Экспоненциальная сумма

Конечная сумма, образованная с помощью показательной функции

В математике показательная сумма может быть конечным рядом Фурье (т.е. тригонометрическим полиномом ) или другой конечной суммой, образованной с использованием показательной функции , обычно выражаемой с помощью функции

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Поэтому типичная экспоненциальная сумма может иметь вид

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

суммируется по конечной последовательности действительных чисел x _n .

Формулировка

Если мы допустим некоторые действительные коэффициенты a _n , то получим форму

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

это то же самое, что разрешить экспоненты, которые являются комплексными числами . Обе формы, безусловно, полезны в приложениях. Большая часть аналитической теории чисел двадцатого века была посвящена поиску хороших оценок для этих сумм, тенденция, начатая базовой работой Германа Вейля по диофантовым приближениям .

Оценки

Основная идея предмета заключается в том, что сумма

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

тривиально оценивается числом членов N. То есть, абсолютное значение

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

неравенством треугольника , поскольку каждое слагаемое имеет абсолютное значение 1. В приложениях хотелось бы добиться лучшего. Это включает доказательство того, что имеет место некоторое сокращение, или, другими словами, что эта сумма комплексных чисел на единичной окружности не является суммой чисел с тем же аргументом . Лучшее, на что можно надеяться, — это оценка вида

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

что означает, с точностью до подразумеваемой константы в большой нотации O , что сумма напоминает случайное блуждание в двух измерениях.

Такую оценку можно считать идеальной; она недостижима во многих крупных задачах, а оценки

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

должны использоваться, где функция o( N ) представляет собой лишь небольшую экономию по сравнению с тривиальной оценкой. Типичная «небольшая экономия» может быть множителем log( N ), например. Даже такой, кажущийся незначительным, результат в правильном направлении должен быть отнесен полностью назад к структуре исходной последовательности x _n , чтобы показать степень случайности . Используемые методы являются изобретательными и тонкими.

Вариант «разностного метода Вейля», исследованный Вейлем, включающий в себя генерацию экспоненциальной суммы

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

ранее изучался самим Вейлем, он разработал метод выражения суммы в виде значения , где «G» можно определить с помощью линейного дифференциального уравнения, аналогичного уравнению Дайсона, полученному путем суммирования по частям. ${\displaystyle G(0)}$

История

Если сумма имеет вид

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

где ƒ — гладкая функция, мы могли бы использовать формулу Эйлера–Маклорена для преобразования ряда в интеграл, плюс некоторые поправки, включающие производные S ( x ), затем для больших значений a можно было бы использовать метод «стационарной фазы» для вычисления интеграла и дать приблизительную оценку суммы. Основными достижениями в этой области были метод Ван дер Корпута (ок. 1920 г.), связанный с принципом стационарной фазы , и более поздний метод Виноградова (ок. 1930 г.).

Метод большого решета (около 1960 г.), разработанный многими исследователями, представляет собой относительно прозрачный общий принцип; однако ни один из методов не имеет всеобщего применения.

Виды показательной суммы

Многие типы сумм используются при формулировании конкретных задач; приложения обычно требуют приведения к некоторому известному типу, часто с помощью изобретательных манипуляций. Частичное суммирование может использоваться для удаления коэффициентов a _n во многих случаях.

Основное различие заключается в полной показательной сумме , которая обычно является суммой по всем классам вычетов по модулю некоторого целого числа N (или более общего конечного кольца ), и неполной показательной суммой , где диапазон суммирования ограничен некоторым неравенством . Примерами полных показательных сумм являются суммы Гаусса и суммы Клостермана ; они в некотором смысле являются конечными полевыми или конечными кольцевыми аналогами гамма -функции и некоторого вида функции Бесселя , соответственно, и имеют много «структурных» свойств. Примером неполной суммы является частичная сумма квадратичной суммы Гаусса (действительно, случай, исследованный Гауссом ). Здесь есть хорошие оценки для сумм в более коротких диапазонах, чем весь набор классов вычетов, потому что, в геометрических терминах, частичные суммы приближаются к спирали Корню ; это подразумевает массивное сокращение.

В теории встречаются вспомогательные типы сумм, например, суммы характеров ; возвращаясь к тезису Гарольда Дэвенпорта . Гипотезы Вейля имели важные приложения для завершения сумм с областью, ограниченной полиномиальными условиями (т. е. вдоль алгебраического многообразия над конечным полем).

суммы Вейля

Одним из наиболее общих типов показательной суммы является сумма Вейля с показателями 2π if ( n ), где f — довольно общая вещественнозначная гладкая функция . Это суммы, участвующие в распределении значений

ƒ ( n ) по модулю 1,

согласно критерию равнораспределения Вейля . Основным достижением было неравенство Вейля для таких сумм, для многочлена f .

Существует общая теория пар экспонент , которая формулирует оценки. Важный случай — когда f логарифмическая, в связи с дзета-функцией Римана . См. также теорему о равнораспределении . ^[1]

Пример: квадратичная сумма Гаусса

Пусть p — нечетное простое число и пусть . Тогда квадратичная сумма Гаусса определяется как ${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

где квадратные корни считаются положительными.

Это идеальная степень сокращения, на которую можно надеяться без каких-либо априорных знаний о структуре суммы, поскольку она соответствует масштабированию случайного блуждания .

Статистическая модель

Сумма экспонент является полезной моделью в фармакокинетике ( химической кинетике в целом) для описания концентрации вещества с течением времени. Экспоненциальные члены соответствуют реакциям первого порядка , что в фармакологии соответствует числу смоделированных диффузионных отсеков . ^{[2] [3]}

Смотрите также

• Лемма Хуа

Ссылки

1. Монтгомери (1994) стр.39
2. Хьюз, Дж. Х.; Аптон, Р. Н.; Рейтер, С. Э.; Фелпс, МА; Фостер, Д. Х. Р. (ноябрь 2019 г.). «Оптимизация выборок времени для определения площади под кривой фармакокинетических данных с использованием некомпартментного анализа». Журнал фармации и фармакологии . 71 (11): 1635–1644. doi : 10.1111/jphp.13154. PMID  31412422.
3. Халл, К. Дж. (июль 1979 г.). «Фармакокинетика и фармакодинамика». British Journal of Anaesthesia . 51 (7): 579–94. doi : 10.1093/bja/51.7.579 . PMID  550900.

• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0737-4. Збл  0814.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.

Дальнейшее чтение

• Коробов, Н. М. (1992). Показательные суммы и их приложения . Математика и ее приложения. Советская серия. Т. 80. Перевод с русского Ю. Н. Шахова. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Збл  0754.11022.

Внешние ссылки

• Краткое введение в суммы Вейля на Mathworld