Теорема Тевенена

Теорема в анализе электрических цепей

Рис. 1. Любой черный ящик, содержащий только сопротивления, источники напряжения и источники тока, можно заменить эквивалентной схемой Тевенена , состоящей из эквивалентного источника напряжения, соединенного последовательно с эквивалентным сопротивлением.

Первоначально теорема Тевенена была сформулирована в терминах только резистивных цепей постоянного тока и гласит: «Любая линейная электрическая сеть, содержащая только источники напряжения , источники тока и сопротивления, может быть заменена на клеммах A–B эквивалентной комбинацией источника напряжения V _th в последовательном соединении с сопротивлением R _th ».

• Эквивалентное напряжение V _th – это напряжение, полученное на клеммах A–B сети при разомкнутых клеммах A–B .
• Эквивалентное сопротивление R _th — это сопротивление, которое имела бы цепь между клеммами A и B , если бы все идеальные источники напряжения в цепи были заменены коротким замыканием, а все идеальные источники тока были заменены разомкнутой цепью.
• Если клеммы A и B соединены друг с другом, ток, текущий от A и B, будет равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.}$ Это означает, что R _th можно также рассчитать как V _th, деленное на ток короткого замыкания между A и B, когда они соединены вместе.

В терминах теории цепей теорема позволяет свести любую однополюсную сеть к одному источнику напряжения и одному импедансу.

Теорема также применима к цепям переменного тока в частотной области, состоящим из реактивных (индуктивных и емкостных) и резистивных импедансов . Это означает, что теорема применима для переменного тока точно так же, как и для постоянного тока, за исключением того, что сопротивления обобщаются на импедансы.

Теорема была независимо выведена в 1853 году немецким ученым Германом фон Гельмгольцем и в 1883 году Леоном Шарлем Тевененом (1857–1926), инженером-электриком из французской национальной телекоммуникационной организации Postes et Télégraphes . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Теорема Тевенина и ее двойственная теорема Нортона широко используются для упрощения анализа цепей и изучения начальных условий и установившегося состояния цепи. ^{[8] [9]} Теорема Тевенина может быть использована для преобразования источников и импедансов любой цепи в эквивалент Тевенина ; использование теоремы в некоторых случаях может быть более удобным, чем использование законов цепей Кирхгофа . ^{[7] [10]}

Доказательство теоремы

Были даны различные доказательства теоремы Тевенена. Возможно, самым простым из них было доказательство в оригинальной статье Тевенена. ^[3] Это доказательство не только элегантно и легко для понимания, но и существует консенсус ^[4] , что доказательство Тевенена является как правильным, так и общим в своей применимости. Доказательство выглядит следующим образом:

Рассмотрим активную сеть, содержащую импедансы, источники (постоянного) напряжения и источники (постоянного) тока. Конфигурация сети может быть любой. Доступ к сети обеспечивается парой клемм. Обозначим напряжение, измеренное между клеммами, как V _θ , как показано в поле слева на рисунке 2.

Рис. 2. Рисунок, использованный при доказательстве теоремы Тевенена.

Предположим, что источники напряжения внутри коробки заменены короткими замыканиями, а источники тока — разомкнутыми цепями. Если это сделать, то на клеммах не появится напряжение, и можно будет измерить импеданс между клеммами. Назовем этот импеданс Z _θ .

Теперь предположим, что к клеммам коробки присоединена некоторая линейная сеть, имеющая импеданс Z _e , как на рисунке 2a. Мы хотим найти ток I через Z _e . Ответ не очевиден, поскольку напряжение на клеммах не будет равно V _θ после подключения Z _{e .}

Вместо этого представим, что мы присоединяем последовательно с импедансом Z _e источник с электродвижущей силой E, равной V _θ , но направленной против V _θ , как показано на рисунке 2b. Тогда ток не будет течь через Z _e, поскольку E уравновешивает V _θ .

Далее мы вставляем другой источник электродвижущей силы, E ₁ , последовательно с Z _e , где E ₁ имеет ту же величину, что и E , но противоположное направление (см. рисунок 2c). Ток, I ₁ , можно определить следующим образом: это ток, который возник бы при действии E ₁ в одиночку, когда все другие источники (внутри активной сети и внешней сети) установлены на ноль. Этот ток, таким образом,

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

поскольку Z _e — это внешнее сопротивление коробки, а Z _θ — сопротивление, направленное внутрь коробки, когда ее источники равны нулю.

Наконец, мы замечаем, что E и E ₁ могут быть удалены вместе без изменения тока, и когда они удалены, мы возвращаемся к рисунку 2a. Следовательно, I ₁ — это ток, I , который мы ищем, т.е.

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

Таким образом, доказательство завершено. На рисунке 2d показана эквивалентная схема Тевенена.

Доказательство Гельмгольца

Как уже отмечалось, теорема Тевенена была впервые открыта и опубликована немецким ученым Германом фон Гельмгольцем в 1853 году ^[1] , за четыре года до рождения Тевенена. Доказательство Тевенена 1883 года, описанное выше, по духу ближе к современным методам электротехники, и это может объяснить, почему его имя чаще ассоциируется с теоремой. ^[11] Более ранняя формулировка проблемы Гельмгольцем отражает более общий подход, который ближе к физике.

В своей статье 1853 года Гельмгольц был обеспокоен электродвижущими свойствами «физически обширных проводников», в частности, с животной тканью . Он отметил, что более ранняя работа физиолога Эмиля дю Буа-Реймона показала, что «каждая мельчайшая часть мышцы, которая может быть стимулирована, способна производить электрические токи». В то время эксперименты проводились путем присоединения гальванометра в двух точках к образцу животной ткани и измерения тока через внешнюю цепь. Поскольку целью этой работы было понять что-то о внутренних свойствах ткани, Гельмгольц хотел найти способ связать эти внутренние свойства с токами, измеряемыми извне.

Отправной точкой Гельмгольца был результат, опубликованный Густавом Кирхгофом в 1848 году. ^[12] Как и Гельмгольц, Кирхгоф интересовался трехмерными электропроводящими системами. Кирхгоф рассматривал систему, состоящую из двух частей, которые он обозначил как части A и B. Часть A (которая играла роль «активной сети» на рис. 2) состояла из набора проводящих тел, соединенных концом к концу, причем каждое тело характеризовалось электродвижущей силой и сопротивлением. Предполагалось, что часть B была соединена с конечными точками A посредством двух проводов. Затем Кирхгоф показал (стр. 195), что «не изменяя поток в любой точке B, можно заменить A проводником, в котором находится электродвижущая сила, равная сумме разностей напряжений в A, и который имеет сопротивление, равное сумме сопротивлений элементов A».

В своей статье 1853 года Гельмгольц признал результат Кирхгофа, но отметил, что он верен только в том случае, если, «как в гидроэлектрических батареях», в A нет замкнутых кривых тока, а все такие кривые проходят через B. Поэтому он решил обобщить результат Кирхгофа на случай произвольного трехмерного распределения токов и источников напряжения в системе A.

Гельмгольц начал с того, что дал более общую формулировку принципа суперпозиции , чем та, которая была опубликована ранее, которую он выразил (стр. 212-213) следующим образом:

Если какая-либо система проводников содержит электродвижущие силы в различных местах, то электрическое напряжение в каждой точке системы, через которую протекает ток, равно алгебраической сумме тех напряжений, которые каждая из электродвижущих сил производила бы независимо от других. И аналогично, компоненты интенсивности тока, которые параллельны трем перпендикулярным осям, равны сумме соответствующих компонентов, которые принадлежат отдельным силам.

Используя эту теорему, а также закон Ома , Гельмгольц доказал следующие три теоремы о связи между внутренними напряжениями и токами «физической» системы A и током, текущим через «линейную» систему B, которая, как предполагалось, была присоединена к A в двух точках на ее поверхности:

1. Для каждого проводника А, внутри которого электродвижущие силы распределены произвольно, на его поверхности можно задать определенное распределение электродвижущих сил, которое будет создавать такие же токи, как и внутренние силы А в каждом приложенном проводнике В.
2. Напряжения и составляющие тока внутри проводника А при присоединении внешней цепи равны сумме напряжений и составляющих тока, возникающих в нем при отсутствии присоединенной цепи, и составляющих тока на поверхности.
3. Различные способы распределения электродвижущих сил на поверхности проводника А, которые должны давать те же производные токи, что и его внутренние силы, могут отличаться только разностью, имеющей одинаковое постоянное значение во всех точках поверхности.

Из этого Гельмгольц вывел свой окончательный результат (стр. 222):

Если к любому линейному проводнику подключить физический проводник с постоянными электродвижущими силами в двух определенных точках его поверхности, то на его место всегда можно подставить линейный проводник с определенной электродвижущей силой и определенным сопротивлением, который во всех применяемых линейных проводниках возбуждал бы точно такие же токи, как и физический. ... Сопротивление заменяемого линейного проводника равно сопротивлению тела при пропускании через него тока из двух точек входа линейного проводника.

Затем он отметил, что его результат, полученный для общей «физической системы», применим также к «линейным» (в геометрическом смысле) цепям, подобным тем, которые рассматривал Кирхгоф:

То, что применимо к каждому физическому проводнику, применимо и к частному случаю разветвленной линейной токовой системы. Даже если две определенные точки такой системы соединены с любыми другими линейными проводниками, она ведет себя по сравнению с ними как линейный проводник определенного сопротивления, величина которого может быть найдена по известным правилам для разветвленных линий, и определенной электродвижущей силы, которая задается разностью напряжений производных точек, как она существовала до добавления цепи.

Эта формулировка теоремы по сути совпадает с формулировкой Тевенена, опубликованной 30 лет спустя.

Расчет эквивалента Тевенина

Эквивалентная схема представляет собой источник напряжения с напряжением V _th последовательно с сопротивлением R _th .

Эквивалентное напряжение Тевенина V _th — это напряжение разомкнутой цепи на выходных клеммах исходной схемы. При расчете эквивалентного напряжения Тевенина часто бывает полезен принцип делителя напряжения , когда один терминал объявляется как V _out , а другой — как точка заземления.

Эквивалентное сопротивление Тевенина R _Th — это сопротивление, измеренное между точками A и B, «смотря назад» в цепь. Сопротивление измеряется после замены всех источников напряжения и тока на их внутренние сопротивления. Это означает, что идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока заменяется разомкнутой цепью. Затем сопротивление можно рассчитать на клеммах, используя формулы для последовательных и параллельных цепей . Этот метод действителен только для цепей с независимыми источниками. Если в цепи есть зависимые источники , необходимо использовать другой метод, например, подключить тестовый источник через A и B и рассчитать напряжение или ток через тестовый источник.

В качестве мнемоники замены Тевенина для источников напряжения и тока можно запомнить, поскольку значения источников (то есть их напряжение или ток) устанавливаются на ноль. Источник напряжения с нулевым значением создаст разность потенциалов в ноль вольт между своими клеммами, как это делает идеальное короткое замыкание с двумя соприкасающимися проводами; поэтому источник заменяется коротким замыканием. Аналогично, источник тока с нулевым значением и разомкнутая цепь пропускают нулевой ток.

Пример

Рис. 3.

1. Оригинальная схема
2. Эквивалентное напряжение
3. Эквивалентное сопротивление
4. Эквивалентная схема

В примере вычисляется эквивалентное напряжение: (Обратите внимание, что R ₁ не учитывается, поскольку приведенные выше расчеты выполняются в условиях разомкнутой цепи между A и B , поэтому через эту часть ток не протекает, что означает отсутствие тока через R ₁ и, следовательно, отсутствие падения напряжения вдоль этой части.) $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}}$$

Расчет эквивалентного сопротивления ( R _x || R _y — общее сопротивление двух параллельных резисторов ): $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

Конвертация в эквивалент Norton

Рис. 4. Преобразование Нортона-Тевенина

Эквивалентная схема Нортона связана с эквивалентной схемой Тевенена следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}}$$

Практические ограничения

• Многие схемы линейны только в определенном диапазоне значений, поэтому эквивалент Тевенена действителен только в пределах этого линейного диапазона.
• Эквивалент Тевенена имеет эквивалентную вольт-амперную характеристику только с точки зрения нагрузки.
• Рассеиваемая мощность эквивалента Тевенина не обязательно идентична рассеиваемой мощности реальной системы. Однако рассеиваемая мощность внешним резистором между двумя выходными клеммами одинакова независимо от того, как реализована внутренняя схема.

В трехфазных цепях

В 1933 году А. Т. Старр опубликовал обобщение теоремы Тевенена в статье журнала Institute of Electrical Engineers Journal под названием «Новая теорема для активных сетей » ^[13], в которой утверждалось, что любая трехполюсная активная линейная сеть может быть заменена тремя источниками напряжения с соответствующими сопротивлениями, соединенными по схеме «звезда» или «треугольник» .

Смотрите также

• Теорема о дополнительном элементе
• Теорема о передаче максимальной мощности
• Теорема Миллмана
• Преобразование источника

Ссылки

1. фон Гельмгольц, Герман (1853). «Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche» [Некоторые законы распределения электрических токов в проводниках с применением к экспериментам с животным электричеством]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 89 (6): 211–233. Бибкод : 1853AnP...165..211H. дои : 10.1002/andp.18531650603.
2. Тевенен, Леон Шарль (1883). «Распространение закона Ома на сложные электродвижущие цепи». Телеграфные Анналы . 3 ^серия (на французском языке). 10 : 222–224.
3. Тевенен, Леон Шарль (1883). «Sur un nouveau theorème d'électricité dynamicque» [О новой теореме динамического электричества]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 97 : 159–161.
4. Джонсон, Дон Х. (2003). "Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника напряжения" (PDF) . Труды IEEE . 91 (4): 636–640. doi :10.1109/JPROC.2003.811716. hdl : 1911/19968 .
5. Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника тока» (PDF) . Труды IEEE . 91 (5): 817–821. doi :10.1109/JPROC.2003.811795.
6. Бриттен, Джеймс Э. (март 1990 г.). «Теорема Тевенина». IEEE Spectrum . 27 (3): 42. doi :10.1109/6.48845. S2CID  2279777. Получено 01.02.2013 .
7. Дорф, Ричард К .; Свобода, Джеймс А. (2010). "Глава 5: Теоремы о цепях". Введение в электрические цепи (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons . стр. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1.
8. Бреннер, Эгон; Джавид, Мансур (1959). «Глава 12: Сетевые функции». Анализ электрических цепей. McGraw-Hill . С. 268–269.
9. Elgerd, Olle Ingemar [на немецком языке] (2007). "Глава 10: Переходные процессы в энергосистеме - Явления перенапряжения и анализ симметричных неисправностей". Теория электроэнергетических систем: Введение. Tata McGraw-Hill . С. 402–429. ISBN 978-0-07019230-0.
10. Дуайт, Герберт Бристоль (1949). «Раздел 2: Электрические и магнитные цепи». В Knowlton, Archer E. (ред.). Стандартный справочник для инженеров-электриков (8-е изд.). McGraw-Hill . стр. 26.
11. Малоберти, Франко; Дэвис, Энтони С. (2016). Краткая история схем и систем . Делфт: River Publishers. стр. 37. ISBN 978-87-93379-71-8.
12. Кирхгоф, Густав (1848). «Ueber die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme Lineer Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht Linearen Leitern Bestehen» [О применимости формул для интенсивностей гальванических токов в системе линейных проводников к системы, частично состоящие из нелинейных проводников]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 75 : 189–205. дои : 10.1002/andp.18481511003.
13. Starr, AT (1933). «Новая теорема для активных сетей». Журнал Института инженеров-электриков . 73 (441): 303–308. doi :10.1049/jiee-1.1933.0129.

Дальнейшее чтение

• Веннер, Франк (1926). «Принцип, управляющий распределением тока в системах линейных проводников». Труды Физического общества . 39 (1). Вашингтон, округ Колумбия: Бюро стандартов : 124–144. Bibcode : 1926PPS....39..124W. doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311. hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Научная статья S531.
• Фильтры первого порядка: сокращение с помощью эквивалентного источника Тевенина – на стр. 4 показано упрощение теоремы Тевенина для сложной схемы до фильтра нижних частот первого порядка и связанного с ним делителя напряжения , постоянной времени и коэффициента усиления .

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с теоремой Тевенена на Wikimedia Commons