Стандартный обычный стол

В статистике стандартная нормальная таблица , также называемая единичной нормальной таблицей или Z-таблицей , ^[1] представляет собой математическую таблицу для значений $Φ$ , кумулятивной функции распределения нормального распределения . Он используется для определения вероятности того, что статистика наблюдается ниже, выше или между значениями стандартного нормального распределения и, как следствие, любого нормального распределения. Поскольку таблицы вероятностей невозможно распечатать для каждого нормального распределения, поскольку существует бесконечное разнообразие нормальных распределений, обычной практикой является преобразование нормального значения в стандартное нормальное (известное как z -показатель ), а затем использование стандартной нормальной таблицы для нахождения вероятности. ^[2]

Нормальное и стандартное нормальное распределение

Нормальные распределения — это симметричные колоколообразные распределения, которые полезны при описании реальных данных. Стандартное нормальное распределение, представленное $Z$ , представляет собой нормальное распределение, имеющее среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.

Конверсия

Если $X$ является случайной величиной из нормального распределения со средним значением $µ$ и стандартным отклонением $σ$ , ее Z-показатель можно вычислить из $X$ путем вычитания $µ$ и деления на стандартное отклонение:

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

Если это среднее значение выборки размера $n$ из некоторой популяции, в которой среднее значение равно $μ$ , а стандартное отклонение равно $σ$ , стандартная ошибка равна ${\overline {X}}$ ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu {\sigma /{\sqrt {n}}}}

Если это общая сумма выборки размера $n$ из некоторой совокупности, в которой среднее значение равно $μ$ , а стандартное отклонение равно $σ$ , то ожидаемая сумма равна $nμ$ , а стандартная ошибка равна ${\ textstyle \ сумма X}$ $\sigma {\sqrt {n}}:$

Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}

Чтение таблицы Z

Форматирование/разметка

$Таблицы Z$ обычно составляются следующим образом:

Метка строк содержит целую часть и первый десятичный знак $Z.$
Метка столбцов содержит второй десятичный знак $Z$ .
Значения в таблице представляют собой вероятности, соответствующие типу таблицы. Эти вероятности представляют собой вычисления площади под нормальной кривой от начальной точки (0 для кумулятивного от среднего , отрицательная бесконечность для кумулятивного и положительная бесконечность для дополнительного кумулятивного ) до $Z.$

Пример: Чтобы найти 0,69 , нужно просмотреть строки и найти 0,6 , а затем по столбцам найти 0,09 , что даст вероятность 0,25490 для кумулятивного значения из таблицы средних или 0,75490 из кумулятивной таблицы.

Чтобы найти отрицательное значение, такое как -0,83 , можно использовать сводную таблицу для отрицательных значений z ^[3] , что дает вероятность 0,20327 .

Но поскольку кривая нормального распределения симметрична, обычно приводятся вероятности только для положительных значений $Z.$ Пользователю, возможно, придется использовать дополнительную операцию над абсолютным значением $Z$ , как в примере ниже.

Виды столов

$Таблицы Z$ используют как минимум три различных соглашения:

Совокупно от среднего: дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и $Z$ . Пример: $Prob(0 \leq Z \leq 0,69) = 0,2549$ .
кумулятивный: дает вероятность того, что статистика меньше $Z$ . Это соответствует площади распределения ниже $Z.$ Пример: $Вероятность(Z \leq 0,69) = 0,7549$ .
Дополнительный накопительный: дает вероятность того, что статистика больше $Z$ . Это соответствует площади распределения выше $Z.$; Пример: Найдите $Prob(Z \geq 0,69)$ . Поскольку это часть площади выше $Z$ , доля, превышающая $Z$ , находится путем вычитания $Z$ из 1. Это $Prob(Z \geq 0,69) = 1 - Prob(Z \leq 0,69)$ или $Prob(Z \geq 0,69). знак равно 1 - 0,7549 = 0,2451$ .

Примеры таблиц

Суммарно от минус бесконечности до Z

Эта таблица дает вероятность того, что статистика находится в диапазоне от минус бесконечности до $Z.$

f(z)=\Phi (z)

Значения рассчитываются с использованием кумулятивной функции распределения стандартного нормального распределения со средним значением, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, обычно обозначаемым заглавной греческой буквой ( фи ), представляет собой интеграл. $\Фи$

\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\ ,дт

$\Фи$ (z) относится к функции ошибок или $erf(z)$ .

\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\ верно]

Заметим, что для $z = 1, 2, 3$ получаем (после умножения на 2 для учета интервала $[- z, z]$ ) результаты $f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974$ , характерные для 68–95– Правило 99,7 .

Совокупный (менее Z)

Эта таблица дает вероятность того, что статистика меньше $Z$ (т.е. между отрицательной бесконечностью и $Z$ ).

^[4]

Дополнительный накопительный

Эта таблица дает вероятность того , что статистика больше $Z.$

f(z)=1-\Phi (z)

^[5]

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше, чем Z для больших целочисленных значений Z.

Примеры использования

Экзаменационные баллы профессора примерно распределяются нормально со средним значением 80 и стандартным отклонением 5. Доступны только совокупные значения из таблицы средних .

Какова вероятность того, что студент наберет 82 балла или меньше? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P( Z\leq 0.40)\\[2pt]&=0.15542+0.5\\[2pt]&=0.65542\end{aligned}}$
Какова вероятность того, что студент наберет 90 или более баллов? ${\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P( Z\geq 2.00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2.00)\\[2pt]&=1-(0.47725+0.5)\\[2pt]&=0.02275\end{aligned}}$
Какова вероятность того, что студент наберет 74 балла или меньше? ${\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P( Z\leq -1.20)\end{aligned}}$ Поскольку эта таблица не включает негативы, процесс включает в себя следующий дополнительный шаг: ${\begin{aligned}\qquad \qquad \quad = {}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0. 11507\end{выровнено}}$
Какова вероятность того, что студент наберет от 74 до 82 баллов? ${\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0,65542-0,11507\\[2pt ]&=0.54035\end{aligned}}$
Какова вероятность того, что среднее значение трех баллов составит 82 или меньше? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\ &=P(Z\leq 0,69)\\[2pt]&=0,2549+0,5\\[2pt]&=0,7549\end{aligned}}$