Математический ряд
В математике рядом Дирихле называется любой ряд вида
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
sкомплекснымпоследовательностьюобщего ряда Дирихле![{\displaystyle a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ряды Дирихле играют множество важных ролей в аналитической теории чисел . Наиболее часто встречающееся определение дзета-функции Римана представляет собой ряд Дирихле, как и L-функции Дирихле . Высказано предположение, что класс рядов Сельберга подчиняется обобщенной гипотезе Римана . Сериал назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле .
Комбинаторное значение
Ряды Дирихле можно использовать как порождающие ряды для подсчета взвешенных наборов объектов относительно веса, который мультипликативно объединяется при декартовых произведениях.
Предположим, что A — это множество, в котором функция w : A → N присваивает вес каждому элементу A , и предположим, что слой над любым натуральным числом под этим весом является конечным множеством. (Мы называем такое расположение ( A , w ) взвешенным множеством.) Предположим дополнительно, что n — это количество элементов A с весом n . Затем мы определяем формальный производящий ряд Дирихле для A относительно w следующим образом:
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\ sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что если A и B являются непересекающимися подмножествами некоторого взвешенного множества ( U , w ), то ряд Дирихле для их (дизъюнктного) объединения равен сумме их рядов Дирихле:
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D} }_{w}^{B}(s).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Более того, если ( A , u ) и ( B , v ) являются двумя взвешенными множествами, и мы определяем весовую функцию w : A × B → N по формуле
![{\ displaystyle w (a, b) = u (a) v (b),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех a в A и b в B мы имеем следующее разложение ряда Дирихле декартова произведения:
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D }}_{v}^{B}(s).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В конечном итоге это следует из того простого факта, что![{\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s} = (нм)^{-s}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Самый известный пример серии Дирихле.
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
аналитическое продолжение которой в (кроме простого полюса в ) является дзета-функцией Римана .![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
При условии, что f имеет действительное значение для всех натуральных чисел n , соответствующие действительные и мнимые части ряда Дирихле F имеют известные формулы, в которых мы пишем : ![{\displaystyle s\equiv \sigma +it}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{ n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~} {n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рассматривая их пока как формальные ряды Дирихле, чтобы иметь возможность игнорировать вопросы сходимости, обратите внимание, что мы имеем:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\ text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{ p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}( s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s} }}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^ {n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
поскольку каждое натуральное число имеет уникальное мультипликативное разложение на степени простых чисел. Именно этот кусочек комбинаторики лег в основу формулы произведения Эйлера .
Другой:
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где µ ( n ) – функция Мёбиуса . Этот и многие из следующих рядов можно получить, применив обращение Мёбиуса и свертку Дирихле к известным рядам. Например, для характера Дирихле χ ( n ) имеем
![{\displaystyle {\frac {1}{L(\chi,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{с}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где L ( χ , s ) — L-функция Дирихле .
Если арифметическая функция f имеет обратную функцию Дирихле , т.е. если существует обратная функция такая, что свертка Дирихле f с ее обратной дает мультипликативное тождество , то DGF обратной функции задается обратной величиной F : ![{\displaystyle f^{-1}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}} =\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другие личности включают в себя
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {с}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где - функция тотента ,![{\ displaystyle \ varphi (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^ {с}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где J k — функция Жордана , а
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (sa)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n ^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\ zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}( n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где σa ( n ) — функция делителя . Специализируясь на функции делителя d = σ0 , имеем
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}} \\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^ {2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1} ^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Логарифм дзета-функции определяется выражением
![{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n ^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогично, у нас есть это
![{\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s) >1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь Λ( n ) — функция фон Мангольдта . Логарифмическая производная тогда равна
![{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^ {s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти последние три являются частными случаями более общего соотношения для производных ряда Дирихле, приведенного ниже.
Учитывая функцию Лиувилля λ ( n ), имеем
![{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Еще один пример касается суммы Рамануджана :
![{\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}( м)}{n^{s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другая пара примеров включает функцию Мёбиуса и простую омега-функцию : [1]
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}\equiv \sum _ {n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n) )}}{n^{s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы имеем, что ряд Дирихле для простой дзета-функции , который является аналогом дзета- функции Римана, суммируемой только по индексам n , которые являются простыми, задается суммой по функции Мебиуса и логарифмам дзета-функции:
![{\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n }}\log\zeta (нс).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Большой табличный каталог со списком других примеров сумм, соответствующих известным представлениям рядов Дирихле, можно найти здесь.
Здесь приведены примеры DGF серии Дирихле, соответствующих аддитивным (а не мультипликативным) f для простых омега-функций и , которые соответственно подсчитывают количество различных простых делителей числа n (с кратностью или без). Например, DGF первой из этих функций выражается как произведение дзета-функции Римана и простой дзета-функции для любого комплекса s с : ![{\ displaystyle \ омега (п)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Омега (п)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1 .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если f — мультипликативная функция такая, что ее DGF F сходится абсолютно для всех , и если p — любое простое число , мы имеем, что ![{\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{ s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu ( \gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где функция Мебиуса . Еще одно уникальное тождество ряда Дирихле генерирует суммирующую функцию некоторой арифметики f , вычисляемой на входах НОД, заданной формулой ![{\displaystyle \mu (п)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{ s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s }}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
У нас также есть формула между DGF двух арифметических функций f и g , связанных инверсией Мебиуса . В частности, если , то в силу обращения Мебиуса имеем . Следовательно, если F и G являются двумя соответствующими DGF для f и g , то мы можем связать эти два DGF по формулам: ![{\ displaystyle g (n) = (f \ ast 1) (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (n) = (g \ ast \ mu) (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a, г}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Известна формула экспоненты ряда Дирихле. Если DGF некоторой арифметики f с , то DGF G выражается суммой ![{\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (1) \ neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)} {\log(n)\cdot n^{s}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – обратная функция Дирихле для f и где арифметическая производная f определяется формулой для всех натуральных чисел .![{\displaystyle f^{-1}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналитические свойства
Учитывая последовательность комплексных чисел, мы пытаемся рассмотреть значение![{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
как функция комплексной переменной s . Чтобы это имело смысл, нам нужно рассмотреть свойства сходимости приведенного выше бесконечного ряда:
Если — ограниченная последовательность комплексных чисел, то соответствующий ряд Дирихле f абсолютно сходится в открытой полуплоскости Re( s ) > 1. В общем случае, если a n = O( n k ), ряд сходится абсолютно в полуплоскости плоскость Re( s ) > k + 1.![{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если множество сумм
![{\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ограничен при n и k ≥ 0, то указанный выше бесконечный ряд сходится на открытой полуплоскости s такой , что Re( s ) > 0.
В обоих случаях f является аналитической функцией на соответствующей открытой полуплоскости.
В общем случае это абсцисса сходимости ряда Дирихле, если он сходится при и расходится при. Это аналог радиуса сходимости для рядов Дирихле для степенных рядов . Однако случай ряда Дирихле более сложен: абсолютная и равномерная сходимость могут происходить в различных полуплоскостях.![{\ displaystyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)>\sigma }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)<\sigma .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Во многих случаях аналитическая функция, связанная с рядом Дирихле, имеет аналитическое расширение на более широкую область.
Абсцисса конвергенции
Предполагать
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сходится для некоторых
- Предложение 1.
![{\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство. Обратите внимание, что:
![{\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}( n^{s-1}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и определить
![{\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
![{\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Суммируя по частям, имеем
![{\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{ s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0} }-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N -1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{ 0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0 }})\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Предложение 2. Определите
![{\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} & {\text{Если сходится}}\\0&{\text{иначе}}\end{ случаи}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Затем:
![{\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\ {A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- — абсцисса сходимости ряда Дирихле.
Доказательство. Из определения
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
так что
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s} +\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L) N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\ &={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который сходится как всегда . Следовательно, для каждого такого, что расходится, мы имеем , и это завершает доказательство.![{\displaystyle N\to \infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)>\sigma .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Предложение 3. Если сходится, то при и где он мероморфен ( не имеет полюсов на ).
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma \to 0^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство. Обратите внимание, что
![{\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и имеем суммированием по частям, ибо![{\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{ s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^ {-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace { {\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}( 1)}\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь найдите N такое, что для n > N ,![{\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{ n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _ {n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и, следовательно, для каждого существует такое, что для : [2]![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формальная серия Дирихле
Формальному ряду Дирихле над кольцом R соответствует функция a от натуральных чисел до R.
![{\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
со сложением и умножением, определяемым формулой
![{\ displaystyle D (a, s) + D (b, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } (a + b) (n) n ^ {-s} \ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
![{\ displaystyle (a + b) (n) = a (n) + b (n) \ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
представляет собой поточечную сумму и
![{\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a (k)b(n/k)\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является сверткой Дирихле a и b .
Формальный ряд Дирихле образует кольцо Ω, фактически R -алгебру, с нулевой функцией как аддитивным нулевым элементом и функцией δ , определяемой формулами δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 для n > 1 как мультипликативное тождество. Элемент этого кольца обратим, если a (1) обратим в R . Если R коммутативен, то и Ω коммутативен; если R является областью целостности , то и Ω тоже. Ненулевые мультипликативные функции образуют подгруппу группы единиц Ω.
Кольцо формальных рядов Дирихле над C изоморфно кольцу формальных степенных рядов от счетного числа переменных. [3]
Производные
Данный
![{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это можно показать
![{\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
при условии, что правая часть сходится. Для полностью мультипликативной функции ƒ( n ) и предполагая, что ряд сходится при Re( s ) > σ 0 , тогда имеем
![{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda ( п)}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сходится при Re( s ) > σ0 . Здесь Λ( n ) — функция фон Мангольдта .
Продукты
Предполагать
![{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если оба F ( s ) и G ( s ) абсолютно сходятся при s > a и s > b , то мы имеем
![{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1} ^{\infty }f(n)g(n)n^{-ab}{\text{ as }}T\sim \infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если a = b и ƒ ( n ) = g ( n ), мы имеем
![{\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{ \infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Инверсия коэффициента (интегральная формула)
Для всех положительных целых чисел функция f в точке x , может быть восстановлена из производящей функции Дирихле (DGF) F функции f (или ряда Дирихле по f ), используя следующую интегральную формулу всякий раз , когда абсцисса абсолютной сходимости DGF F [4]![{\displaystyle x\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\ сигма +ит)дт.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Также возможно инвертировать преобразование Меллина суммирующей функции f , которое определяет DGF F f , чтобы получить коэффициенты ряда Дирихле (см. раздел ниже). В этом случае мы приходим к сложной контурной интегральной формуле, связанной с теоремой Перрона. Практически говоря, скорость сходимости приведенной выше формулы как функции T является переменной, и если ряд Дирихле F чувствителен к смене знака как медленно сходящийся ряд, может потребоваться очень большое T для аппроксимации коэффициентов F с использованием этого формулу без формального предела.
Другой вариант предыдущей формулы, изложенный в книге Апостола, дает интегральную формулу для альтернативной суммы в следующей форме для и любого вещественного числа , где мы обозначаем : ![{\displaystyle c,x>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Re (s):=\sigma }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}} = {\frac {1}{2\pi i}} \int _{ci\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интегральные и рядовые преобразования
Обратное преобразование Меллина ряда Дирихле, разделенного на s, определяется формулой Перрона . Кроме того, если – (формальная) обычная производящая функция последовательности , то интегральное представление ряда Дирихле последовательности производящих функций дается формулой [5]![{\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s -1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другой класс связанных преобразований производящей функции на основе производной и рядной функции обычной производящей функции последовательности, которая эффективно производит левостороннее разложение в предыдущем уравнении, соответственно определен в [6] [7]
Связь со степенным рядом
Последовательность a n , порожденная производящей функцией ряда Дирихле, соответствующей:
![{\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где ζ ( s ) — дзета-функция Римана , имеет обычную производящую функцию:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a }+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{ a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _ {a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x ^{abcd}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с суммирующей функцией арифметической функции через преобразования Меллина
Если f является арифметической функцией с соответствующим DGF F и суммирующая функция f определяется формулой
![{\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{ случаи}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тогда мы можем выразить F через преобразование Меллина суммирующей функции при . А именно, у нас есть это ![{\displaystyle -s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s )>\sigma _{a,f}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для и любых натуральных чисел у нас также есть приближение к DGF F f , заданное выражением ![{\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s} - {\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s \cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Формулы для обеих серий приведены в разделе 27.4 Справочника NIST по математическим функциям.
- ^ Харди, GH ; Рисс, М. (1915). Общая теория рядов Дирихле. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 18. Издательство Кембриджского университета.
- ^ Кэшвелл, Эд; Эверетт, CJ (1959). «Кольцо теоретико-числовых функций». Пасифик Дж. Математика . 9 (4): 975–985. дои : 10.2140/pjm.1959.9.975 . ISSN 0030-8730. МР 0108510. Збл 0092.04602.
- ^ Раздел 11.11 книги Апостола доказывает эту формулу.
- ^ Борвейн, Дэвид; Борвейн, Джонатан М.; Гиргенсон, Роланд (1995). «Явное вычисление сумм Эйлера». Труды Эдинбургского математического общества. Серия II . 38 (2): 277–294. дои : 10.1017/S0013091500019088. hdl : 1959.13/1043647 .
- ^ Шмидт, доктор медицины (2017). «Преобразования производящих функций дзета-ряда, связанные с полилогарифмическими функциями и гармоническими числами k-порядка» (PDF) . Интернет-журнал аналитической комбинаторики (12).
- ^ Шмидт, доктор медицины (2016). «Преобразования производящей функции дзета-ряда, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [math.CO].
- Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР 0434929, Збл 0335.10001
- Харди, штат Джорджия ; Рисс, Марсель (1915). Общая теория рядов Дирихле . Кембриджские трактаты по математике. Том. 18. Издательство Кембриджского университета.
- Общая теория рядов Дирихле Г.Х. Харди. Монографии по исторической математике библиотеки Корнельского университета. {Перепечатано} Цифровые коллекции библиотеки Корнелльского университета
- Гулд, Генри В.; Шонхива, Темба (2008). «Каталог интересных серий Дирихле». Мисс Дж. Математика. Наука . 20 (1). Архивировано из оригинала 2 октября 2011 г.
- Матар, Ричард Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле мультипликативных арифметических функций». arXiv : 1106.4038 [math.NT].
- Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 46. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7. Збл 0831.11001.
- «Серия Дирихле». ПланетаМатематика .