теорема Планшереля

Теорема гармонического анализа

В математике теорема Планшереля ( иногда называемая тождеством Парсеваля–Планшереля ) — результат гармонического анализа , доказанный Мишелем Планшерелем в 1910 году. Это обобщение теоремы Парсеваля ; часто используется в областях науки и техники, доказывая унитарность преобразования Фурье .

Теорема утверждает, что интеграл квадрата модуля функции равен интегралу квадрата модуля ее частотного спектра . То есть, если — функция на действительной прямой, а — ее частотный спектр, то ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$

Более точная формулировка заключается в том, что если функция находится в обоих пространствах L p и , то ее преобразование Фурье находится в и преобразование Фурье является изометрией относительно нормы L ^2. Это подразумевает, что преобразование Фурье, ограниченное на , имеет единственное расширение до линейного изометрического отображения , иногда называемого преобразованием Планшереля. Эта изометрия на самом деле является унитарным отображением. По сути, это позволяет говорить о преобразованиях Фурье квадратично интегрируемых функций . ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$

Доказательство теоремы доступно в книге Рудина (1987, глава 9) .

Теорема Планшереля остается справедливой в том виде, в каком она сформулирована для n -мерного евклидова пространства . Теорема также справедлива в более общем случае для локально компактных абелевых групп . Существует также версия теоремы Планшереля, которая имеет смысл для некоммутативных локально компактных групп, удовлетворяющих определенным техническим предположениям. Это предмет некоммутативного гармонического анализа . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Из-за поляризационного тождества можно также применить теорему Планшереля к внутреннему произведению двух функций. То есть, если и являются двумя функциями, а обозначает преобразование Планшереля, то и если и являются, кроме того, функциями, то и так далее. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ $${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}$

Смотрите также

• Теорема Планшереля для сферических функций

Ссылки

• Планшерель, Мишель (1910), «Вклад в исследование функции произвольного представления интегральных определений», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi : 10.1007/BF03014877, S2CID  122509369.
• Диксмье, Ж. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Готье Виллар.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer Verlag.
• Рудин, Уолтер (1987), «9 преобразований Фурье», Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill Book Company.

Внешние ссылки

• «Теорема Планшереля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема Планшереля на Mathworld