Сфера холма

Область, в которой астрономическое тело доминирует по притяжению спутников

В разрезе/виде сбоку — двухмерное представление трехмерной концепции сферы Хилла, здесь показан «гравитационный колодец» Земли (гравитационный потенциал Земли, синяя линия), то же самое для Луны (красная линия) и их совокупный потенциал (черная толстая линия). Точка P — это свободное от сил место, где гравитационные силы Земли и Луны компенсируются. Размеры Земли и Луны пропорциональны, но расстояния и энергии не в масштабе.

Сфера Хилла — распространенная модель для расчета гравитационной сферы влияния . Это наиболее часто используемая модель для расчета пространственной степени гравитационного влияния астрономического тела ( m ), в которой оно доминирует над гравитационным влиянием других тел, особенно основного ( M ). ^[1] Иногда его путают с другими моделями гравитационного воздействия, такими как сфера Лапласа ^[1] или сфера Роша , причем последняя вызывает путаницу с пределом Роша . ^{[2] [3]} Он был определен американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работы французского астронома Эдуарда Роша . ^{[ не проверено в теле ]}

Чтобы удержаться более гравитационно притягивающим астрофизическим объектом — планетой — более массивной звездой, луной — более массивной планетой, — менее массивное тело должно иметь орбиту , находящуюся в пределах гравитационного потенциала, представленного сферой Хилла более массивного тела. ^{[ не проверено в теле ]} Эта луна, в свою очередь, будет иметь собственную сферу Хилла, и любой объект на этом расстоянии будет иметь тенденцию становиться спутником луны, а не самой планеты. ^{[ не проверено в теле ]}

Контурный график эффективного гравитационного потенциала системы двух тел, здесь Солнца и Земли, с указанием пяти точек Лагранжа . ^{[ нужны разъяснения ] [ нужна ссылка ]}

Одним из простых представлений о размерах Солнечной системы является то, что она ограничена сферой Хилла Солнца ( порожденной взаимодействием Солнца с ядром галактики или другими более массивными звездами). ^{[4] [ необходима проверка ]} Более сложным примером является тот, что справа, сфера холма Земли, которая простирается между точками Лагранжа L 1 и L 2 , ^{[ необходимы разъяснения ]} , которые лежат вдоль линии центров Земли и более массивное Солнце. ^{[ не проверено в теле ]} Гравитационное влияние менее массивного тела минимально в этом направлении, и поэтому оно действует как ограничивающий фактор для размера сферы Хилла; ^{[ необходимы разъяснения ]} за пределами этого расстояния третий объект на орбите вокруг Земли проведет по крайней мере часть своей орбиты за пределами сферы Хилла и будет постепенно возмущаться приливными силами более массивного тела, Солнца, и в конечном итоге окажется вращаясь вокруг последнего. ^{[ не проверено в теле ]}

Для двух массивных тел с гравитационными потенциалами и любой заданной энергии взаимодействующего с ними третьего объекта пренебрежимо малой массы можно определить в пространстве поверхность с нулевой скоростью , которую невозможно преодолеть, — контур интеграла Якоби . ^{[ не проверено в теле ]} Когда энергия объекта низкая, поверхность с нулевой скоростью полностью окружает менее массивное тело (этой ограниченной системы трех тел ), что означает, что третий объект не может убежать; при более высокой энергии будет один или несколько пробелов или узких мест, через которые третий объект сможет покинуть менее массивное тело и выйти на орбиту вокруг более массивного. ^{[ не проверено в теле ]} Если энергия находится на границе между этими двумя случаями, то третий объект не может убежать, но ограничивающая его поверхность с нулевой скоростью касается большей поверхности с нулевой скоростью вокруг менее массивного тела ^{[ необходима проверка ]} в одна из близлежащих точек Лагранжа, образующая там конусообразную точку. ^{[ необходимы разъяснения ] [ не проверено в теле ]} На противоположной стороне менее массивного тела поверхность с нулевой скоростью приближается к другой точке Лагранжа. ^{[ не проверено в теле ]} Эта ограничивающая поверхность с нулевой скоростью вокруг менее массивного тела является его «сферой» Хилла. ^{[ по мнению кого? ] [ оригинальное исследование? ]}

Определение

Радиус или сфера Хилла (последний определяется первым радиусом ^{[ нужна ссылка ]} ) описывается как «область вокруг планетарного тела, где его собственная гравитация (по сравнению с гравитацией Солнца или других близлежащих тел) является доминирующей силой в привлечение спутников», как естественных, так и искусственных. ^{[5] [ нужен лучший источник ]}

По описанию де Патера и Лиссауэра, все тела в такой системе, как Солнечная система Солнца, «ощущают гравитационную силу друг друга», и хотя движения всего лишь двух гравитационно взаимодействующих тел, составляющие «проблему двух тел», «полностью интегрируемый ([значение] ... существует один независимый интеграл или ограничение на степень свободы)» и, следовательно, точное аналитическое решение, взаимодействия трех ( или более) таких тел «не могут быть выведены аналитически», требуя вместо этого решения путем численного интегрирования, если это возможно. ^{[6] : стр.26} Это так, если только незначительная масса одного из трех тел не позволяет аппроксимировать систему как задачу двух тел, формально известную как «ограниченная задача трех тел». ^{[6] : стр. 26}

Для таких задач двух или ограниченных трех тел, как их простейшие примеры — например, еще одно массивное первичное астрофизическое тело, масса m1, и менее массивное вторичное тело, масса m2 — концепция радиуса или сферы Хилла имеет самое важное значение. приблизительный предел «гравитационного доминирования» вторичной массы, ^[6] предел, определяемый «протяженностью» ее сферы Хилла, которая математически представляется следующим образом: ^{[6] : стр.29  [7]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}}$,

где в этом представлении большую ось «а» можно понимать как «мгновенное гелиоцентрическое расстояние» между двумя массами (в других местах сокращенно r p ). ^{[6] : стр. 29  [7]}

В более общем смысле, если менее массивное тело вращается вокруг более массивного тела (m1, например, как планета, вращающаяся вокруг Солнца) и имеет большую полуось и эксцентриситет , то радиус или сфера Хилла менее массивное тело, рассчитанное по перицентру , составляет примерно: ^{[8] [ нужен неосновной источник ] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle m2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}.}$

Когда эксцентриситет пренебрежимо мал (наиболее благоприятный случай для устойчивости орбиты), это выражение сводится к приведенному выше. ^{[ нужна цитата ]}

Пример и вывод

Схематическое изображение сфер Хилла (как двумерных радиусов) и пределов Роша каждого тела системы Солнце-Земля-Луна не в масштабе . Фактический радиус Хилла для пары Земля-Луна составляет порядка 60 000 км (т. е. занимает менее одной шестой расстояния в 378 000 км между Луной и Землей). ^[9]

В примере Земля-Солнце Земля (5,97 × 10 ²⁴  кг ) вращается вокруг Солнца (1,99 × 10 ³⁰  кг ) на расстоянии 149,6 млн км, или одна астрономическая единица (а.е.). Таким образом, сфера Хилла Земли простирается примерно на 1,5 миллиона км (0,01 а.е.). Орбита Луны, находящаяся на расстоянии 0,384 миллиона км от Земли, удобно находится в гравитационной сфере влияния Земли, и поэтому ей не грозит риск быть вытянутой на независимую орбиту вокруг Солнца.

Предыдущую формулу игнорирования эксцентриситета можно переформулировать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m2}{M}}}$, или , ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m2}{M}}}$

где М — сумма взаимодействующих масс.

Вывод

Выражение для радиуса Хилла можно найти, приравнивая гравитационную и центробежную силы, действующие на пробную частицу (с массой намного меньше ), вращающуюся вокруг вторичного тела. Предположим, что расстояние между массами и равно , и что пробная частица вращается на расстоянии от вторичной. Когда пробная частица находится на линии, соединяющей первичное и вторичное тела, баланс сил требует, чтобы ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

где гравитационная постоянная и ( кеплеровская ) угловая скорость вторичной обмотки относительно первичной (при условии, что ). Приведенное выше уравнение также можно записать как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$ ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

который посредством биномиального разложения до ведущего порядка в можно записать как ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

Следовательно, указанное выше соотношение

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Если орбита вторичного компонента вокруг первичного эллиптическая, радиус Хилла максимален в апоцентре , где он самый большой, и минимален в перицентре орбиты. Следовательно, в целях стабильности пробных частиц (например, небольших спутников) необходимо учитывать радиус Хилла на расстоянии перицентра. ${\displaystyle r}$

В ведущем порядке радиус Хилла выше также представляет собой расстояние точки Лагранжа L ₁ от вторичной точки. ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

Регионы стабильности

Сфера Хилла является лишь приближением, и другие силы (такие как давление излучения или эффект Ярковского ) могут в конечном итоге вывести объект из сферы. ^{[ нужна цитата ]} Как уже говорилось, спутник (третья масса) должен быть достаточно мал, чтобы его гравитация вносила незначительный вклад. ^{[6] : стр. 26 и далее.}

Подробные численные расчеты показывают, что орбиты на сфере Хилла или внутри нее не стабильны в долгосрочной перспективе; оказывается, что стабильные спутниковые орбиты существуют только в пределах от 1/2 до 1/3 радиуса Хилла. ^{[ нужна цитата ]}

Область устойчивости ретроградных орбит на большом расстоянии от главной звезды больше, чем область устойчивости прямых орбит на большом расстоянии от главной звезды. Считалось, что этим объясняется преобладание ретроградных спутников вокруг Юпитера; однако у Сатурна более равномерное сочетание ретроградных и поступательных лун, поэтому причины более сложны. ^[10]

Дальнейшие примеры

Сфера Хилла может быть настолько маленькой, что невозможно поддерживать орбиту вокруг тела. Например, астронавт не мог бы выйти на орбиту 104- тонного космического корабля "Шаттл" на орбите на высоте 300 км над Землей, потому что 104-тонный объект на этой высоте имеет сферу Хилла радиусом всего 120 см, что намного меньше, чем у космического корабля "Шаттл". Сфера такого размера и массы будет плотнее свинца , и действительно, на низкой околоземной орбите сферическое тело должно быть более плотным, чем свинец, чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла, иначе оно будет неспособно поддерживать орбиту. . Однако спутникам, находящимся дальше на геостационарной орбите , потребуется всего лишь более 6% плотности воды, чтобы поместиться внутри их собственной сферы Хилла. ^{[ нужна цитата ]}

В Солнечной системе планетой с самым большим радиусом холма является Нептун , его длина составляет 116 миллионов километров, или 0,775 а.е.; его большое расстояние от Солнца вполне компенсирует его небольшую массу по сравнению с Юпитером (радиус собственного холма которого составляет 53 миллиона км). Астероид из пояса астероидов будет иметь сферу Хилла, которая может достигать 220 000 км (для 1 Цереры ), быстро уменьшаясь с уменьшением массы. Сфера Хилла 66391 Мошуп , астероида, пересекающего Меркурий и имеющего спутник (названный Скваннит), имеет радиус 22 км. ^[11]

Типичный внесолнечный « горячий Юпитер », HD 209458 b , ^[12] имеет радиус сферы Хилла 593 000 км, что примерно в восемь раз превышает его физический радиус, составляющий примерно 71 000 км. Даже самая маленькая внесолнечная планета, CoRoT-7b , ^[13] по-прежнему имеет радиус сферы Хилла (61 000 км), что в шесть раз превышает физический радиус (около 10 000 км). Следовательно, у этих планет могут быть небольшие спутники поблизости, хотя и за пределами их соответствующих пределов Роша . ^{[ нужна цитата ]}

Сферы холмов для Солнечной системы

В следующей таблице и логарифмическом графике показаны радиусы сфер Хилла некоторых тел Солнечной системы, рассчитанные по первой формуле, указанной выше (включая эксцентриситет орбиты), с использованием значений, полученных из эфемерид JPL DE405 и с веб-сайта NASA Solar System Exploration. ^[14]

Логарифмический график радиусов Хилла (в км) для тел Солнечной системы

Смотрите также

• Межпланетная транспортная сеть
• проблема с телом
• доля Роша
• Сфера влияния (астродинамика)
• Сфера влияния (черная дыра)

Заметки с пояснениями

1. На среднем расстоянии, если смотреть с Солнца. Угловой размер , если смотреть с Земли, варьируется в зависимости от близости Земли к объекту.

Рекомендации

1. Суами, Д.; Крессон, Дж.; Бернацкий, К.; Пьере, Ф. (2020). «О локальных и глобальных свойствах гравитационных сфер влияния». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 496 (4): 4287–4297. arXiv : 2005.13059 . doi : 10.1093/mnras/staa1520.
2. Уильямс, Мэтт (30 декабря 2015 г.). «Сколько лун у Меркурия?». Вселенная сегодня . Проверено 8 ноября 2023 г.
3. Хилл, Родерик Дж. (2022). «Гравитационная очистка естественных спутниковых орбит». Публикации Астрономического общества Австралии . 39 . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2022PASA...39....6H. дои : 10.1017/pasa.2021.62. ISSN  1323-3580. S2CID  246637375.
4. Чеботарев, Г.А. (март 1965 г.). «О динамических пределах Солнечной системы». Советская астрономия . 8 : 787. Бибкод :1965СвА.....8..787С.
5. Лауретта, Данте и сотрудники миссии по возвращению образцов астероида Осирис-Рекс (2023). «Слово недели: Сфера холмов». Миссия по возвращению образцов астероида Осирис-Рекс (AsteroidMission.org) . Темпе, Аризона: Университет Аризоны . Проверено 22 июля 2023 г.
6. де Патер, Имке и Лиссауэр, Джек (2015). «Динамика (задача трех тел, возмущения и резонансы)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 26, 28–30, 34. ISBN. 9781316195697. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Хигучи1, А. и Ида, С. (апрель 2017 г.). «Временный захват астероидов эксцентричной планетой». Астрономический журнал . 153 (4). Вашингтон, округ Колумбия: Американское астрономическое общество: 155. arXiv : 1702.07352 . Бибкод : 2017AJ....153..155H. дои : 10.3847/1538-3881/aa5daa . S2CID  119036212.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
8. Гамильтон, Д.П. и Бернс, Дж.А. (март 1992 г.). «Зоны орбитальной стабильности астероидов: II. Дестабилизирующее воздействие эксцентрических орбит и солнечной радиации». Икар . 96 (1). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press: 43–64. Бибкод : 1992Icar...96...43H. дои : 10.1016/0019-1035(92)90005-Р .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)См. также Гамильтон, Д. П. и Бернс, Дж. А. (март 1991 г.). «Зоны орбитальной стабильности астероидов» (PDF) . Икар . 92 (1). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press: 118–131. Бибкод : 1991Icar...92..118H. дои : 10.1016/0019-1035(91)90039-V . Проверено 22 июля 2023 г.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)цитируется там.
9. Далее, Майк (4 октября 2017 г.). «Всегда уменьшающиеся круги». NewScientist.com . Проверено 23 июля 2023 г. Сфера Луны Хилл имеет радиус 60 000 километров, что составляет примерно одну шестую расстояния между ней и Землей.
10. Астахов, Сергей А.; Бербанкс, Эндрю Д.; Виггинс, Стивен и Фаррелли, Дэвид (2003). «Захват неправильных лун с помощью хаоса». Природа . 423 (6937): 264–267. Бибкод : 2003Natur.423..264A. дои : 10.1038/nature01622. PMID  12748635. S2CID  16382419.
11. Джонстон, Роберт (20 октября 2019 г.). «(66391) Мошуп и Скваннит». Архив Джонстона . Проверено 30 марта 2017 г.
12. "HD 209458 б" . Энциклопедия внесолнечных планет . Архивировано из оригинала 16 января 2010 г. Проверено 16 февраля 2010 г.
13. "Планета CoRoT-7 b" . Энциклопедия внесолнечных планет . 2024.
14. «Исследование Солнечной системы НАСА». НАСА . Проверено 22 декабря 2020 г.

дальнейшее чтение

• де Патер, Имке и Лиссауэр, Джек (2015). «Динамика (задача трех тел, возмущения и резонансы)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 28–30, 34. ISBN. 9781316195697. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• де Патер, Имке и Лиссауэр, Джек (2015). «Планетообразование (Образование планет-гигантов, спутников планет и малых планет)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 539, 544. ISBN. 9781316195697. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Гурзадян, Григор А. (2020). «Сфера притяжения, сфера действия и сфера Хилла». Теория межпланетных полетов. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 258–263. ISBN 9781000116717. Проверено 22 июля 2023 г.
• Гурзадян, Григор А. (2020). «Предел Роша». Теория межпланетных полетов. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 263ф. ISBN 9781000116717. Проверено 22 июля 2023 г.
• Ида, С.; Кокубо Э. и Такеда Т. (2012). «Моделирование аккреции Луны N-телами». В Марове Михаил Я. И Рикман, Ганс (ред.). Столкновительные процессы в Солнечной системе. Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. стр. 206, 209 и далее. ISBN 9789401007122. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• ИП, В.-Х. и Фернандес, Дж. А. (2012). «Аккреционное происхождение гигантских планеров и его последствия». В Марове Михаил Я. И Рикман, Ганс (ред.). Столкновительные процессы в Солнечной системе. Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. стр. 173f. ISBN 9789401007122. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ашер, диджей; Бейли, ME & Steel (2012). «Роль негравитационных сил в отделении орбит от Юпитера». В Марове Михаил Я. И Рикман, Ганс (ред.). Столкновительные процессы в Солнечной системе. Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. п. 122. ИСБН 9789401007122. Проверено 22 июля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Может ли астронавт выйти на орбиту космического корабля?
• Луна, которая поднялась на холм, но спустилась с планеты. Архивировано 30 сентября 2008 г. в Wayback Machine.