR  2258756
10. Сатклифф, Алан (2008), «Анимированные упаковки спиральных кругов Дойла», в Сарханги, Реза; Секин, Карло Х. (ред.), Мосты Леувардена: Математика, Музыка, Искусство, Архитектура, Культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 131–138, ISBN 9780966520194
11. Бирдон, Дубейко и Стивенсон (1994), Таблица I, стр. 61
12. Coxeter, HSM (1968), «Локсодромные последовательности касательных сфер» , Aequationes Mathematicae , 1 (1–2): 104–121, doi : 10.1007/BF01817563, MR  0235456, S2CID  119897862
13. Rothen, F.; Koch, A.-J. (1989), «Филлотаксис или свойства спиральных решеток, II: Упаковка кругов вдоль логарифмических спиралей» , Journal de Physique , 50 (13): 1603–1621, doi :10.1051/jphys:0198900500130160300
14. Эриксон, РО (1983), «Геометрия филлотаксиса», в Дейл, ДЖ. Э.; Милторп, ФЛ (ред.), Рост и функционирование листьев: Труды симпозиума, проведенного перед Тринадцатым Международным ботаническим конгрессом в Сиднейском университете 18–20 августа 1981 г. , Cambridge University Press , стр. 53–88
15. Шрамм, Одед (1997), «Круговые узоры с комбинаторикой квадратной сетки», Duke Mathematical Journal , 86 (2): 347–389, doi :10.1215/S0012-7094-97-08611-7, MR  1430437
16. Бобенко, Александр И.; Хоффманн, Тим (2003), «Шестиугольные круговые узоры и интегрируемые системы: узоры с постоянными углами», Duke Mathematical Journal , 116 (3): 525–566, arXiv : math/0109018 , doi :10.1215/S0012-7094-03-11635-X, MR  1958097, S2CID  22759
17. Пиковер, Клиффорд А. (июль 1992 г.), «Об эстетике инверсии и оскуляции», The Visual Computer , 8 (4): 233–240, doi :10.1007/bf01900658, S2CID  13610388
18. Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.), «Лучший способ построить головку подсолнечника», Mathematical Biosciences , 44 (3–4): 179–189, doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4

Дальнейшее чтение

• Ямагиши, Ёсикадзу; Сусида, Такамичи (апрель 2017 г.), «Упаковки спиральных дисков», Physica D: Nonlinear Phenomena , 345 : 1–10, Bibcode : 2017PhyD..345....1Y, doi : 10.1016/j.physd.2016.12.003

Внешние ссылки

• Исследователь спирали Дойла, Робин Хьюстон