Когда выходные данные системы ограничены для каждого ограниченного входа
В обработке сигналов , в частности в теории управления , стабильность с ограниченным входом и ограниченным выходом ( BIBO ) — это форма стабильности сигналов и систем , которые принимают входные данные. Если система BIBO-стабильна, то выход будет ограничен для каждого входа в ограниченную систему.
Сигнал ограничен, если существует конечное значение, такое, что величина сигнала никогда не превышает , то есть![{\displaystyle B>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для сигналов дискретного времени :
![{\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для непрерывных сигналов:
![{\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Условия временной области для линейных стационарных систем
Непрерывное необходимое и достаточное условие
Для непрерывной во времени линейно-инвариантной (LTI) системы условием устойчивости BIBO является то, что импульсная характеристика , , будет абсолютно интегрируемой , т. е. существует ее норма L 1 .![{\ displaystyle h (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\, {\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1} \in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Достаточное условие дискретного времени
Для системы LTI с дискретным временем условием устойчивости BIBO является абсолютно суммируемость импульсной характеристики , т. е. существование ее нормы .
![{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство достаточности
Учитывая систему LTI с дискретным временем и импульсной характеристикой, соотношение между входом и выходом равно![{\displaystyle \ час[п]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ х[п]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ y[n]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где обозначает свертку . Тогда по определению свертки следует![{\displaystyle *}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[nk]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пусть – максимальное значение , т. е. -норма .![{\displaystyle \|x\|_{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ |x[n]|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_ {\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _ {k=-\infty }^{\infty }h[nk]x[k]\right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(по неравенству треугольника )
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[nk]\right|\|x\|_{\infty }\\& =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[nk]\right|\\&=\|x\|_{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если абсолютно суммируемо, то и![{\displaystyle ч[n]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\ |ч\|_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Итак, если абсолютно суммируемо и ограничено, то оно также ограничено, потому что .![{\displaystyle ч[n]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|x[n]\right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.
Условие частотной области для линейных стационарных систем
Непрерывные сигналы
Для рациональной системы с непрерывным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает воображаемую ось . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область справа от вертикальной линии, абсцисса которой представляет собой действительную часть «самого большого полюса» или полюса , который имеет наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть крупнейшего полюса, определяющего РПЦ, называется абсциссой конвергенции . Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться в строго левой половине s-плоскости .
Это условие устойчивости может быть получено из приведенного выше условия во временной области следующим образом:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\ left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t )(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\ сигма +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right |\,dt\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и![{\displaystyle s=\sigma +j\omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поэтому область схождения должна включать воображаемую ось .
Сигналы дискретного времени
Для системы с рациональным и дискретным временем условием устойчивости является то, что область сходимости (ROC) z-преобразования включает единичный круг . Когда система является причинной , ROC представляет собой открытую область за пределами круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, для устойчивости BIBO все полюса системы должны находиться внутри единичного круга в плоскости z .
Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу для непрерывного времени:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[ n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j \omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{ выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и .![{\displaystyle z=re^{j\omega }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r=|z|=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поэтому область сходимости должна включать единичный круг .
Смотрите также
дальнейшее чтение
- Гордон Э. Карлсон Анализ сигналов и линейных систем с помощью Matlab , второе издание, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
- Джон Г. Проакис и Димитрис Г. Манолакис « Основы, алгоритмы и приложения цифровой обработки сигналов», третье издание, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
- Д. Рональд Фэннин, Уильям Х. Трантер и Роджер Э. Цимер. Сигналы и системы Непрерывное и дискретное четвертое издание, Прентис Холл, 1998, ISBN 0-13-496456-X
- Доказательство необходимых условий стабильности BIBO.
- Кристоф Бассо Проектирование контуров управления для линейных и импульсных источников питания: Учебное пособие, первое издание, Artech House, 2012, 978-1608075577
- Майкл Унсер (2020). «Заметки о стабильности BIBO». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . дои :10.1109/TSP.2020.3025029.
Рекомендации