Теорема Коши–Ковалевской

Теорема существования и единственности для некоторых уравнений в частных производных

В математике теорема Коши –Ковалевской (также пишется как теорема Коши–Ковалевской ) является основной локальной теоремой существования и единственности для аналитических уравнений в частных производных, связанных с начальными задачами Коши . Частный случай был доказан Огюстеном Коши  (1842), а полный результат — Софьей Ковалевской  (1874).

Теорема Коши–Ковалевской первого порядка

Эта теорема о существовании решений системы из m дифференциальных уравнений в n измерениях, когда коэффициенты являются аналитическими функциями . Теорема и ее доказательство справедливы для аналитических функций как действительных, так и комплексных переменных.

Пусть K обозначает либо поле действительных, либо комплексных чисел, и пусть V  =  K ^m и W  =  K ⁿ . Пусть A ₁ , ...,  A _{n −1} — аналитические функции, определенные в некоторой окрестности (0, 0) в W  ×  V и принимающие значения в матрицах m  ×  m , и пусть b — аналитическая функция со значениями в V , определенная в той же окрестности. Тогда существует окрестность 0 в W , на которой квазилинейная задача Коши

${\displaystyle \partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)}$

с начальным условием

${\displaystyle f(x)=0}$

на гиперповерхности

${\displaystyle x_{n}=0}$

имеет единственное аналитическое решение ƒ  :  W  →  V вблизи 0.

Пример Леви показывает, что теорема не верна в более общем случае для всех гладких функций.

Теорема может быть также сформулирована в абстрактных (действительных или комплексных) векторных пространствах. Пусть V и W — конечномерные действительные или комплексные векторные пространства, причем n  = dim  W . Пусть A ₁ , ...,  An _{−1 —} аналитические функции со значениями в End ( V ) , а b — аналитическая функция со значениями в V , определенная в некоторой окрестности (0, 0) в W  ×  V . В этом случае справедлив тот же результат.

Доказательство аналитической мажорации

Обе части уравнения в частных производных могут быть разложены в формальные степенные ряды и дать рекуррентные соотношения для коэффициентов формального степенного ряда для f , которые однозначно определяют коэффициенты. Коэффициенты ряда Тейлора A _i и b мажорируются в матричной и векторной норме простой скалярной рациональной аналитической функцией. Соответствующая скалярная задача Коши, включающая эту функцию вместо A _i и b, имеет явное локальное аналитическое решение. Абсолютные значения ее коэффициентов мажорируют нормы коэффициентов исходной задачи; поэтому формальное решение степенного ряда должно сходиться там, где сходится скалярное решение.

Теорема Коши–Ковалевской высшего порядка

Если F и f _j — аналитические функции вблизи 0, то нелинейная задача Коши

${\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right),{\text{ where }}j<k{\text{ and }}|\alpha |+j\leq k,}$

с начальными условиями

${\displaystyle \partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j<k,}$

имеет единственное аналитическое решение вблизи 0.

Это следует из задачи первого порядка, если рассматривать производные h , появляющиеся в правой части, как компоненты векторной функции.

Пример

Уравнение теплопроводности

${\displaystyle \partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h}$

с условием

${\displaystyle h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}{\text{ for }}t=0}$

имеет единственное формальное решение в виде степенного ряда (расширенное вокруг (0, 0)). Однако этот формальный степенной ряд не сходится ни для каких ненулевых значений t , поэтому в окрестности начала координат нет аналитических решений. Это показывает, что условие | α | +  j  ≤  k выше не может быть отброшено. (Этот пример принадлежит Ковалевски.)

Теорема Коши–Ковалевской–Кашивары.

Существует широкое обобщение теоремы Коши–Ковалевской для систем линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами, теорема Коши–Ковалевской–Кашивары, предложенная Масаки Касивара  (1983). Эта теорема включает когомологическую формулировку, представленную на языке D-модулей . Условие существования включает условие совместности между неоднородными частями каждого уравнения и исчезновение производного функтора . ${\displaystyle Ext^{1}}$

Пример

Пусть . Задайте . Система имеет решение тогда и только тогда, когда проверяются условия совместимости . Чтобы иметь единственное решение, мы должны включить начальное условие , где . ${\displaystyle n\leq m}$ ${\displaystyle Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}}$ ${\displaystyle f|_{Y}=h}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},\ldots ,x_{m}\}}$

Ссылки

• Коши, Огюстен (1842), «Mémoire sur l'emploi du Calcul des Limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles», Comptes rendus , 15Перепечатано в Oeuvres completes, 1 серия, том VII, страницы 17–58.
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения с частными производными, Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 3-540-12104-8, МР  0717035(линейный случай)
• Кашивара, М. (1983), Системы микродифференциальных уравнений , Progress in Mathematics, т. 34, Birkhäuser, ISBN 0817631380
• фон Ковалевский, Софи (1875), «Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 80 : 1–32(В то время использовалось немецкое написание ее фамилии.)
• Нахушев, А. М. (2001) [1994], «Теорема Коши – Ковалевской», Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• ПланетаМатематика