Сумма Рамануджана

Функция в теории чисел, данная Шринивасой Рамануджаном

В теории чисел сумма Рамануджана , обычно обозначаемая c _q ( n ), является функцией двух положительных целых переменных q и n, определяемой формулой

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

где ( a , q ) = 1 означает, что a принимает только значения, взаимно простые с q .

Шриниваса Рамануджан упомянул эти суммы в статье 1918 года. ^[1] В дополнение к разложениям, обсуждаемым в этой статье, суммы Рамануджана используются в доказательстве теоремы Виноградова о том, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел . ^[2]

Обозначение

Для целых чисел a и b читается как « a делит b » и означает, что существует целое число c, такое что Аналогично читается как « a не делит b ». Символ суммирования ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle {\frac {b}{a}}=c.}$ ${\displaystyle a\nmid b}$

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

означает, что d проходит через все положительные делители m , например

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$наибольший общий делитель ,

${\displaystyle \phi (n)}$является функцией Эйлера ,

${\displaystyle \mu (n)}$— функция Мёбиуса , а

${\displaystyle \zeta (s)}$— дзета-функция Римана .

Формулы длясд(н)

Тригонометрия

Эти формулы вытекают из определения, формулы Эйлера и элементарных тригонометрических тождеств. ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

и так далее ( OEIS : A000012 , OEIS : A033999 , OEIS : A099837 , OEIS : A176742 ,.., OEIS : A100051 ,...). c _q ( n ) всегда является целым числом.

Клюйвер

Пусть Тогда ζ _q является корнем уравнения x ^q − 1 = 0. Каждая из его степеней, ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

также является корнем. Следовательно, поскольку их q , все они являются корнями. Числа , где 1 ≤ n ≤ q, называются корнями q -й степени из единицы . ζ _q называется примитивным корнем q -й степени из единицы, потому что наименьшее значение n , которое составляет q . Другие примитивные корни q -й степени из единицы — это числа , где ( a , q ) = 1. Следовательно, существует φ( q ) примитивных корней q -й степени из единицы. ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$

Таким образом, сумма Рамануджана c _q ( n ) представляет собой сумму n -ных степеней первообразных корней q -ной степени из единицы.

Фактом ^[3] является то, что степени ζ _q являются в точности первообразными корнями для всех делителей q .

Пример. Пусть q = 12. Тогда

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$и являются примитивными корнями двенадцатой степени из единицы, ${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$и являются примитивными шестыми корнями из единицы, ${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$и являются примитивными корнями четвертой степени из единицы, ${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$и являются примитивными третьими корнями единицы, ${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$является примитивным вторым корнем из единицы, и

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$является первообразным первым корнем из единицы.

Поэтому, если

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

это сумма n -ных степеней всех корней, первообразных и непервообразных,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

и по методу обращения Мёбиуса ,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Из тождества x ^q − 1 = ( x − 1)( x ^{q −1} + x ^{q −2} + ... + x + 1) следует, что

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

и это приводит к формуле

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

опубликовано Клюйвером в 1906 году. ^[4]

Это показывает, что c _q ( n ) всегда является целым числом. Сравните это с формулой

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

фон Штернек

Из определения легко показать, что c _q ( n ) является мультипликативной , если рассматривать ее как функцию q для фиксированного значения n : ^[5] т.е.

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

Из определения (или формулы Клюйвера) легко доказать, что если p — простое число,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

и если p ^k — степень простого числа, где k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Этот результат и свойство мультипликативности можно использовать для доказательства

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Это называется арифметической функцией фон Штернека. ^[6] Эквивалентность ее и суммы Рамануджана принадлежит Гёльдеру. ^{[7] [8]}

Другие свойствасд(н)

Для всех положительных целых чисел q ,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

Для фиксированного значения q абсолютное значение последовательности ограничено φ( q ), а для фиксированного значения n абсолютное значение последовательности ограничено n . ${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$ ${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$

Если q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Пусть m ₁ , m ₂ > 0, m = lcm( m ₁ , m ₂ ). Тогда ^[9] суммы Рамануджана удовлетворяют свойству ортогональности :

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пусть n , k > 0. Тогда ^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

известное как тождество Брауэра - Радемахера .

Если n > 0 и a — любое целое число, то мы также имеем ^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

благодаря Коэну.

Стол

Расширения Рамануджана

Если f ( n ) — арифметическая функция (т.е. комплекснозначная функция целых или натуральных чисел), то сходящийся бесконечный ряд имеет вид:

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

или в виде:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

где a _k ∈ C , называется расширением Рамануджана ^[12] функции f ( n ).

Рамануджан нашел расширения некоторых известных функций теории чисел. Все эти результаты доказаны «элементарным» образом (т.е. только с использованием формальных манипуляций рядами и простейших результатов о сходимости). ^{[13] [14] [15]}

Разложение нулевой функции зависит от результата аналитической теории простых чисел, а именно, что ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

сходится к 0, а результаты для r ( n ) и r ′( n ) зависят от теорем в более ранней статье. ^[16]

Все формулы в этом разделе взяты из статьи Рамануджана 1918 года.

Генерация функций

Производящие функции сумм Рамануджана представляют собой ряды Дирихле :

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

является производящей функцией для последовательности c _q (1), c _q (2), ..., где q поддерживается постоянным, и

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

является производящей функцией для последовательности c ₁ ( n ), c _​​2 ( n ), ..., где n остается постоянным.

Существует также двойной ряд Дирихле

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

Многочлен с коэффициентами в виде сумм Рамануджана можно выразить с помощью циклотомического многочлена ^[17]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)}$.

σк(н)

σ _k ( n ) — функция делителей (т. е. сумма k -х степеней делителей числа n , включая 1 и n ). σ ₀ ( n ), количество делителей числа n , обычно записывается как d ( n ), а σ ₁ ( n ), сумма делителей числа n , обычно записывается как σ( n ).

Если с > 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Установка s = 1 дает

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

Если гипотеза Римана верна, и ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

г(н)

d ( n ) = σ ₀ ( n ) — количество делителей числа n , включая 1 и само n .

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

где γ = 0,5772... — постоянная Эйлера–Маскерони .

φ(н)

Функция Эйлера φ( n ) — это число положительных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n . Рамануджан определяет ее обобщение, если

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

— разложение n на простые множители , а s — комплексное число, пусть

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

так что φ ₁ ( n ) = φ ( n ) является функцией Эйлера. ^[18]

Он доказывает, что

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

и использует это, чтобы показать, что

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

Положим s = 1,

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

Обратите внимание, что константа является обратной ^[19] константе в формуле для σ( n ).

Λ(н)

Функция фон Мангольдта Λ( n ) = 0, если только n = p ^k не является степенью простого числа; в этом случае она является натуральным логарифмом log p .

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

Ноль

Для всех n > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

Это эквивалентно теореме о простых числах . ^{[20] [21]}

г2 с(н) (суммы квадратов)

r _{2 s} ( n ) — это число способов представления n в виде суммы квадратов 2 s , считая различные порядки и знаки различными (например, r ₂ (13) = 8, так как 13 = (±2) ² + (±3) ² = (±3) ² + (±2) ² .)

Рамануджан определяет функцию δ _{2 s} ( n ) и ссылается на статью ^[22] , в которой он доказал, что r _{2 s} ( n ) = δ _{2 s} ( n ) для s = 1, 2, 3 и 4. Для s > 4 он показывает, что δ _{2 s} ( n ) является хорошим приближением к r _{2 s} ( n ).

s = 1 имеет специальную формулу:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

В следующих формулах знаки повторяются с периодом 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

и поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

г′2с(n) (суммы треугольников)

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$— это количество способов представления n в виде суммы 2 s треугольных чисел (т. е. чисел 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; n -е треугольное число определяется формулой n ( n + 1)/2.)

Анализ здесь аналогичен анализу для квадратов. Рамануджан ссылается на ту же работу, что и для квадратов, где он показал, что существует функция, такая что для s = 1, 2, 3 и 4, и что для s > 4, является хорошим приближением к ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

Опять же, s = 1 требует специальной формулы:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

Если s кратно 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Суммы

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Тогда для s > 1 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Смотрите также

• период Гаусса
• сумма Клостермана

Примечания

1. Рамануджан, О некоторых тригонометрических суммах ...

   Эти суммы, очевидно, представляют большой интерес, и некоторые из их свойств уже обсуждались. Но, насколько мне известно, они никогда не рассматривались с точки зрения, которую я принимаю в этой статье; и я считаю, что все результаты, которые она содержит, являются новыми.

   ( Документы , стр. 179). В сноске цитируются стр. 360–370 книги Дирихле-Дедекинда Vorlesungen über Zahlentheorie , 4-е изд.
2. Натансон, гл. 8.
3. Харди и Райт, Том 65, 66
4. GH Hardy, PV Seshu Aiyar и BM Wilson, заметки к книге «О некоторых тригонометрических суммах...» , Ramanujan, Papers , стр. 343
5. Шварц и Спилкен (1994) стр.16
6. Б. Берндт, комментарий к книге «О некоторых тригонометрических суммах...» , Рамануджан, «Документы» , стр. 371
7. Кнопфмахер, стр. 196
8. Харди и Райт, стр. 243.
9. Tóth, внешние ссылки, ур. 6
10. Tóth, внешние ссылки, ур. 17.
11. Tóth, внешние ссылки, ур. 8.
12. Б. Берндт, комментарий к «О некоторых тригонометрических суммах...» , Рамануджан, «Документы» , стр. 369–371
13. Рамануджан, О некоторых тригонометрических суммах...

    Большинство моих формул являются «элементарными» в техническом смысле этого слова — они могут (то есть) быть доказаны путем комбинации процессов, включающих только конечную алгебру и простые общие теоремы, касающиеся бесконечных рядов.

    ( Документы , стр. 179)
14. Теория формальных рядов Дирихле обсуждается в Харди и Райте, § 17.6 и в Кнопфмахере.
15. Кнопфмахер, гл. 7, рассматривает разложения Рамануджана как тип разложения Фурье в пространстве внутренних произведений, которое имеет c _q в качестве ортогонального базиса.
16. Рамануджан, О некоторых арифметических функциях
17. Никол, стр. 1
18. Это функция тотиента Жордана , J _s ( n ).
19. См. Hardy & Wright, Thm. 329, где говорится, что ${\displaystyle \;{\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\sigma (n)\phi (n)}{n^{2}}}<1.}$
20. Харди, Рамануджан , стр. 141
21. Б. Берндт, комментарий к книге «О некоторых тригонометрических суммах...» , Рамануджан, «Документы» , стр. 371
22. Рамануджан, О некоторых арифметических функциях

Ссылки

• Харди, ГХ (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой . Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2023-0.

• Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (1979) [1938]. Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909. Zbl  0423.10001.
• Кнопфмахер, Джон (1990) [1975]. Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.). Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-66344-2. Збл  0743.11002.

• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Graduate Texts in Mathematics. Том 164. Springer-Verlag. Раздел A.7. ISBN 0-387-94656-X. Збл  0859.11002..

• Никол, CA (1962). «Некоторые формулы, включающие суммы Рамануджана». Can. J. Math . 14 : 284–286. doi : 10.4153/CJM-1962-019-8 .

• Рамануджан, Шриниваса (1918). «О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях в теории чисел». Труды Кембриджского философского общества . 22 (15): 259–276.(стр. 179–199 его Собрания трудов )

• Рамануджан, Шриниваса (1916). «О некоторых арифметических функциях». Труды Кембриджского философского общества . 22 (9): 159–184.(стр. 136–163 его Собрания трудов )

• Рамануджан, Шриниваса (2000). Сборник статей . Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2076-6.

• Шварц, Вольфганг; Шпилькер, Юрген (1994). Арифметические функции. Введение в элементарные и аналитические свойства арифметических функций и в некоторые их почти периодические свойства . Серия лекций Лондонского математического общества. Том 184. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42725-8. Збл  0807.11001.

Внешние ссылки

• Тот, Ласло (2011). «Суммы произведений сумм Рамануджана». Анналы университета Феррары . 58 : 183–197. arXiv : 1104.1906 . дои : 10.1007/s11565-011-0143-3. S2CID  119134250.