Стандартная функция детали

Функция от ограниченного гиперреального к действительным числам

В нестандартном анализе стандартная функция части — это функция от ограниченных (конечных) гипердействительных чисел до действительных чисел. Короче говоря, стандартная часть функции «округляет» конечную гиперреальную величину до ближайшей реальной. Каждому такому гиперреальному оно сопоставляет единственное реальное, бесконечно близкое к нему, т. е . бесконечно малое . По сути, это математическая реализация исторической концепции равенства , введенной Пьером де Ферма ^[1] , а также трансцендентного закона однородности Лейбница . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$

Функция стандартной части была впервые определена Абрахамом Робинсоном , который использовал обозначение стандартной части гиперреальности (см. Robinson 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе . Последняя теория представляет собой строгую формализацию вычислений с бесконечно малыми величинами . Стандартную часть x иногда называют его тенью . ^[2] ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ ${\displaystyle x}$

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа. «Бесконечно малый микроскоп» используется для наблюдения за бесконечно малой окрестностью стандартной вещественной реальности.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреалы представляют собой упорядоченное расширение полей действительных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гипердействительной линии каждое действительное число имеет набор чисел (называемых монадой или гало ) бесконечно близких к нему гипердействительных чисел. Стандартная часть-функция ассоциируется с конечным гипердействительным числом x , уникальным стандартным действительным числом x0 _, которое бесконечно близко к нему. Отношения выражаются символически, записывая ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

Стандартная часть любой бесконечно малой равна 0. Таким образом, если N — бесконечное сверхъестественное , то 1/ N — бесконечно малое, и st(1/ N ) = 0.

Если гиперреальность представлена ​​последовательностью Коши в ультрастепенной конструкции, то ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

В более общем смысле, каждое конечное число определяет дедекиндовый разрез на подмножестве (через общий порядок на ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

Не внутренний

Стандартная функция детали «st» не определяется внутренним набором . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самое простое состоит в том, что его область L, представляющая собой совокупность ограниченных (то есть конечных) гиперреальностей, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничено (например, любым бесконечным сверхъестественным), L должно было бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L было внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. Альтернативно, диапазон «st» равен , что не является внутренним; на самом деле каждое внутреннее множество в нем является подмножеством обязательно конечно . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приложения

Все традиционные понятия исчисления можно выразить через стандартную функцию части следующим образом.

Производная

Стандартная функция части используется для определения производной функции f . Если f — действительная функция, а h — бесконечно малая, и если f ′( x ) существует, то

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

Альтернативно, если , берется бесконечно малое приращение и вычисляется соответствующее . Один образует соотношение . Производная тогда определяется как стандартная часть отношения: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

интеграл

Учитывая функцию от , можно определить интеграл как стандартную часть бесконечной суммы Римана, когда значение считается бесконечно малым, используя гиперконечное разбиение интервала [ a , b ]. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Лимит

Учитывая последовательность , ее предел определяется где – бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова независимо от выбранного бесконечного индекса. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

Непрерывность

Действительная функция непрерывна в вещественной точке тогда и только тогда , когда композиция постоянна на гало . Более подробную информацию см. в разделе «Микронепрерывность» . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Адекватность
• Нестандартное исчисление

Рекомендации

1. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (март 2012 г.). «Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi :10.1007/s10699-011-9223-1Авторы ссылаются на стандартную часть Ферма-Робинсона.{{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
2. Бачелли, Тициана; Боттацци, Эмануэле; Герцберг, Фредерик; Кановей, Владимир; Кац, Карин У.; Кац, Михаил Георгиевич; Новик, Тал; Шерри, Дэвид; Шнайдер, Стивен (1 сентября 2014 г.). «Ферма, Лейбниц, Эйлер и банда: истинная история концепций предела и тени» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 61 (08): 848. doi :10.1090/noti1149.
3. Голдблатт, Роберт (1998). Лекции по гиперреальности: введение в нестандартный анализ. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98464-3.

дальнейшее чтение

• Х. Джером Кейслер . Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Первое издание 1976 г.; 2-е издание, 1986 г. (Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html.)
• Авраам Робинсон . Нестандартный анализ. Перепечатка второго (1974 г.) издания. С предисловием Вильгельма А.Ю. Люксембурга . Принстонские ориентиры в математике. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1996. xx+293 стр. ISBN 0-691-04490-2