Телеграфный процесс

Непрерывный во времени стохастический процесс без памяти, показывающий два различных значения

В теории вероятностей телеграфный процесс — это стохастический процесс без памяти , непрерывный во времени , который показывает два различных значения. Он моделирует импульсный шум (также называемый попкорновым шумом или случайным телеграфным сигналом). Если два возможных значения, которые может принимать случайная величина, — это и , то процесс можно описать следующими основными уравнениями : ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

и

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).}$

где — скорость перехода из состояния в состояние , а — скорость перехода из состояния в состояние . Этот процесс также известен под названиями процесс Каца (в честь математика Марка Каца ), ^[1] и дихотомический случайный процесс . ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Решение

Основное уравнение компактно записывается в матричной форме путем введения вектора , ${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

где

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

— матрица скорости перехода . Формальное решение строится из начального условия (определяющего, что при , состояние равно ) по ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

Можно показать, что ^[3]

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

где — единичная матрица, а — средняя скорость перехода. При , решение приближается к стационарному распределению, заданному формулой ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

Характеристики

Знание начального состояния убывает экспоненциально . Поэтому за время процесс достигнет следующих стационарных значений, обозначенных индексом s : ${\displaystyle t\gg (2\lambda )^{-1}}$

Иметь в виду:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Дисперсия:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

Можно также рассчитать корреляционную функцию :

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

Приложение

Этот случайный процесс находит широкое применение в построении моделей:

• В физике спиновые системы и флуоресцентная прерывистость демонстрируют дихотомические свойства. Но особенно в экспериментах с отдельными молекулами используются распределения вероятностей с алгебраическими хвостами вместо экспоненциального распределения, подразумеваемого во всех приведенных выше формулах.
• В финансах для описания цен на акции ^[1]
• В биологии для описания связывания и рассоединения факторов транскрипции .

Смотрите также

• цепь Маркова
• Список тем стохастических процессов
• Случайный телеграфный сигнал

Ссылки

1. Бондаренко, Ю. В. (2000). «Вероятностная модель описания эволюции финансовых показателей». Кибернетика и системный анализ . 36 (5): 738–742. doi :10.1023/A:1009437108439. S2CID  115293176.
2. Марголин, Г.; Баркай, Э. (2006). «Неэргодичность временного ряда, подчиняющегося статистике Леви». Журнал статистической физики . 122 (1): 137–167. arXiv : cond-mat/0504454 . Bibcode :2006JSP...122..137M. doi :10.1007/s10955-005-8076-9. S2CID  53625405.
3. Балакришнан, В. (2020). Математическая физика: приложения и проблемы. Springer International Publishing. С. 474.