Теорема Кэмпбелла (вероятность)

Теорема В теории вероятностей и статистике

В теории вероятностей и статистике теорема Кэмпбелла или теорема Кэмпбелла–Харди представляет собой либо частное уравнение , либо набор результатов, относящихся к ожиданию функции , суммированной по точечному процессу , до интеграла, включающего среднюю меру точечного процесса, что позволяет вычислять ожидаемое значение и дисперсию случайной суммы . Одна из версий теоремы, ^[1] также известная как формула Кэмпбелла , ^{[2] : 28} влечет за собой интегральное уравнение для вышеупомянутой суммы по общему точечному процессу, и не обязательно точечному процессу Пуассона. ^[2] Существуют также уравнения, включающие моментные меры и факториальные моментные меры , которые считаются версиями формулы Кэмпбелла. Все эти результаты используются в теории вероятности и статистики с особой важностью в теории точечных процессов ^[3] и теории массового обслуживания ^[4], а также в смежных областях стохастической геометрии , ^[1] теории континуальной перколяции , ^[5] и пространственной статистике . ^{[2] [6]}

Другой результат, названный теоремой Кэмпбелла ^[7], относится конкретно к точечному процессу Пуассона и дает метод вычисления моментов , а также функционала Лапласа точечного процесса Пуассона.

Название обеих теорем происходит от работы ^{[8] [9]} Нормана Р. Кэмпбелла о термоионном шуме, также известном как дробовой шум , в электронных лампах , ^{[3] [10],} которая была частично вдохновлена ​​работой Эрнеста Резерфорда и Ганса Гейгера по обнаружению альфа-частиц , где точечный процесс Пуассона возник как решение семейства дифференциальных уравнений Гарри Бейтмана . ^[10] В своей работе Кэмпбелл представляет моменты и производящие функции случайной суммы процесса Пуассона на действительной прямой, но отмечает, что основной математический аргумент был дан Г. Х. Харди , который вдохновил на то, чтобы результат иногда называли теоремой Кэмпбелла–Харди . ^{[10] [11]}

Фон

Для точечного процесса, определенного на d -мерном евклидовом пространстве , ^[a] теорема Кэмпбелла предлагает способ вычисления ожиданий действительной функции, определенной также на и суммируемой по , а именно: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

где обозначает ожидание и используется обозначение множества, такое что рассматривается как случайное множество (см. Обозначение точечного процесса ). Для точечного процесса теорема Кэмпбелла связывает указанное выше ожидание с мерой интенсивности . В отношении борелевского множества B мера интенсивности определяется как: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

где используется обозначение меры , такое что считается случайной счетной мерой . Величина может быть интерпретирована как среднее число точек точечного процесса, расположенных во множестве B. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle N}$

Первое определение: общий точечный процесс

Одна из версий теоремы Кэмпбелла предназначена для общего (не обязательно простого) точечного процесса с мерой интенсивности: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

известна как формула Кэмпбелла ^[2] или теорема Кэмпбелла , ^{[1] [12] [13]} , которая дает метод вычисления ожиданий сумм измеримых функций с диапазонами на действительной прямой . Более конкретно, для точечного процесса и измеримой функции сумма по точечному процессу задается уравнением: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

где если одна сторона уравнения конечна, то и другая сторона тоже конечна. ^[14] Это уравнение по сути является применением теоремы Фубини ^[1] и справедливо для широкого класса точечных процессов, простых или нет. ^[2] В зависимости от обозначения интеграла, ^[b] этот интеграл может быть также записан как: ^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

Если мера интенсивности точечного процесса имеет плотность , то формула Кэмпбелла принимает вид: ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

Стационарный точечный процесс

Для стационарного точечного процесса с постоянной плотностью теорема или формула Кэмпбелла сводится к объемному интегралу: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx}$

Это уравнение естественным образом справедливо для однородных точечных процессов Пуассона, что является примером стационарного стохастического процесса . ^[1]

Приложения: Случайные суммы

Теорема Кэмпбелла для общих точечных процессов дает метод вычисления математического ожидания функции точки (точечного процесса), суммированной по всем точкам точечного процесса. Эти случайные суммы по точечным процессам имеют приложения во многих областях, где они используются в качестве математических моделей.

Шум выстрела

Кэмпбелл первоначально изучал проблему случайных сумм, мотивированную пониманием термоионного шума в клапанах, который также известен как дробовой шум. Следовательно, изучение случайных сумм функций по точечным процессам известно как дробовой шум в теории вероятностей и, в частности, точечных процессов.

Помехи в беспроводных сетях

В беспроводной сетевой связи, когда передатчик пытается отправить сигнал приемнику, все остальные передатчики в сети можно рассматривать как помехи, что создает такую ​​же проблему, как и шум в традиционных проводных телекоммуникационных сетях с точки зрения возможности отправлять данные на основе теории информации. Если предполагается, что позиционирование мешающих передатчиков формирует некоторый точечный процесс, то дробовой шум можно использовать для моделирования суммы их мешающих сигналов, что привело к стохастическим геометрическим моделям беспроводных сетей. ^[15]

Нейробиология

Общий вход в нейронах является суммой многих синаптических входов с похожими временными курсами. Когда входы моделируются как независимый точечный процесс Пуассона, средний ток и его дисперсия задаются теоремой Кэмпбелла. Распространенным расширением является рассмотрение суммы со случайными амплитудами

${\displaystyle S=\sum _{x\in {N}}a_{n}f(x)}$

В этом случае кумулянты равны ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa _{i}=\lambda {\overline {a^{i}}}\int f(x)^{i}dx}$

где находятся исходные моменты распределения . ^[16] ${\displaystyle {\overline {a^{i}}}}$ ${\displaystyle a}$

Обобщения

Для общих точечных процессов существуют другие, более общие версии теоремы Кэмпбелла, зависящие от природы случайной суммы и, в частности, от функции, суммируемой по точечному процессу.

Функции нескольких точек

Если функция является функцией более чем одной точки точечного процесса, необходимы меры момента или факториальные меры момента точечного процесса, которые можно сравнить с моментами и факториалом случайных величин. Тип необходимой меры зависит от того, должны ли точки точечного процесса в случайной сумме быть различными или могут повторяться.

Повторяющиеся пункты

Моментные меры используются, когда допускается повторение точек.

Отдельные точки

Факториальные меры момента используются, когда точки не должны повторяться, поэтому точки различны.

Функции точек и точечный процесс

Для общих точечных процессов теорема Кэмпбелла применима только к суммам функций одной точки точечного процесса. Чтобы вычислить сумму функции одной точки, а также всего точечного процесса, требуются обобщенные теоремы Кэмпбелла с использованием распределения Пальма точечного процесса, которое основано на ветви вероятности, известной как теория Пальма или исчисление Пальма .

Второе определение: процесс Пуассона

Другая версия теоремы Кэмпбелла ^[7] гласит, что для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности и измеримой функцией случайная сумма ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

абсолютно сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда интеграл

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

При условии, что этот интеграл конечен, теорема далее утверждает, что для любого комплексного значения уравнение ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

выполняется, если интеграл в правой части сходится , что имеет место для чисто мнимых . Более того, ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

и если этот интеграл сходится, то

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

где обозначает дисперсию случайной суммы . ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

Из этой теоремы следуют некоторые ожидаемые результаты для точечного процесса Пуассона , включая его функционал Лапласа . ^{[7] [c]}

Применение: функционал Лапласа

Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности функционал Лапласа является следствием приведенной выше версии теоремы Кэмпбелла ^[7] и определяется выражением: ^[15] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

что для однородного случая равно:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.}$

Примечания

1. Его можно определить в более общем математическом пространстве, чем евклидово пространство, но часто это пространство используется для моделей. ^[3]
2. Как обсуждалось в главе 1 работы Стояна, Кендалла и Мекке ^[1], это применимо ко всем другим интегралам, представленным здесь и в других местах, из-за различий в обозначениях интегралов.
3. Кингман ^[7] называет его «характеристическим функционалом», но Дейли, Вер-Джонс ^[3] и другие называют его «функционалом Лапласа», ^{[1] [15]} оставляя термин «характеристический функционал» для случая, когда является мнимым. ${\displaystyle \theta }$

Ссылки

1. Д. Стоян, У. С. Кендалл, Дж. Мекке. Стохастическая геометрия и ее приложения , том 2. Wiley Chichester, 1995.
2. Baddeley, A.; Barany, I.; Schneider, R.; Weil, W. (2007). "Пространственные точечные процессы и их приложения". Стохастическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том 1892. стр. 1. doi :10.1007/978-3-540-38175-4_1. ISBN 978-3-540-38174-7.
3. Дейли, DJ; Вере-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. doi :10.1007/b97277. ISBN 978-0-387-95541-4.
4. Бремо, Пьер; Бачелли, Франсуа (2002). Элементы теории очередей: исчисление Пальм-Мартингейла и стохастические рекурренты . Springer Science & Business Media. стр. 18,195. ISBN 978-3-642-08537-6.
5. Р. Мистер и Р. Рой. Континуальная перколяция, том 119 Кембриджских трактатов по математике, 1996.
6. Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов . Монографии C&H/CRC по статистике и прикладной вероятности. Том 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN  978-1-58488-265-7.
7. Кингман, Джон (1993). Пуассоновские процессы . Oxford Science Publications. стр. 28. ISBN 978-0-19-853693-2.
8. Кэмпбелл, Н. (1909). «Изучение прерывистых явлений». Proc. Camb. Phil. Soc . 15 : 117–136.
9. Кэмпбелл, Н. (1910). «Разрывы в излучении света». Proc. Camb. Phil. Soc . 15 : 310–328.
10. Stirzaker, David (2000). «Советы ежам, или Константы могут меняться». The Mathematical Gazette . 84 (500): 197–210. doi :10.2307/3621649. JSTOR  3621649.
11. Гримметт Г. и Стирзакер Д. (2001). Вероятность и случайные процессы . Oxford University Press. стр. 290.
12. Дейли, DJ; Вере-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. doi :10.1007/978-0-387-49835-5. ISBN 978-0-387-21337-8.
13. П. Бремо. Анализ Фурье случайных процессов . Springer, 2014.
14. A. Baddeley. Экспресс-курс стохастической геометрии. Стохастическая геометрия: правдоподобие и вычисления, ред. OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (Лондон: Chapman and Hall) стр. , страницы 1–35, 1999.
15. Baccelli, FO (2009). «Стохастическая геометрия и беспроводные сети: Том I Теория» (PDF) . Основы и тенденции в сетевых технологиях . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006.
16. SO Rice Математический анализ случайного шума Bell Syst. Tech. J. 24, 1944 перепечатано в «Избранные статьи о шуме и случайных процессах» N. Wax (редактор) Dover 1954.