кривая Тейта

В математике кривая Тейта — это кривая, определённая над кольцом формальных степенных рядов с целыми коэффициентами. Над открытой подсхемой, где q обратим, кривая Тейта является эллиптической кривой . Кривая Тейта может быть также определена для q как элемента полного поля нормы, меньшей 1, в этом случае формальные степенные ряды сходятся. ${\displaystyle \mathbb {Z} [[q]]}$

Кривая Тейта была введена Джоном Тейтом  (1995) в рукописи 1959 года, первоначально озаглавленной «Рациональные точки на эллиптических кривых над полными полями»; он опубликовал свои результаты лишь много лет спустя, и его работа впервые появилась в Roquette (1970).

Определение

Кривая Тейта — это проективная плоская кривая над кольцом Z [[ q ]] формальных степенных рядов с целыми коэффициентами, заданными (в аффинном открытом подмножестве проективной плоскости) уравнением

${\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

где

${\displaystyle -a_{4}=5\sum _{n}{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots }$

${\displaystyle -a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}}\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots }$

являются степенными рядами с целыми коэффициентами. ^[1]

Кривая Тейта над полным полем

Предположим, что поле k полно относительно некоторого абсолютного значения | |, и q является ненулевым элементом поля k с | q |<1. Тогда все приведенные выше ряды сходятся и определяют эллиптическую кривую над k . Если вдобавок q не равно нулю, то существует изоморфизм групп из k ^* / q ^Z в эту эллиптическую кривую, переводящий w в ( x ( w ), y ( w )) для w, не являющегося степенью q , где

${\displaystyle x(w)=-y(w)-y(w^{-1})}$

${\displaystyle y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z} }{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}}$

и взятие степеней q в бесконечной точке эллиптической кривой. Ряды x ( w ) и y ( w ) не являются формальными степенными рядами по w .

Наглядный пример

В случае кривой над полным полем, , наиболее простой случай для визуализации — , где — дискретная подгруппа, порожденная одним мультипликативным периодом , где период . Обратите внимание, что изоморфно , где — комплексные числа при сложении. ${\displaystyle k^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle q^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {(\mathbb {C} ,+)}/(\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$

Чтобы увидеть, почему кривая Тейта морально соответствует тору, когда поле есть C с обычной нормой, уже является однократно периодической; модифицируя по интегральным степеням q, вы модифицируете по , что является тором. Другими словами, у нас есть кольцо, и мы склеиваем внутренние и внешние края. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Но кольцо не соответствует окружности без точки: кольцо — это множество комплексных чисел между двумя последовательными степенями q; скажем, все комплексные числа с величиной от 1 до q. Это дает нам две окружности, т. е. внутренний и внешний края кольца.

Представленное здесь изображение тора представляет собой набор инкрустированных окружностей, которые становятся все уже и уже по мере приближения к началу координат.

Это немного отличается от обычного метода, когда сначала берется плоский лист бумаги , и склеиваются его стороны, чтобы получился цилиндр , а затем склеиваются края цилиндра, чтобы получился тор . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} ^{2}}$

Это немного упрощено. Кривая Тейта на самом деле является кривой над формальным кольцом степенного ряда, а не кривой над C. Интуитивно это семейство кривых, зависящих от формального параметра. Когда этот формальный параметр равен нулю, он вырождается в защемленный тор, а когда он не равен нулю, он становится тором).

Характеристики

j-инвариант кривой Тейта задается степенным рядом по q со старшим членом q ⁻¹ . ^[2] Над p -адическим локальным полем , следовательно, j не является целым, и кривая Тейта имеет полустабильную редукцию мультипликативного типа. Обратно, каждая полустабильная эллиптическая кривая над локальным полем изоморфна кривой Тейта (с точностью до квадратичного поворота ). ^[3]

Ссылки

1. Манин и Панчишкин (2007) стр.220
2. Сильверман (1994) стр.423
3. Манин и Панчискин (2007) стр.300

• Ланг, Серж (1987), Эллиптические функции , Graduate Texts in Mathematics, т. 112 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4752-4, ISBN 978-0-387-96508-6, MR  0890960, Zbl  0615.14018
• Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
• Роберт, Ален (1973), Эллиптические кривые , Lecture Notes in Mathematics, т. 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-46916-2, ISBN 978-3-540-06309-4, MR  0352107, Zbl  0256.14013
• Рокетт, Питер (1970), Аналитическая теория эллиптических функций над локальными полями, Hamburger Mathematische Einzelschriften (NF), Heft 1, Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013, MR  0260753, Zbl  0194.52002
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Продвинутые темы арифметики эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Збл  0911.14015.
• Тейт, Джон (1995) [1959], «Обзор неархимедовых эллиптических функций», в Коутс, Джон; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993) , Серии по теории чисел, т. I, Int. Press, Кембридж, Массачусетс, стр. 162–184, CiteSeerX  10.1.1.367.7205 , ISBN 978-1-57146-026-4, МР  1363501