Среднее время между отказами

Прогнозируемое время между внутренними отказами системы во время эксплуатации

Среднее время между отказами ( MTBF ) — это прогнозируемое прошедшее время между собственными отказами механической или электронной системы во время нормальной работы системы. MTBF можно рассчитать как среднее арифметическое (среднее) время между отказами системы. Этот термин используется для восстанавливаемых систем, тогда как среднее время до отказа ( MTTF ) обозначает ожидаемое время до отказа для невосстанавливаемой системы. ^[1]

Определение MTBF зависит от определения того, что считается отказом. Для сложных, ремонтопригодных систем отказы считаются выходом из проектных условий, которые выводят систему из эксплуатации и переводят ее в состояние для ремонта. Отказы, которые могут быть оставлены или сохранены в неремонтируемом состоянии и не выводят систему из эксплуатации, не считаются отказами в соответствии с этим определением. ^[2] Кроме того, блоки, которые выводятся для планового технического обслуживания или контроля запасов, не рассматриваются в рамках определения отказа. ^[3] Чем выше MTBF, тем дольше система, вероятно, проработает до отказа.

Обзор

Среднее время между отказами (MTBF) описывает ожидаемое время между двумя отказами для ремонтопригодной системы. Например, три идентичные системы, начавшие нормально функционировать в момент времени 0, работают до тех пор, пока все они не выйдут из строя. Первая система выходит из строя через 100 часов, вторая — через 120 часов, а третья — через 130 часов. MTBF систем — это среднее значение трех времен отказа, которое составляет 116,667 часов. Если бы системы были неремонтопригодными, то их MTTF составило бы 116,667 часов.

В общем случае MTBF — это «время безотказной работы» между двумя состояниями отказа восстанавливаемой системы во время эксплуатации, как описано здесь:

Для каждого наблюдения "время простоя" - это мгновенное время, когда он упал, которое наступает после (т.е. больше) момента, когда он поднялся, "время подъёма". Разница ("время простоя" минус "время подъёма") - это количество времени, в течение которого он работал между этими двумя событиями.

Согласно приведенному выше рисунку, среднее время безотказной работы компонента представляет собой сумму продолжительностей периодов эксплуатации, деленную на количество наблюдаемых отказов:

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {\sum {({\text{start of downtime}}-{\text{start of uptime}})}}{\text{number of failures}}}.}$

Аналогичным образом среднее время простоя (MDT) можно определить как

${\displaystyle {\text{MDT}}={\frac {\sum {({\text{start of uptime}}-{\text{start of downtime}})}}{\text{number of failures}}}.}$

Математическое описание

MTBF — это ожидаемое значение случайной величины, указывающей время до отказа. Таким образом, его можно записать как ^[4] ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\mathbb {E} \{T\}=\int _{0}^{\infty }tf_{T}(t)\,dt}$

где — функция плотности вероятности . Эквивалентно, MTBF может быть выражена через функцию надежности как ${\displaystyle f_{T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R_{T}(t)}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}=\int _{0}^{\infty }R(t)\,dt}$.

Среднее время безотказной работы (MTBF) имеет единицы измерения времени (например, часы). ${\displaystyle T}$

Любой практически значимый расчет среднего времени безотказной работы предполагает, что система работает в течение своего «срока полезного использования», который характеризуется относительно постоянной интенсивностью отказов (средняя часть « кривой ванны »), когда происходят только случайные отказы. ^[1] Другими словами, предполагается, что система выдержала начальные установочные нагрузки и еще не приблизилась к ожидаемому концу срока службы, оба из которых часто увеличивают интенсивность отказов.

Предполагая постоянную частоту отказов, подразумевает, что имеет экспоненциальное распределение с параметром . Поскольку MTBF является ожидаемым значением , оно определяется обратной величиной частоты отказов системы, ^{[1] [4]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{MTBF}}={\frac {1}{\lambda }}}$.

Как только MTBF системы известна, и предполагается постоянная частота отказов, вероятность того, что любая конкретная система будет работоспособна в течение заданного периода времени, может быть выведена ^[1] из функции надежности экспоненциального распределения , . В частности, вероятность того, что конкретная система выживет до своего MTBF, составляет , или около 37% (т. е. она выйдет из строя раньше с вероятностью 63%). ^[5] ${\displaystyle R_{T}(t)=e^{-\lambda t}}$ ${\displaystyle 1/e}$

Приложение

Значение MTBF может использоваться как параметр надежности системы или для сравнения различных систем или конструкций. Это значение следует понимать только условно как «среднее время жизни» (среднее значение), а не как количественное тождество между работающими и отказавшими блоками. ^[1]

Поскольку MTBF можно выразить как «средний срок службы (ожидаемая продолжительность)», многие инженеры предполагают, что 50% элементов выйдут из строя к моменту времени t = MTBF. Эта неточность может привести к принятию плохих проектных решений. Более того, вероятностное прогнозирование отказов на основе MTBF подразумевает полное отсутствие систематических отказов (т. е. постоянную частоту отказов только с внутренними случайными отказами), что нелегко проверить. ^[4] При условии отсутствия систематических ошибок вероятность того, что система выживет в течение периода времени T, рассчитывается как exp^(-T/MTBF). Следовательно, вероятность того, что система выйдет из строя в течение периода времени T, определяется как 1 - exp^(-T/MTBF).

Прогнозирование значения MTBF является важным элементом в разработке продуктов. Инженеры по надежности и инженеры-конструкторы часто используют программное обеспечение для расчета MTBF продукта в соответствии с различными методами и стандартами (MIL-HDBK-217F, Telcordia SR332, Siemens SN 29500, FIDES, UTE 80-810 (RDF2000) и т. д.). Руководство по калькулятору надежности Mil-HDBK-217 в сочетании с программным обеспечением RelCalc (или другим сопоставимым инструментом) позволяет прогнозировать показатели надежности MTBF на основе конструкции.

Понятие, тесно связанное с MTBF и важное в расчетах, связанных с MTBF, — это среднее время простоя (MDT). MDT можно определить как среднее время простоя системы после сбоя. Обычно MDT считается отличным от MTTR (среднее время ремонта); в частности, MDT обычно включает организационные и логистические факторы (такие как рабочие дни или ожидание доставки компонентов), тогда как MTTR обычно понимается как более узкое и более техническое.

Применение MTBF в производстве

MTBF служит важнейшей метрикой для управления надежностью машин и оборудования. Его применение особенно важно в контексте общего производственного обслуживания (TPM), комплексной стратегии обслуживания, направленной на максимизацию эффективности оборудования . MTBF обеспечивает количественную меру времени, прошедшего между отказами системы во время нормальной работы, предлагая понимание надежности и производительности производственного оборудования. ^[6]

Интегрируя MTBF с принципами TPM, производители могут добиться более проактивного подхода к обслуживанию. Эта синергия позволяет выявлять закономерности и потенциальные сбои до их возникновения, что позволяет проводить профилактическое обслуживание и сокращать незапланированные простои. В результате MTBF становится ключевым показателем эффективности (KPI) в TPM, определяющим решения по графикам обслуживания, запасам запасных частей и, в конечном итоге, оптимизирующим срок службы и эффективность оборудования. ^[7] Это стратегическое использование MTBF в рамках TPM повышает общую эффективность производства, снижает затраты, связанные с поломками, и способствует постоянному совершенствованию производственных процессов.

MTBF и MDT для сетей компонентов

Два компонента (например, жесткие диски, серверы и т. д.) могут быть расположены в сети, последовательно или параллельно . Терминология здесь используется по близкой аналогии с электрическими цепями, но имеет немного иное значение. Мы говорим, что два компонента соединены последовательно, если отказ любого из них приводит к отказу сети, и что они соединены параллельно, если отказ только обоих приводит к отказу сети. MTBF полученной двухкомпонентной сети с ремонтопригодными компонентами можно вычислить по следующим формулам, предполагая, что MTBF обоих отдельных компонентов известен: ^{[8] [9]} ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};c_{2})={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}}}={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

где - сеть, в которой компоненты расположены последовательно. ${\displaystyle c_{1};c_{2}}$

Для сети, содержащей параллельные ремонтируемые компоненты, чтобы узнать MTBF всей системы, в дополнение к MTBF компонентов, необходимо также знать их соответствующие MDT. Тогда, предполагая, что MDT пренебрежимо малы по сравнению с MTBF (что обычно имеет место на практике), MTBF для параллельной системы, состоящей из двух параллельных ремонтируемых компонентов, можно записать следующим образом: ^{[8] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mtbf}}(c_{1}\parallel c_{2})&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\text{PF}}(c_{2},{\text{mdt}}(c_{1}))+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\text{PF}}(c_{1},{\text{mdt}}(c_{2}))}}\\[1em]&={\frac {1}{{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}+{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{2})}}\times {\frac {{\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mtbf}}(c_{1})}}}}\\[1em]&={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mtbf}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;,\end{aligned}}}$

где — сеть, в которой компоненты расположены параллельно, а — вероятность отказа компонента в течение «окна уязвимости» . ${\displaystyle c_{1}\parallel c_{2}}$ ${\displaystyle PF(c,t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$

Интуитивно обе эти формулы можно объяснить с точки зрения вероятностей отказов. Прежде всего, отметим, что вероятность отказа системы в течение определенного периода времени является обратной величиной ее MTBF. Затем, при рассмотрении серии компонентов отказ любого компонента приводит к отказу всей системы, поэтому (предполагая, что вероятности отказов малы, что обычно и бывает) вероятность отказа всей системы в течение заданного интервала можно аппроксимировать как сумму вероятностей отказов компонентов. С параллельными компонентами ситуация немного сложнее: вся система выйдет из строя тогда и только тогда, когда после отказа одного из компонентов другой компонент выйдет из строя во время ремонта первого; вот тут-то и вступает в игру MDT: чем быстрее ремонтируется первый компонент, тем меньше «окно уязвимости» для отказа другого компонента.

Используя аналогичную логику, MDT для системы из двух последовательных компонентов можно рассчитать следующим образом: ^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1};c_{2})={\frac {{\text{mtbf}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})+{\text{mtbf}}(c_{2})\times {\text{mdt}}(c_{1})}{{\text{mtbf}}(c_{1})+{\text{mtbf}}(c_{2})}}\;,}$

а для системы из двух параллельных компонентов MDT можно рассчитать как: ^[8]

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel c_{2})={\frac {{\text{mdt}}(c_{1})\times {\text{mdt}}(c_{2})}{{\text{mdt}}(c_{1})+{\text{mdt}}(c_{2})}}\;.}$

Последовательно применяя эти четыре формулы, можно вычислить MTBF и MDT любой сети ремонтируемых компонентов, при условии, что MTBF и MDT известны для каждого компонента. В особом, но крайне важном случае нескольких последовательных компонентов расчет MTBF можно легко обобщить в

${\displaystyle {\text{mtbf}}(c_{1};\dots ;c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mtbf}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

что можно показать по индукции, ^[10] и аналогично

${\displaystyle {\text{mdt}}(c_{1}\parallel \dots \parallel c_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{{\text{mdt}}(c_{k})}}\right)^{-1}\;,}$

поскольку формула для MDT двух параллельных компонентов идентична формуле для MTBF для двух последовательных компонентов.

Вариации среднего времени безотказной работы

Существует множество вариаций MTBF, например, среднее время между системными прерываниями (MTBSA), среднее время между критическими отказами (MTBCF) или среднее время между незапланированным удалением (MTBUR). Такая номенклатура используется, когда желательно различать типы отказов, такие как критические и некритические отказы. Например, в автомобиле отказ FM-радио не мешает основной работе транспортного средства.

Рекомендуется использовать среднее время до отказа (MTTF) вместо MTBF в случаях, когда система заменяется после отказа («неремонтируемая система»), поскольку MTBF обозначает время между отказами в системе, которую можно отремонтировать. ^[1]

MTTFd является расширением MTTF и касается только отказов, которые могут привести к опасному состоянию. Его можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{MTTF}}&\approx {\frac {B_{10}}{0.1n_{\text{onm}}}},\\[8pt]{\text{MTTFd}}&\approx {\frac {B_{10d}}{0.1n_{\text{op}}}},\end{aligned}}}$

где B ₁₀ — это количество операций, которые устройство выполнит до того, как 10% выборки этих устройств выйдут из строя, а n _op — это количество операций. B _10d — это тот же расчет, но где 10% выборки выйдут из строя из-за опасности. n _op — это количество операций/циклов в год. ^[11]

MTBF рассматривает возможность цензурирования

На самом деле MTBF, учитывающий только отказы, по крайней мере, с некоторыми работающими системами, которые еще не вышли из строя, недооценивает MTBF, не включая в вычисления частичные сроки службы систем, которые еще не вышли из строя. При таких сроках службы все, что мы знаем, это то, что время до отказа превышает время их работы. Это называется цензурированием . На самом деле с параметрической моделью срока службы вероятность для опыта в любой заданный день выглядит следующим образом :

${\displaystyle L=\prod _{i}\lambda (u_{i})^{\delta _{i}}S(u_{i})}$,

где

${\displaystyle u_{i}}$время отказа для отказов и время цензурирования для единиц, которые еще не вышли из строя,

${\displaystyle \delta _{i}}$= 1 для сбоев и 0 для цензурирования времени,

${\displaystyle S(u_{i})}$= вероятность того, что продолжительность жизни превысит , называемая функцией выживания, и ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle \lambda (u_{i})=f(u)/S(u)}$называется функцией риска , мгновенной силой смертности (где = функция плотности вероятности распределения). ${\displaystyle f(u)}$

Для постоянного экспоненциального распределения риск, , является постоянным. В этом случае MBTF равен ${\displaystyle \lambda }$

Среднее время безотказной работы = , ${\displaystyle 1/{\hat {\lambda }}=\sum u_{i}/k}$

где — оценка максимального правдоподобия , максимизирующая указанное выше правдоподобие, а — число неотцензурированных наблюдений. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k=\sum \sigma _{i}}$

Мы видим, что разница между MTBF, учитывающим только отказы, и MTBF, включающим цензурированные наблюдения, заключается в том, что время цензурирования добавляется к числителю, но не к знаменателю при вычислении MTBF. ^[12]

Смотрите также

• Годовая интенсивность отказов  — вероятность того, что устройство или компонент выйдет из строя в течение года использования.
• Частота отказов  – частота, с которой инженерная система или компонент выходят из строя.
• Кадров на остановку  – термин надежности в индустрии боулинга
• Среднее время до первого отказа  – Средний срок службы неремонтопригодных компонентов
• Среднее время ремонта  – показатель ремонтопригодности ремонтируемых изделий.
• Часы работы  – время, в течение которого на устройство подается электропитание.
• Надежность техники  – раздел системной инженерии, который уделяет особое внимание надежности.
• Время пребывания (статистика)  – статистический параметр эволюции случайного процесса.
• Кривая ванны  – кривая интенсивности отказов с течением времени

Ссылки

1. J. Lienig, H. Bruemmer (2017). «Анализ надежности». Основы проектирования электронных систем . Springer International Publishing. стр. 45–73. doi :10.1007/978-3-319-55840-0_4. ISBN 978-3-319-55839-4.
2. Коломбо, А.Г., и Саис де Бустаманте, Амалио: Оценка надежности систем - Материалы курса Испра, проведенного в Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Navales, Мадрид, Испания, 19–23 сентября 1988 г., в сотрудничестве с Мадридским политехническим университетом , 1988 г.
3. «Определение отказа: что такое MTTR, MTTF и MTBF?». Стивен Фоскетт, Pack Rat . 6 июля 2011 г. Получено 18 января 2016 г.
4. Алессандро Биролини: Надежность техники: теория и практика . Springer, Берлин 2013, ISBN 978-3-642-39534-5 . 
5. "Обзор надежности и среднего времени безотказной работы" (PDF) . Vicor Reliability Engineering . Получено 1 июня 2017 г. .
6. "MTBF: Что это значит и как его рассчитать". total-manufacturing.com . Получено 2024-02-07 .
7. Доктор наук, Бартош Мисюрек (2021-11-22). "MTBF MTTR MTTF: TPM Indicators". Lean Community . Получено 2024-02-07 .
8. "Характеристики надежности для двух подсистем, соединенных последовательно или параллельно, или n подсистем в расположении m_out_of_n (Дон Л. Лин)". auroraconsultingengineering.com .
9. Dr. David J. Smith (2011). Надежность, ремонтопригодность и риск (восьмое изд.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0080969022.
10. "MTBF Allocations Analysis1". Angelfire . Архивировано из оригинала 6 ноября 2002 г. Получено 2016-12-23 .
11. "Оценка B10d – Параметр надежности электромеханических компонентов" (PDF) . TUVRheinland . Получено 7 июля 2015 г. .
12. Лу Тянь, Построение правдоподобия, вывод для параметрических распределений выживаемости (PDF) , Wikidata  Q98961801.

Внешние ссылки

• «Основы надежности и доступности». EventHelix.
• Спикс, Скотт (2005). «Обзор надежности и среднего времени безотказной работы» (PDF) . Vicor Reliability Engineering.
• «Частота отказов, среднее время безотказной работы и все такое». MathPages.
• «Простое руководство по MTBF: что это такое и когда его использовать». Дорога к надежности. 10 декабря 2021 г.
• «Что такое среднее время до отказа и как его рассчитать?». NEXGEN. 21 июня 2023 г.