Тензорное произведение гильбертовых пространств

Пространство тензорного продукта, наделенное специальным внутренним продуктом

В математике и, в частности, в функциональном анализе , тензорное произведение гильбертовых пространств — это способ расширить конструкцию тензорного произведения так, чтобы результатом взятия тензорного произведения двух гильбертовых пространств было другое гильбертово пространство. Грубо говоря, тензорное произведение — это пополнение обычного тензорного произведения в метрическом пространстве . Это пример топологического тензорного произведения . Тензорное произведение позволяет собрать гильбертово пространство в симметричную моноидальную категорию . ^[1]

Определение

Поскольку гильбертово пространство имеет внутренние произведения , хотелось бы ввести внутренний продукт и, следовательно, топологию тензорного произведения, которое естественным образом возникает из внутренних произведений на множители. Пусть и – два гильбертовых пространства со скалярными произведениями и соответственно. Постройте тензорное произведение векторных пространств и как описано в статье о тензорных произведениях . Мы можем превратить это тензорное произведение векторного пространства в пространство внутреннего продукта , определив ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

$${\displaystyle \left\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\right\rangle =\left\langle \phi _{1},\psi _{1}\right\rangle _{1}\,\left\langle \phi _{2},\psi _{2}\right\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$$

билинейных отображенийфункционаловзавершение ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Явная конструкция

Тензорное произведение также можно определить, не обращаясь к пополнению метрического пространства. Если и - два гильбертовых пространства, каждому простому тензорному произведению сопоставляется оператор ранга один из в , который отображает данное как ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}$

$${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}.}$$

Это распространяется на линейное отождествление между и пространством операторов конечного ранга от до Операторы конечного ранга вложены в гильбертово пространство операторов Гильберта – Шмидта от до Скалярное произведение в задается выражением ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}$

$${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\sum _{n}\left\langle T_{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}\right\rangle ,}$$

${\displaystyle \left(e_{n}^{*}\right)}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}.}$

При предыдущем отождествлении можно определить гильбертово тензорное произведение и которое изометрически и линейно изоморфно ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2}).}$

Универсальная собственность

Тензорное произведение Гильберта характеризуется следующим универсальным свойством (Кадисон и Рингроуз, 1997, теорема 2.6.4): ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

Теорема  .  Существует слабое отображение Гильберта–Шмидта такое, что для любого слабо отображенного Гильберта–Шмидта в гильбертово пространство существует единственный ограниченный оператор такой, что ${\displaystyle p:H_{1}\times H_{2}\to H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T:H_{1}\otimes H_{2}\to K}$ ${\displaystyle L=Tp.}$

Слабое отображение Гильберта-Шмидта определяется как билинейное отображение, для которого существует действительное число, такое что ${\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\bigl |}\left\langle L(e_{i},f_{j}),u\right\rangle {\bigr |}^{2}\leq d^{2}\,\|u\|^{2}}$$

${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle H_{2}.}$

Как и любое универсальное свойство, оно характеризует тензорное произведение H однозначно с точностью до изоморфизма. То же универсальное свойство с очевидными изменениями применимо и к тензорному произведению любого конечного числа гильбертовых пространств. По сути, это одно и то же универсальное свойство, присущее всем определениям тензорных произведений, независимо от тензорируемых пространств: это означает, что любое пространство с тензорным произведением является симметричной моноидальной категорией , а гильбертовы пространства являются частным примером этого.

Бесконечные тензорные произведения

Исторически предлагалось два разных определения тензорного произведения набора гильбертовых пространств произвольного размера. Традиционное определение фон Неймана просто принимает «очевидное» тензорное произведение: для вычисления сначала соберите все простые тензоры такой формы, что . Последний описывает пред-внутренний продукт через поляризационную идентичность , поэтому возьмите замкнутую область таких простых тензоров по модулю этого подпространства изотропии внутреннего продукта. Это определение почти никогда неотделимо отчасти потому, что в физических приложениях «большая часть» пространства описывает невозможные состояния. Современные авторы обычно используют вместо этого определение Гишарде: для вычисления сначала выберите единичный вектор в каждом гильбертовом пространстве, а затем соберите все простые тензоры вида , в которых только конечное число не является . Затем возьмем пополнение этих простых тензоров. ^{[2] [3]} ${\textstyle \{H_{n}\}_{n\in N}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle \prod _{n\in N}{\|e_{n}\|}<\infty }$ ${\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}$ ${\textstyle v_{n}\in H_{n}}$ ${\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}$ ${\textstyle e_{n}}$ ${\textstyle v_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Операторные алгебры

Пусть – алгебра фон Неймана ограниченных операторов на для Тогда тензорное произведение фон Неймана алгебр фон Неймана является сильным пополнением множества всех конечных линейных комбинаций простых тензорных произведений, где для Это в точности равно алгебре фон Неймана ограниченные операторы В отличие от гильбертовых пространств, можно брать бесконечные тензорные произведения алгебр фон Неймана и, если уж на то пошло, С*-алгебр операторов, не определяя опорные состояния. ^[3] Это одно из преимуществ «алгебраического» метода в квантовой статистической механике. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2.}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Характеристики

Если и имеют ортонормированные базисы и соответственно, то является ортонормированным базисом для. В частности, гильбертова размерность тензорного произведения равна произведению (как кардинальные числа ) гильбертовых размерностей. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\psi _{l}\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\right\}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$

Примеры и приложения

Следующие примеры показывают, как естественным образом возникают тензорные произведения.

Учитывая два пространства меры и , с мерами и соответственно, можно рассмотреть пространство функций, интегрируемых с квадратом относительно меры произведения . on by Определение меры произведения гарантирует, что все функции этой формы интегрируемы с квадратом, поэтому это определяет билинейное отображение. Линейные комбинации функций формы также находятся в. Оказывается, что множество линейных комбинаций на самом деле плотно, если и являются раздельными. ^[4] Это показывает, что это изоморфно , а также объясняет, почему нам нужно использовать пополнение при построении тензорного произведения гильбертова пространства. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \mu \times \nu .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\times L^{2}(Y)\to L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle f(x)g(y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y).}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$

Аналогично мы можем показать, что , обозначающее пространство интегрируемых с квадратом функций, изоморфно , если это пространство сепарабельно. Изоморфизм отображается в Мы можем объединить это с предыдущим примером и заключить, что и оба изоморфны ${\displaystyle L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle X\to H,}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}$ ${\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$ ${\displaystyle L^{2}\left(X;L^{2}(Y)\right).}$

Тензорные произведения гильбертовых пространств часто возникают в квантовой механике . Если некоторая частица описывается гильбертовым пространством , а другая частица описывается , то система, состоящая из обеих частиц, описывается тензорным произведением и Например, пространство состояний квантового гармонического осциллятора таково , что пространство состояний двух осцилляторов равно который изоморфен Следовательно, двухчастичная система описывается волновыми функциями вида. Более сложный пример дают пространства Фока , которые описывают переменное число частиц. ${\displaystyle H_{1},}$ ${\displaystyle H_{2},}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}.}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \psi \left(x_{1},x_{2}\right).}$

Рекомендации

1. Б. Кок и Э.О. Пакетт, Категории для практикующего физика, в: Новые структуры для физики, Б. Кок (редактор), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv:0905.3010
2. Ник Уивер (8 марта 2020 г.). Ответ на результат непрерывного тензорного произведения гильбертовых пространств. MathOverflow . СтекExchange .
3. Браттели, О. и Робинсон, Д: Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, т.1, 2-е изд. , стр. 144. Springer-Verlag, 2002.
4. Колмогоров, А.Н .; Фомин, С. В. (1961) [1960]. Элементы теории функций и функционального анализа . Том. 2: Мера, интеграл Лебега и гильбертово пространство. Перевод Камеля, Хаймана; Комм, Гораций. Олбани, Нью-Йорк : Грейлок. п. 100, упр. 3. LCCN  57-4134.

Библиография

• Кэдисон, Ричард В .; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр. Том. Я.​ Аспирантура по математике . Том. 15. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0819-1. МР  1468229..
• Вайдманн, Иоахим (1980). Линейные операторы в гильбертовых пространствах . Тексты для аспирантов по математике . Том. 68. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90427-6. МР  0566954..