Схема Хита – Джарроу – Мортона

Модель Хита-Джарроу-Мортона ( HJM ) представляет собой общую структуру для моделирования эволюции кривых процентных ставок , в частности кривых мгновенных форвардных ставок ( в отличие от простых форвардных ставок ). Когда предполагается, что волатильность и дрейф мгновенного форвардного курса являются детерминированными , это известно как модель форвардных ставок Гаусса Хита – Джарроу – Мортона (HJM) . ^{[1] : 394} Примером прямого моделирования простых форвардных ставок является модель Брейса-Гатарека-Мусиелы .

Концепция HJM берет свое начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов, особенно в отношении ценообразования на облигации и временной структуры процентных ставок: новая методология (1987) – рабочий документ, Корнельский университет и Фонд облигаций. ценообразование и временная структура процентных ставок: новая методология (1989 г.) - рабочий документ (переработанная ред.), Корнельский университет. Однако у него есть свои критики: Пол Уилмотт описал его как «... на самом деле просто большой ковер, под которым [ошибки] нужно сметать». ^{[2] [3]}

Рамки

Ключом к этим методам является признание того, что дрейфы безарбитражной эволюции определенных переменных могут быть выражены как функции их волатильности и корреляций между собой. Другими словами, оценка дрейфа не требуется.

Модели, разработанные в соответствии с структурой HJM, отличаются от так называемых моделей с короткими процентными ставками в том смысле, что модели типа HJM отражают полную динамику всей кривой форвардного курса , в то время как модели с короткими процентными ставками отражают только динамику точки. на кривой (короткая ставка).

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими и могут даже иметь бесконечные измерения. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных курсов удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает ее вычислительно осуществимой. Примеры включают однофакторную модель с двумя состояниями (О. Чейетт, «Динамика временной структуры и оценка ипотеки», Журнал фиксированного дохода, 1, 1992; П. Ричкен и Л. Санкарасубраманиан в «Структуры волатильности форвардных ставок и динамика»). временной структуры», Mathematical Finance , 5, № 1, январь 1995 г.), а также более поздние многофакторные версии.

Математическая формулировка

Класс моделей, разработанный Хитом, Джарроу и Мортоном (1992), основан на моделировании форвардных ставок.

Модель начинается с введения мгновенной форвардной ставки , которая определяется как непрерывная процентная ставка, доступная в данный момент, как видно из времени . Связь между ценами облигаций и форвардной ставкой также определяется следующим образом: ${\displaystyle \textstyle f(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t\leq T}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}$

Вот цена на момент погашения облигации с нулевым купоном, выплачивающей 1 доллар при погашении . Безрисковый счет денежного рынка также определяется как ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t}$ ${\displaystyle \textstyle T\geq t}$

${\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}$

Это последнее уравнение позволяет нам определить безрисковую короткую ставку. Модель HJM предполагает, что динамика цен, нейтральных к риску, следующая: ${\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)}$ ${\displaystyle \textstyle f(t,s)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}}$

Где – двумерный винеровский процесс и – адаптированные процессы . Теперь, основываясь на этой динамике для , мы попытаемся найти динамику для и найти условия, которые должны быть выполнены в соответствии с нейтральными к риску правилами ценообразования. Давайте определим следующий процесс: ${\displaystyle \textstyle W_{t}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mu (u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle P(t,s)}$

${\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du}$

Динамику можно получить с помощью правила Лейбница : ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}}$

Если мы определим и предположим, что условия теоремы Фубини выполняются в формуле динамики , мы получим: ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

По лемме Ито динамика тогда такова: ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$

${\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Но согласно мерам ценообразования, это должен быть мартингейл , поэтому мы требуем этого . Дифференцируя это по отношению к, получаем: ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}}$ ${\displaystyle \textstyle s}$

${\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds}$

Что в конечном итоге говорит нам о том, что динамика должна иметь следующий вид: ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}}$

Это позволяет нам оценивать облигации и процентные деривативы на основе нашего выбора . ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Смотрите также

• Модель Черный–Дерман–Той
• Модель Брейса – Гатарека – Мусиелы
• Модель Чена
• Модель Чейетт
• Модель Хо – Ли
• Модель Халла – Уайта

Рекомендации

Примечания

1. М. Мусиела, М. Рутковски: Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
2. План одного фаната математики по реформированию Уолл-стрит, Newsweek, май 2009 г.
3. Ньюсуик 2009 г.

Источники

• Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1990). Цены на облигации и временная структура процентных ставок: приближение дискретного времени. Журнал финансового и количественного анализа , 25:419-440.
• Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1991). Оценка условных требований со случайной эволюцией процентных ставок. Архивировано 28 апреля 2017 г. в Wayback Machine . Обзор фьючерсных рынков , 9:54-76.
• Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1992). Цены на облигации и временная структура процентных ставок: новая методология оценки условных требований. Эконометрика , 60(1):77-105. дои : 10.2307/2951677
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.). Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 0-8047-4438-6 

дальнейшее чтение

• Некустовые деревья для гауссовских HJM и логнормальных прямых моделей, профессор Алан Брейс, Сиднейский технологический университет
• Модель временной структуры Хита-Джарроу-Мортона. Архивировано 23 сентября 2015 г. в Wayback Machine , Бизнес-колледж профессора Дона Ченса Э. Дж. Урсо , Университет штата Луизиана.
• Рекомбинация деревьев для одномерных моделей прямой скорости, Дариуш Гатарек, Wyższa Szkoła Biznesu – National-Louis University и Ярослав Колаковский
• Реализация безарбитражной временной структуры моделей процентных ставок в дискретное время, когда процентные ставки нормально распределены, Дуайт М. Грант и Гаутам Вора. Журнал фиксированного дохода, март 1999 г., Vol. 8, № 4: стр. 85–98.
• Модель Хита – Джарроу – Мортона и ее применение, Владимир Поздыняков, Пенсильванский университет.
• Эмпирическое исследование свойств сходимости нерекомбинирующего дерева форвардных ставок HJM в ценообразовании производных процентных ставок, А. Р. Радхакришнан, Нью-Йоркский университет
• Моделирование процентных ставок с Хитом, Джарроу и Мортоном. Д-р Дональд ван Девентер, Kamakura Corporation :
  • С одним фактором и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 9 августа 2020 г. на Wayback Machine.
  • С одним фактором, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine.
  • С двумя факторами, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine.
  • С тремя факторами, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 20 сентября 2020 г. на Wayback Machine.