В математической области дифференциальной топологии скобка Ли векторных полей , также известная как скобка Якоби–Ли или коммутатор векторных полей , представляет собой оператор, который присваивает любым двум векторным полям X и Y на гладком многообразии M третье векторное поле, обозначаемое [ X , Y ] .
Концептуально скобка Ли [ X , Y ] является производной Y вдоль потока , порожденного X , и иногда обозначается («Производная Ли Y вдоль X»). Это обобщает производную Ли любого тензорного поля вдоль потока, порожденного X .
Скобка Ли является R - билинейной операцией и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии M в (бесконечномерную) алгебру Ли .
Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , например, в теореме интегрируемости Фробениуса , а также имеет фундаментальное значение в геометрической теории нелинейных систем управления . [1]
В. И. Арнольд называет это «производным рыбака», поскольку можно представить себя рыбаком, держащим удочку и сидящим в лодке. И лодка, и поплавок текут согласно векторному полю X , а рыбак удлиняет/сжимает и поворачивает удочку согласно векторному полю Y. Скобка Ли — это величина сопротивления рыболовного поплавка относительно окружающей воды. [2]
Существует три концептуально разных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:
Каждое гладкое векторное поле на многообразии M можно рассматривать как дифференциальный оператор , действующий на гладкие функции (где и класса ), когда мы определяем его как другую функцию, значение которой в точке является производной по направлению от f в точке p в направлении X ( п ). Таким образом, каждое гладкое векторное поле X становится дифференцированием на C∞ ( M ) . Более того , любой вывод на C∞ ( M ) возникает из единственного гладкого векторного поля X.
В общем случае коммутатор любых двух дифференцирований и снова является дифференцированием, где обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего выводу коммутатора:
Пусть – поток , связанный с векторным полем X , и пусть D обозначает оператор производной касательного отображения . Тогда скобка Ли X и Y в точке x ∈ M может быть определена как производная Ли :
Это также измеряет неспособность потока в последовательных направлениях вернуться в точку x :
Хотя приведенные выше определения скобки Ли являются внутренними (независимо от выбора координат на многообразии M ), на практике часто требуется вычислить скобку в терминах конкретной системы координат . Мы пишем для ассоциированного локального базиса касательного расслоения, так что можно записать общие векторные поля и для гладких функций . Тогда скобку Ли можно вычислить как:
Если M (открытое подмножество) R n , то векторные поля X и Y можно записать как гладкие отображения формы и , а скобка Ли задается формулой:
где и являются матрицами якобиана размера n × n ( и соответственно с использованием индексных обозначений), умножающими вектор-столбцы размера n × 1 X и Y .
Скобка Ли векторных полей снабжает вещественное векторное пространство всех векторных полей на M (т.е. гладкие участки касательного расслоения ) структурой алгебры Ли , что означает, что [ • , • ] является отображением с:
Непосредственным следствием второго свойства является то, что для любого .
Кроме того, для скобок Ли существует « правило произведения ». Учитывая гладкую (скалярную) функцию f на M и векторное поле Y на M , мы получаем новое векторное поле fY , умножая вектор Y x на скаляр f ( x ) в каждой точке x ∈ M . Затем:
где мы умножаем скалярную функцию X ( f ) на векторное поле Y и скалярную функцию f на векторное поле [ X , Y ] . Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли .
Исчезновение скобки Ли X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M , с X и Y как координатными векторными полями:
Теорема: тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, то есть для всех x ∈ M и достаточно малых s , t .
Это частный случай теоремы интегрируемости Фробениуса .
Для группы Ли G соответствующая алгебра Ли представляет собой касательное пространство в единице , которое можно отождествить с векторным пространством левоинвариантных векторных полей на G. Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также является левоинвариантной, что определяет операцию скобки Якоби–Ли .
Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы , каждое касательное пространство может быть представлено в виде матриц: , где означает умножение матрицы, а I - единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее , определяется как , и вычисление показывает, что скобка Ли соответствует обычному коммутатору матриц:
Как упоминалось выше, производную Ли можно рассматривать как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (на векторнозначные дифференциальные формы ) является скобка Фрелихера–Нийенхейса .
{{citation}}
: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Обширное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.