В теории причинной структуры на лоренцевых многообразиях теорема Героха или теорема Героха о расщеплении (впервые доказанная Робертом Герохом ) дает топологическую характеристику глобально гиперболического пространства-времени.
Поверхность Коши может иметь углы, и, таким образом, не обязательно должна быть дифференцируемым подмногообразием пространства-времени; однако она всегда непрерывна (и даже непрерывна по Липшицу ). Используя поток векторного поля, выбранного полным, гладким и времениподобным, элементарно доказать, что если поверхность Коши S является C k -гладкой, то пространство-время является C k -диффеоморфным произведению S × R , и что любые две такие поверхности Коши являются C k -диффеоморфными. [1]
Роберт Герох доказал в 1970 году, что каждое глобально гиперболическое пространство-время имеет поверхность Коши S и что гомеоморфизм (как C 0 -диффеоморфизм) к S × R может быть выбран так, что каждая поверхность вида S × { a } является поверхностью Коши, а каждая кривая вида { s } × R является непрерывной времениподобной кривой. [2]
Различные основополагающие учебники, такие как «Крупномасштабная структура пространства-времени » Джорджа Эллиса и Стивена Хокинга и «Общая теория относительности » Роберта Уолда [ 3], утверждали , что методы сглаживания позволяют усилить результат Героха из топологического в гладкий контекст. Однако это не было удовлетворительно доказано до работы Антонио Бернала и Мигеля Санчеса в 2003 году. В результате их работы стало известно, что каждое глобально гиперболическое пространство-время имеет поверхность Коши, которая гладко вложена и пространственноподобна. [4] Как они доказали в 2005 году, диффеоморфизм к S × R можно выбрать так, что каждая поверхность вида S × { a } является пространственноподобной гладкой поверхностью Коши, а каждая кривая вида { s } × R является гладкой времениподобной кривой, ортогональной каждой поверхности S × { a } . [5]
Источники