Теорема о представлении Мартингейла

В теории вероятностей теорема о представлении мартингала утверждает, что случайная величина, измеримая относительно фильтрации, порожденной броуновским движением, может быть записана в терминах интеграла Ито относительно этого броуновского движения.

Теорема лишь утверждает существование представления и не помогает найти его явно; во многих случаях можно определить вид представления, используя исчисление Маллявэна .

Аналогичные теоремы существуют также для мартингалов на фильтрациях, вызванных скачкообразными процессами , например, цепями Маркова .

Заявление

Пусть будет броуновским движением на стандартном фильтрованном вероятностном пространстве и пусть будет расширенной фильтрацией, сгенерированной . Если X — квадратично интегрируемая случайная величина, измеримая относительно , ​​то существует предсказуемый процесс C , который адаптирован относительно таким образом, что ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

Следовательно,

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

Применение в финансах

Теорема о представлении мартингала может быть использована для установления существования стратегии хеджирования . Предположим, что — процесс Q-мартингала, волатильность которого всегда не равна нулю. Тогда, если — любой другой Q-мартингал, то существует -предвидимый процесс , уникальный вплоть до множеств меры 0, такой, что с вероятностью единица, и N можно записать как: ${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

Стратегия репликации определяется следующим образом:

• удерживать единицы запаса в момент времени t , и ${\displaystyle \varphi _{t}}$
• удерживать единицы облигации. ${\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}$

где — цена акций, дисконтированная по цене облигации на момент времени , а — ожидаемая выплата опциона на момент времени . ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle t}$

На дату истечения срока T стоимость портфеля составляет:

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

и легко проверить, что стратегия является самофинансируемой: изменение стоимости портфеля зависит только от изменения цен активов . ${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$

Смотрите также

• Обратное стохастическое дифференциальное уравнение

Ссылки

• Монтин, Бенуа. (2002) «Стохастические процессы, применяемые в финансах» ^{[ необходима полная цитата ]}
• Эллиот, Роберт (1976) «Стохастические интегралы для мартингалов переходного процесса с частично доступным временем перехода», Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 36, 213–226