Теорема Букингема о π

Теорема в анализе размерностей

Эдгар Бэкингем около 1886 года.

В технике , прикладной математике и физике теорема Бэкингема о π является ключевой теоремой анализа размерностей . Это формализация метода размерного анализа Рэлея . В общих чертах теорема утверждает, что если существует физически значимое уравнение, включающее определенное количество n физических переменных, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора p  =  n  -  k безразмерных параметров π ₁ , π ₂ ,... ., π _p , построенный по исходным переменным, где k — количество задействованных физических измерений; он получается как ранг конкретной матрицы .

Теорема обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров по заданным переменным, или обезразмеривание , даже если форма уравнения еще неизвестна.

Теорема Бэкингема о π указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц . Утверждение этой теоремы заключается в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны ). . Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным и теорема не выполнялась бы.

История

Хотя теорема π названа в честь Эдгара Бэкингема , она была впервые доказана французским математиком Жозефом Бертраном ^[1] в 1878 году. Бертран рассматривал только частные случаи задач электродинамики и теплопроводности, но его статья в отдельных терминах содержит все основные идеи. современного доказательства теоремы и ясно указывает на ее полезность для моделирования физических явлений. Техника использования теоремы («метод размерностей») получила широкую известность благодаря работам Рэлея . Первое применение π- теоремы в общем случае ^{[примечание 1]} к зависимости падения давления в трубе от управляющих параметров относится, вероятно, к 1892 году, ^[2] эвристическое доказательство с использованием разложений в ряд — к 1894 году ^{. [ 3]}

Формальное обобщение π- теоремы на случай произвольного числа величин было дано сначала А. Ваши  [фр] в 1892 г., ^[4], затем в 1911 г. — по-видимому, независимо — как А. Федерманом ^[5], так и Д. Рябушинским , ^{[ 6]} и еще раз в 1914 г. Бэкингемом. ^[7] Именно статья Бэкингема ввела использование символа « » для безразмерных переменных (или параметров), и это источник названия теоремы. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Заявление

Более формально, количество безразмерных членов, которые могут быть сформированы, равно нулю размерной матрицы и является рангом . Для экспериментальных целей различные системы, которые имеют одно и то же описание в терминах этих безразмерных чисел , эквивалентны. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

С математической точки зрения, если у нас есть физически значимое уравнение, такое как

$${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$

^{[примечание 2]} ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$

Пи-групп ${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p=n-k}$

$${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p\geq n-\ell }$

Значение

Теорема Букингема о π обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров по заданным переменным, даже если форма уравнения остается неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не является уникальным; Теорема Бэкингема лишь обеспечивает способ генерации наборов безразмерных параметров и не указывает наиболее «физически значимые».

Две системы, у которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и подобные треугольники , они отличаются только масштабом); для целей уравнения они эквивалентны, и экспериментатор, желающий определить вид уравнения, может выбрать наиболее удобный. Самое главное, что теорема Бэкингема описывает связь между количеством переменных и фундаментальными измерениями.

Доказательство

Для простоты предполагается, что пространство фундаментальных и производных физических единиц образует векторное пространство над действительными числами , где фундаментальные единицы являются базисными векторами, а умножение физических единиц является операцией «сложения векторов» и возведением в степень степени как операция «скалярного умножения»: представляют размерную переменную как набор показателей степени, необходимых для фундаментальных единиц (с нулевой степенью, если конкретная фундаментальная единица отсутствует). Например, стандартная гравитация имеет единицы измерения (длина в квадрате времени), поэтому она представлена ​​как вектор относительно основы фундаментальных единиц (длины, времени). Мы могли бы также потребовать, чтобы показатели фундаментальных единиц были рациональными числами, и соответствующим образом изменить доказательство, и в этом случае показатели в пи-группах всегда можно рассматривать как рациональные числа или даже целые числа. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$ ${\displaystyle (1,-2)}$

Изменение масштаба единиц

Предположим, у нас есть величины , в которых единицы содержат длину, возведенную в степень . Если мы первоначально измеряем длину в метрах, а затем перейдем к сантиметрам, то числовое значение будет масштабировано в . Любой физически значимый закон должен быть инвариантным при произвольном изменении масштаба каждой фундаментальной единицы; на этом и основана теорема Пи. ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

Формальное доказательство

Учитывая систему размерных переменных в фундаментальных (базисных) измерениях, размерная матрица - это матрица , строки которой соответствуют фундаментальным измерениям, а столбцы - размерности переменных: th запись (где и ) - это степень th фундаментальных измерений размерность в th переменной. Матрицу можно интерпретировать как принятие комбинации переменных величин и определение размеров комбинации с точки зрения фундаментальных измерений. Таким образом, вектор (столбец), полученный в результате умножения ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell \times 1}$

$${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$

^{[заметка 3]} ${\displaystyle \ell }$

Если мы изменим масштаб th-й фундаментальной единицы на коэффициент , то она будет масштабирована на , где – th запись размерной матрицы. Чтобы преобразовать это в задачу линейной алгебры, мы берем логарифмы (основание не имеет значения), что дает ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$

действием ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

Строим матрицу , столбцы которой являются основой для . Он рассказывает нам, как встроить в ядро ​​. То есть мы имеем точную последовательность ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

Транспонирование дает еще одну точную последовательность.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

Первая теорема об изоморфизме дает желаемый изоморфизм, который переводит смежный класс в . Это соответствует переписыванию кортежа в группы pi , взятые из столбцов . ${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$ ${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$ ${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$ ${\displaystyle K}$

Международная система единиц определяет семь основных единиц: ампер , кельвин , секунда , метр , килограмм , кандела и моль . Иногда бывает полезно ввести дополнительные базовые единицы и методы для усовершенствования метода анализа размерностей. (См. ориентационный анализ и ссылки. ^[8] ).

Примеры

Скорость

Этот пример элементарен, но служит для демонстрации процедуры.

Предположим, машина едет со скоростью 100 км/ч; сколько времени нужно, чтобы проехать 200 км?

В этом вопросе рассматриваются размерные переменные: расстояние, время и скорость , и мы ищем некоторый закон формы. Любые две из этих переменных являются размерно независимыми, а три, взятые вместе, - нет. Таким образом, существует безразмерная величина. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$ ${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

Размерная матрица

$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$ ${\displaystyle (1,-1),}$ ${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$ ${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$ ${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

Для безразмерной константы мы ищем векторы такие, что произведение матрицы на вектор равняется нулевому вектору . В линейной алгебре набор векторов с этим свойством известен как ядро ​​(или нулевое пространство) размерной матрицы. В данном конкретном случае его ядро ​​одномерно. Размерная матрица, как написано выше, имеет форму сокращенного эшелона строк , поэтому можно считать ненулевой вектор ядра с точностью до мультипликативной константы: ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$ ${\displaystyle M\mathbf {a} }$ ${\displaystyle [0,0].}$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

Если бы размерная матрица еще не была уменьшена, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана для размерной матрицы, чтобы легче определить ядро. Отсюда следует, что безразмерную константу, заменяющую размерности соответствующими размерными переменными, можно записать:

$${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

Поскольку ядро ​​определяется только с точностью до мультипликативной константы, приведенная выше безразмерная константа, возведенная в любую произвольную степень, дает другую (эквивалентную) безразмерную константу.

Таким образом, размерный анализ позволил получить общее уравнение, связывающее три физические переменные:

$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$

ноль ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F,}$

$${\displaystyle \pi =C,}$$

${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$

$${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

Фактическая связь между тремя переменными проста. Другими словами, в этом случае имеется один физически релевантный корень, и он равен единице. Тот факт, что подойдет только одно значение will и что оно равно 1, не обнаруживается методом анализа размерностей. ${\displaystyle d=vt.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

Простой маятник

Мы хотим определить период малых колебаний простого маятника . Предполагается, что это функция длины, массы и ускорения силы тяжести на поверхности Земли , размеры которого равны длине, деленной на квадрат времени. Модель имеет вид ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(Обратите внимание, что оно записано как отношение, а не как функция: здесь не написано как функция от ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

Период, масса и длина не зависят от размеров, но ускорение можно выразить через время и длину, а это означает, что четыре переменные, взятые вместе, не являются независимыми от размеров. Таким образом, нам нужен только безразмерный параметр, обозначаемый и модель можно переписать как ${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$ ${\displaystyle \pi ,}$

$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$

${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

Размеры размерных величин составляют:

$${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

Размерная матрица:

$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(Строки соответствуют измерениям , а столбцы — размерным переменным. Например, в 4-м столбце указано, что переменная имеет размеры ) ${\displaystyle t,m,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$ ${\displaystyle (-2,0,1),}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

Мы ищем вектор ядра такой, что матричное произведение on дает нулевой вектор. Размерная матрица, как написано выше, имеет форму уменьшенного звена строк, поэтому вектор ядра можно считать внутри мультипликативной константы: ${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [0,0,0].}$

$${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Если бы оно еще не было уменьшено, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана в размерной матрице, чтобы легче определить ядро. Отсюда следует, что безразмерную константу можно записать:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$

$${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

В этом примере три из четырех размерных величин являются фундаментальными единицами, поэтому последняя (то есть ) должна быть комбинацией предыдущих. Обратите внимание, что если бы (коэффициент ) был ненулевым, то отменить значение было бы невозможно ; поэтому должно быть равно нулю. Анализ размерностей позволил нам сделать вывод, что период маятника не является функцией его массы (в трехмерном пространстве степеней массы, времени и расстояния мы можем сказать, что вектор массы линейно независим от векторов для три другие переменные. С точностью до масштабного коэффициента это единственный нетривиальный способ построить вектор безразмерного параметра.) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

Теперь модель можно выразить следующим образом:

$${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

Тогда это означает, что для некоторого нуля функции. Если существует только один нуль, назовите его тогда . Требуется больше физических знаний или эксперимент, чтобы показать, что действительно существует только один ноль и что константа фактически определяется выражением ${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$ ${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

При больших колебаниях маятника анализ усложняется дополнительным безразмерным параметром — максимальным углом качания. Приведенный выше анализ является хорошим приближением, поскольку угол приближается к нулю .

Электроэнергия

Чтобы продемонстрировать применение теоремы π , рассмотрим потребляемую мощность мешалки заданной формы . Мощность P в размерах [M · L ² /T ³ ] является функцией плотности ρ [ M /L ³ ] и вязкости перемешиваемой жидкости μ [M/(L · T )], а также размер мешалки, определяемый ее диаметром D [ L] и угловой скоростью мешалки n [1/T]. Таким образом, у нас есть всего n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных состоят из k = 3 независимых измерений, например, длины: L ( единицы СИ : м ), времени: T ( с ) и массы: M ( кг ).

Согласно π -теореме, n = 5 переменных можно уменьшить по k = 3 измерениям, чтобы сформировать p = n - k = 5 - 3 = 2 независимых безразмерных числа. Обычно эти величины выбираются как , обычно называемое числом Рейнольдса , которое описывает режим потока жидкости, и , степенным числом , которое является безразмерным описанием мешалки. ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

Обратите внимание, что две безразмерные величины не уникальны и зависят от того, какая из n = 5 переменных выбрана в качестве k = 3 размерно независимых базисных переменных, которые в этом примере появляются в обеих безразмерных величинах. Число Рейнольдса и число степени выпадают из приведенного выше анализа, если , n и D выбраны в качестве базовых переменных. Если вместо этого выбраны , n и D , число Рейнольдса восстанавливается, а вторая безразмерная величина становится . Заметим, что это произведение числа Рейнольдса и числа степени. ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

Другие примеры

Пример анализа размеров можно найти на примере механики тонкого твердого вращающегося диска с параллельными сторонами. Здесь задействовано пять переменных, которые сводятся к двум безразмерным группам. Связь между ними может быть определена численным экспериментом с использованием, например, метода конечных элементов. ^[9]

Теорема также использовалась в других областях, помимо физики, например, в спортивной науке . ^[10]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Взрывная волна
• Безразмерная величина
• Натуральные единицы
• Сходство (модель)
• Число Рейнольдса

Рекомендации

Примечания

1. При применении π –теоремы возникает произвольная функция безразмерных чисел.
2. Размерно независимый набор переменных - это набор, для которого единственными показателями степени , дающими безразмерную величину, являются . В этом и заключается понятие линейной независимости . ${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{k}^{a_{k}}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =0}$
3. Если эти базисные единицы и если единицы для каждого , то ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}$ ${\displaystyle q_{j}=m_{1j}b_{1}+\cdots +m_{\ell j}b_{\ell }}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$
   $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&\cdots &m_{1j}&\cdots &m_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\m_{\ell 1}&\cdots &m_{\ell j}&\cdots &m_{\ell n}\\\end{bmatrix}}}$$
   так что, например, единицы измерения в этих базисных единицах равны ${\displaystyle q_{1}}$
   $${\displaystyle M\left(\left[1\ 0\ \cdots \ 0\right]^{\operatorname {T} }\right)={\begin{bmatrix}m_{11}\\\vdots \\m_{\ell 1}\\\end{bmatrix}}.}$$
   В качестве конкретного примера предположим, что основными единицами измерения являются метры и секунды и что существуют размерные переменные: По определению векторного сложения и скалярного умножения единиц: ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle b_{1}=m}$ ${\displaystyle b_{2}=s,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle q_{1}=m/s^{2},q_{2}=1/m,q_{3}=s/m.}$
   $${\displaystyle q_{1}=ms^{-2}=1m+(-2)s,\quad q_{2}=m^{-1}=(-1)m+0s,\quad {\text{and}}\quad q_{3}=m^{-1}s=(-1)m+1s,}$$
   так что
   $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$
   По определению, безразмерные переменные — это те, единицами измерения которых являются в точности векторы в ${\displaystyle m^{0}s^{0},}$
   $${\displaystyle \ker M=\operatorname {span} \left\{[1,-1,2]^{\operatorname {T} }\right\}=\left\{\left(q_{1}-q_{2}+2q_{3}\right)^{s}:s\in \mathbb {Q} \right\}.}$$
   В этом можно убедиться непосредственным вычислением:
   $${\displaystyle q_{1}-q_{2}+2q_{3}=\left(ms^{-2}\right)^{1}+\left(m^{-1}\right)^{-1}+\left(sm^{-1}\right)^{2}=m^{1}s^{-2}+m^{1}+m^{-2}s^{2}=m^{1+1+(-2)}s^{-2+0+2}=m^{0}s^{0},}$$
   который действительно безразмерен. Следовательно, если некоторые состояния физического закона обязательно связаны (предположительно неизвестным) уравнением вида для некоторой (неизвестной) функции с (т. е. кортеж обязательно является нулем ), то существует некоторая (также неизвестная) функция это зависит только от переменной, безразмерной переменной (или любой ненулевой рациональной степени где ), такой, что выполняется (если используется вместо then , можно заменить на и снова выполняется). Таким образом, с точки зрения исходных переменных, должно выполняться (альтернативно, если используется , например, тогда должно выполняться). Другими словами, теорема Бэкингема о π подразумевает, что , если окажется, что у этой константы ровно один нуль, вызовите его, тогда уравнение обязательно будет выполняться (теорема не дает информации о том, какое точное значение константы будет быть, и это не гарантирует, что он имеет ровно один ноль). ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}$ ${\displaystyle f\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} (f)\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=3-2=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}:=q_{1}-q_{2}+2q_{3}=q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1},}$ ${\displaystyle 0\neq s\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F\left(\pi _{1}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {F}}(x):=F\left(x^{1/s}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\hat {\pi }}_{1}\right)=0}$ ${\displaystyle F\left(q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{1/2}={\sqrt {\pi _{1}}}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\sqrt {q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}}\right)=0}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\in F^{-1}(0),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

Цитаты

1. Бертран, Дж. (1878). «Sur l’homogénéité dans les Formulas de Physique». Комптес Рендус . 86 (15): 916–920.
2. Рэлей (1892). «К вопросу об устойчивости течения жидкостей». Философский журнал . 34 (206): 59–70. дои : 10.1080/14786449208620167.
3. Стратт, Джон Уильям (1896). Теория звука. Том. II (2-е изд.). Макмиллан.
4. Цитаты из статьи Ваши с его формулировкой пи-теоремы можно найти в: Macagno, EO (1971). «Историко-критический обзор размерного анализа». Журнал Института Франклина . 292 (6): 391–402. дои : 10.1016/0016-0032(71)90160-8.
5. Федерман, А. (1911). «О некоторых общих методах интеграции легких с частными производными первого порядка». Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики . 16 (1): 97–155.(Федерман А., О некоторых общих методах интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, Труды Санкт-Петербургского политехнического института. Секция техники, естествознания и математики)
6. Рябушинский, Д. (1911). «Метод переменных нулевого измерения и его применение в аэродинамике». Л'Аэрофил : 407–408.
7. Букингем 1914.
8. Шлик, Р.; Ле Сержан, Т. (2006). «Проверка моделей SCADE на правильность использования физических единиц». Компьютерная безопасность, надежность и защищенность . Конспекты лекций по информатике. Том. 4166. Берлин: Шпрингер. стр. 358–371. дои : 10.1007/11875567_27. ISBN 978-3-540-45762-6.
9. Рамзи, Ангус. «Размерный анализ и численные эксперименты для вращающегося диска». Рамзи Маундер Ассошиэйтс . Проверено 15 апреля 2017 г.
10. Блондо, Дж. (2020). «Влияние размера поля, размера ворот и количества игроков на среднее количество голов, забитых за игру в вариантах футбола и хоккея: теорема Пи применительно к командным видам спорта». Журнал количественного анализа в спорте . 17 (2): 145–154. doi : 10.1515/jqas-2020-0009. S2CID  224929098.

Библиография

• Биркгоф, Гаррет (2015) [1960]. «4. Моделирование и анализ размерностей §63 Теорема Пи». Гидродинамика (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. стр. 93–. ISBN 978-1-4008-7777-5.
• Ханче-Олсен, Харальд (2004). «Пи-теорема Букингема» (PDF) . НТНУ . Проверено 9 апреля 2007 г.
• Харт, Джордж В. (1995). Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники. Спрингер. ISBN 978-0-387-94417-3.
• Клайн, Стивен Дж. (1986). «2. Анализ размерностей и единицы измерения и измерения по теореме Пи». Теория подобия и приближения. Спрингер. стр. 8–35. ISBN 978-0-387-16518-9.
• Хартке, Ян-Давид (2019). «О Π-теореме Букингема». arXiv : 1912.08744 .
• Ван, Фредерик Ю.М. (1989). Математические модели и их анализ . Харпер и Роу. ISBN 978-0-06-046902-3.
• Виньо, Джорджия (1991). «Размерный анализ в моделировании данных» (PDF) . Университет Виктории в Веллингтоне . Проверено 15 декабря 2005 г.
• Шеппард, Майк (2008). «Систематический поиск выражений безразмерных констант с использованием базы данных физических констант NIST». Архивировано из оригинала 28 сентября 2012 г.
• Гиббингс, Дж. К. (2011). Размерный анализ . Спрингер. ISBN 978-1-84996-316-9.
• Шуринг, Дитрих Дж. (1977). Масштабные модели в технике: основы и приложения . Пергамон Пресс, Оксфорд. ISBN 978-0080208602.

Первоисточники

• Ваши, А. (1892). «Sur les lois de подобие телосложения». Телеграфные Анналы . 19 :25–28.
• Рябушинский, Д. (1911). «Метод переменных нулевого измерения и его применение в аэродинамике». Л'Аэрофил : 407–408.
• Бэкингем, Э. (1914). «О физически подобных системах; иллюстрации использования уравнений размерностей». Физический обзор . 4 (4): 345–376. Бибкод : 1914PhRv....4..345B. doi : 10.1103/PhysRev.4.345. hdl : 10338.dmlcz/101743 .
• Бэкингем, Э. (1915). «Принцип подобия». Природа . 96 (2406): 396–397. Бибкод : 1915Natur..96..396B. дои : 10.1038/096396d0. S2CID  3956628.
• Бэкингем, Э. (1915). «Модельные эксперименты и формы эмпирических уравнений». Труды Американского общества инженеров-механиков . 37 : 263–296.
• Тейлор, сэр Г. (1950). «Формирование взрывной волны при очень мощном взрыве. I. Теоретическая дискуссия». Труды Королевского общества А. 201 (1065): 159–174. Бибкод : 1950RSPSA.201..159T. дои : 10.1098/rspa.1950.0049. S2CID  54070514.
• Тейлор, сэр Г. (1950). «Образование взрывной волны в результате очень мощного взрыва. II. Атомный взрыв 1945 года». Труды Королевского общества А. 201 (1065): 175–186. Бибкод : 1950RSPSA.201..175T. дои : 10.1098/rspa.1950.0050 .

Внешние ссылки

• Некоторые обзоры и первоисточники по истории теоремы Пи и теории подобия (на русском языке)