Стек модулей основных пучков

В алгебраической геометрии, если заданы гладкая проективная кривая X над конечным полем и гладкая аффинная групповая схема G над ней, то стек модулей главных расслоений над X , обозначаемый как , является алгебраическим стеком, заданным формулой: ^[1] для любой -алгебры R , ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$категория главных G -расслоений над относительной кривой . ${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$

В частности, категория -точек , то есть , является категорией G -расслоений над X . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$

Аналогично, можно также определить, когда кривая X находится над полем комплексных чисел. Грубо говоря, в комплексном случае можно определить как фактор-стек пространства голоморфных связностей на X по калибровочной группе . Замена фактор-стека (который не является топологическим пространством) гомотопическим фактором (который является топологическим пространством) дает гомотопический тип . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

В случае конечного поля гомотопический тип не принято определять . Но все равно можно определить ( гладкие ) когомологии и гомологии . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Основные свойства

Известно, что — гладкий стек размерности , где — род X. Он не конечного типа, но локально конечного типа; поэтому обычно используется стратификация открытыми подстеками конечного типа (ср. стратификацию Хардера–Нарасимхана ), также для парахорического G над кривой X см. ^[2] и для G только плоская групповая схема конечного типа над X см. ^[3]. ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$ ${\displaystyle g(X)}$

Если G — расщепляемая редуктивная группа, то множество связных компонент находится в естественной биекции с фундаментальной группой . ^[4] ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G)}$

Формула Атьи–Ботта

Формула следа Беренда

Это (предполагаемая) версия формулы следа Лефшеца для случая, когда X находится над конечным полем, введенная Берендом в 1993 году. ^[5] Она утверждает: ^[6] если G — гладкая аффинная групповая схема с полупростым связным общим слоем , то ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

где (см. также формулу следа Беренда для подробностей)

• l — простое число, отличное от p , а кольцо l-адических целых чисел рассматривается как подкольцо . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \phi }$является геометрическим Фробениусом .
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, сумма пробегает все классы изоморфизма G-расслоений на X и сходится.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$для градуированного векторного пространства , при условии, что ряд справа абсолютно сходится. ${\displaystyle V_{*}}$

Априори ни левая, ни правая часть формулы не сходятся. Таким образом, формула утверждает, что обе стороны сходятся к конечным числам и что эти числа совпадают.

Примечания

1. Лури, Якоб (3 апреля 2013 г.), Числа Тамагавы в случае поля функций (лекция 2) (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2013-04-11 , извлечено 2014-01-30
2. Хайнлот 2010, Предложение 2.1.2
3. Арасте Рад, Э.; Хартл, Урс (2021), «Унификация стеков модулей глобальных G-штук», Международные уведомления по математическим исследованиям (21): 16121–16192, arXiv : 1302.6351 , doi : 10.1093/imrn/rnz223, MR  4338216; см. теорему 2.5
4. Хайнлот 2010, Предложение 2.1.2
5. Беренд, Кай А. (1991), Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (диссертация доктора философии), Калифорнийский университет в Беркли
6. Gaitsgory & Lurie 2019, Глава 5: Формула следа для Bun _G (X), стр. 260

Ссылки

• Хайнлот, Йохен (2010), «Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой» (PDF) , в Шмитте, Александре (ред.), Аффинные флаговые многообразия и главные расслоения , Тенденции в математике, Базель: Birkhäuser/Springer, стр. 123–153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7, МР  3013029
• J. Heinloth, AHW Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Principal Bundles over Curves, препринт 2010 г., доступен по адресу http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
• Гейтсгори, Деннис; Лурье, Якоб (2019), Гипотеза Вейля для функциональных полей, т. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, т. 199, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8, г-н  3887650

Дальнейшее чтение

• К. Зоргер, Лекции о модулях главных G-расслоений над алгебраическими кривыми

Смотрите также

• Геометрические гипотезы Ленглендса
• Пробежал пространство
• Стек модулей векторных расслоений