Теорема Лиувилля–Арнольда

В теории динамических систем теорема Лиувилля–Арнольда утверждает, что если в гамильтоновой динамической системе с n степенями свободы также имеется n независимых, коммутирующих по Пуассону первых интегралов движения , а множества уровня всех первых интегралов компактны, то существует каноническое преобразование в координаты действие-угол , в котором преобразованный гамильтониан зависит только от координат действия, а координаты угла линейно развиваются во времени. Таким образом, уравнения движения для системы могут быть решены в квадратурах , если можно разделить условия одновременного множества уровней. Теорема названа в честь Джозефа Лиувилля и Владимира Арнольда . ^{[1] [2] [3] [4] [5] : 270–272}

История

Теорема была доказана в первоначальном виде Лиувиллем в 1853 году для функций на с канонической симплектической структурой . Она была обобщена на случай симплектических многообразий Арнольдом, который дал доказательство в своем учебнике «Математические методы классической механики», опубликованном в 1974 году. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Заявление

Предварительные определения

Пусть — -мерное симплектическое многообразие с симплектической структурой . ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega }$

Интегрируемая система на — это набор функций на , помеченных , удовлетворяющих ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}$

• (Общая) линейная независимость: на плотном множестве ${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}$
• Взаимная коммутативность Пуассона: скобка Пуассона обращается в нуль для любой пары значений . ${\displaystyle (F_{i},F_{j})}$ ${\displaystyle i,j}$

Скобка Пуассона — это скобка Ли векторных полей гамильтонова векторного поля , соответствующего каждому . В полном объёме, если — гамильтоново векторное поле, соответствующее гладкой функции , то для двух гладких функций скобка Пуассона равна . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}$

Точка является регулярной точкой, если . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}$

Интегрируемая система определяет функцию . Обозначим через множество уровня функций , или, альтернативно, . ${\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle F_{i}}$ $${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}$$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}$

Теперь, если задана дополнительная структура выделенной функции , то гамильтонова система интегрируема, если ее можно дополнить до интегрируемой системы, то есть существует интегрируемая система . ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}$

Теорема

Если — интегрируемая гамильтонова система, а — регулярная точка, то теорема характеризует множество уровня образа регулярной точки : ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle c=F(p)}$

• ${\displaystyle L_{c}}$представляет собой гладкое многообразие, инвариантное относительно гамильтонова потока, индуцированного (и, следовательно, относительно гамильтонова потока, индуцированного любым элементом интегрируемой системы). ${\displaystyle H=F_{1}}$
• Если, кроме того, компактно и связно, то оно диффеоморфно N -тору . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle T^{n}}$
• Существуют (локальные) координаты на такие, что являются постоянными на уровне, заданном при . Эти координаты называются координатами действие-угол . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}$

Примеры систем, интегрируемых по Лиувиллю

Гамильтонова система, которая интегрируема, называется «интегрируемой в смысле Лиувилля» или «интегрируемой по Лиувиллю». Известные примеры приведены в этом разделе.

Некоторые обозначения являются стандартными в литературе. Когда рассматриваемое симплектическое многообразие — это , его координаты часто записываются , а каноническая симплектическая форма — это . Если не указано иное, они предполагаются для этого раздела. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}$

• Гармонический осциллятор :с. Определяя, интегрируемая система имеет вид. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$ ${\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$ ${\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}$

• Центральная система сил :снекоторойпотенциальной функцией. Определяя момент импульса, интегрируемая система имеет вид. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$ ${\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$

• Интегрируемые волчки : волчки Лагранжа, Эйлера и Ковалевской интегрируемы в смысле Лиувилля.

Смотрите также

• Интегрируемость по Фробениусу : более общее понятие интегрируемости.
• Интегрируемые системы

Ссылки

1. Дж. Лиувилль, «Примечание к интеграции различных уравнений динамики, представленное Бюро долгот 29 июня 1853 года», JMPA , 1855, стр. 137-138, pdf
2. Фабио Бенатти (2009). Динамика, информация и сложность в квантовых системах. Springer Science & Business Media . стр. 16. ISBN 978-1-4020-9306-7.
3. P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodriguez, ред. (2004). Суперинтегрируемость в классических и квантовых системах. Американское математическое общество . стр. 48. ISBN 978-0-8218-7032-7.
4. Кристофер К. Р. Т. Джонс; Александр И. Хибник, ред. (2012). Динамические системы с множественными временными масштабами. Springer Science & Business Media . стр. 1. ISBN 978-1-4613-0117-2.
5. Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики . Springer. ISBN 9780387968902.