Мощность точки

Относительное расстояние точки от окружности

Геометрическое значение

В элементарной планиметрии степень точки — это действительное число , которое отражает относительное расстояние данной точки от данной окружности. Она была введена Якобом Штайнером в 1826 году. ^[1]

В частности, мощность точки по отношению к окружности с центром и радиусом определяется как ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

Если находится вне круга, то , если находится на круге, то и если находится внутри круга, то . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)>0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)=0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$

Благодаря теореме Пифагора число имеет простой геометрический смысл, показанный на схеме: Для точки вне окружности это квадрат тангенциального расстояния точки до окружности . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle |PT|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Точки с одинаковой мощностью, изолинии , являются окружностями , концентрическими окружности . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle c}$

Штейнер использовал силу точки для доказательства нескольких утверждений об окружностях, например:

• Определение окружности, пересекающей четыре окружности под одним и тем же углом. ^[2]
• Решение проблемы Аполлония
• Построение окружностей Мальфатти : ^[3] Для данного треугольника определить три окружности, которые касаются друг друга и двух сторон треугольника каждая.
• Сферическая версия задачи Малфатти: ^[4] Треугольник является сферическим.

Основными инструментами для исследования окружностей являются радикальная ось двух окружностей и радикальный центр трех окружностей.

Диаграмма мощности набора окружностей делит плоскость на области, внутри которых окружность, минимизирующая мощность, постоянна.

В более общем плане французский математик Эдмон Лагерр аналогичным образом определил мощность точки по отношению к любой алгебраической кривой.

Геометрические свойства

Помимо свойств, упомянутых в заголовке, имеются и другие свойства:

Ортогональная окружность

Ортогональный круг (зеленый)

Для любой точки вне окружности существуют две точки касания на окружности , которые находятся на одинаковом расстоянии до . Следовательно, окружность с центром через также проходит и пересекает ортогонально: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle c}$

• Окружность с центром и радиусом пересекает окружность под прямым углом . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle c}$

Угол между двумя окружностями

Если радиус окружности с центром отличается от , то угол пересечения между двумя окружностями определяется по теореме косинусов (см. рисунок): ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

( и являются нормалями к касательным окружности.) ${\displaystyle PS_{1}}$ ${\displaystyle OS_{1}}$

Если лежит внутри синего круга, то и всегда отлично от . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$

Если угол дан, то радиус получается путем решения квадратного уравнения ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Теорема о пересекающихся секущих, Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о секущей и хорде

Для теоремы о пересекающихся секущих и теоремы о хордах степень точки играет роль инварианта :

• Теорема о пересекающихся секущих : Для точки вне окружности и точек пересечения секущей со следующим утверждением верно: , следовательно, произведение не зависит от прямой . Если является касательной, то и утверждение — теорема о касательной-секущей . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• Теорема о пересекающихся хордах : Для точки внутри окружностии точек пересечениясекущей прямойсправедливоследующее утверждение:, следовательно, произведение не зависит от прямой. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$

Радикальная ось

Пусть будет точка и две неконцентрические окружности с центрами и радиусами . Точка имеет степень относительно окружности . Множество всех точек с является прямой, называемой радикальной осью . Она содержит возможные общие точки окружностей и перпендикулярна прямой . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$ ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

Теорема о секущих, теорема о хордах: общее доказательство

Теорема о секущей/хорде: доказательство

Обе теоремы, включая теорему о касательной и секущей , можно доказать единообразно:

Пусть будет точкой, окружностью с началом координат в качестве ее центра и произвольным единичным вектором . Параметры возможных общих точек прямой (через ) и окружности можно определить, подставив параметрическое уравнение в уравнение окружности: ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

Из теоремы Виета следует:

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$. (независимо от ) ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$это степень относительно окружности . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Из-за этого получаем следующее утверждение по точкам : ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$, если находится вне круга, ${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$, если находится внутри круга ( имеют разные знаки!). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

В случае, если прямая является касательной, а квадрат тангенциального расстояния от точки до окружности . ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Точки подобия, общая мощность двух окружностей

Точки сходства

Точки подобия являются важным инструментом для исследований Штайнера на окружностях. ^[5]

Даны два круга

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ .}$

Гомотетия ( подобие ) , которая отображается на растяжения (толчки) радиусом в и имеет свой центр на линии , так как . Если центр находится между , то масштабный коэффициент равен . В другом случае . В любом случае: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

Вставляем и решаем для получения выходов: ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

Точки подобия двух окружностей: различные случаи

Точка называется точкой внешнего подобия , а точка называется точкой внутреннего подобия . $${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$ $${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

В случае получим . В случае : — точка на бесконечности прямой , а — центр . В случае окружностей касаются друг друга в точке внутри (обе окружности по одну сторону от общей касательной). В случае окружностей касаются друг друга в точке снаружи (обе окружности по разные стороны от общей касательной). ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle E=I=M_{i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$ ${\displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$ ${\displaystyle I}$

Более того:

• Если окружности не пересекаются (круги не имеют общих точек), то внешние общие касательные пересекаются в точке , а внутренние — в точке . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$
• Если один круг содержится внутри другого , то точки лежат внутри обоих кругов. ${\displaystyle E,I}$
• Пары проективно гармонически сопряжены : Их перекрестное отношение равно . ${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

Теорема Монжа гласит: Внешние точки подобия трех непересекающихся окружностей лежат на одной прямой.

Общая мощность двух кругов

Точки подобия двух окружностей и их общая сила

Пусть будут две окружности, их внешняя точка подобия и прямая, проходящая через , которая пересекает две окружности в четырех точках . Из определяющего свойства точки получаем ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

и из теоремы о секущих (см. выше) два уравнения

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

Объединение этих трех уравнений дает: Следовательно: (независимо от линии  !). Аналогичное утверждение для внутренней точки подобия также верно. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$

Инварианты Штейнер называет общей силой двух кругов ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^[6] ${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

Пары и точек являются антигомологичными точками. Пары и являются гомологичными . ^{[7] [8]} ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

Определение окружности, касающейся двух окружностей

Общая сила двух кругов: применение

Окружности, касающиеся двух окружностей

Для второй секущей через : ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Из теоремы о секущих получаем:

Четыре точки лежат на окружности. ${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

И аналогично:

Четыре точки также лежат на окружности. ${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

Поскольку радикальные линии трех окружностей пересекаются в радикале (см. статью радикальная линия), то получается:

Секущие пересекаются на радикальной оси данных двух окружностей. ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

Перемещая нижнюю секущую (см. диаграмму) к верхней, красный круг становится окружностью, касающейся обеих данных окружностей. Центр касательной окружности является точкой пересечения прямых . Секущие становятся касательными в точках . Касательные пересекаются в радикальной прямой (на диаграмме желтой). ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Аналогичные рассуждения порождают вторую касательную окружность, которая пересекает заданные окружности в точках (см. рисунок). ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

Все касающиеся окружности к данным окружностям можно найти, варьируя прямую . ${\displaystyle g}$

Позиции центров

Окружности, касающиеся двух окружностей

Если — центр и радиус окружности, касающейся данных окружностей в точках , то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Следовательно: центры лежат на гиперболе с

очаги , ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

расстояние вершин ^{[ требуется разъяснение ]} , ${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

центр - это центр , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

линейный эксцентриситет и ${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$^{[ требуется разъяснение ]} .

Рассмотрение внешних касательных окружностей приводит к аналоговому результату:

Если — центр и радиус окружности, касающейся данных окружностей в точках , то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Центры лежат на той же гиперболе, но на правой ветви.

См. также Проблема Аполлония .

Мощность точки относительно сферы

Мощность относительно сферы

Идею мощности точки по отношению к окружности можно распространить на сферу. ^[9] Теоремы о секущих и хордах верны также и для сферы и могут быть доказаны буквально, как и в случае окружности.

продукт Дарбу

Степень точки является частным случаем произведения Дарбу между двумя окружностями, которое задается формулой ^[10]

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

где A ₁ и A ₂ — центры двух окружностей, а r ₁ и r ₂ — их радиусы. Степень точки возникает в частном случае, когда один из радиусов равен нулю.

Если две окружности ортогональны, произведение Дарбу равно нулю.

Если две окружности пересекаются, то их произведение Дарбу равно

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

где φ — угол пересечения (см. раздел ортогональная окружность ).

Теорема Лагерра

Лагерр определил мощность точки P относительно алгебраической кривой степени n как сумму расстояний от точки до пересечений окружности через точку с кривой, деленную на n- ю степень диаметра d . Лагерр показал, что это число не зависит от диаметра (Laguerre 1905). В случае, когда алгебраическая кривая является окружностью, это не совсем то же самое, что мощность точки относительно окружности, определенная в остальной части этой статьи, а отличается от нее на коэффициент d ² .

Ссылки

1. Якоб Штайнер: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, S. 164
2. Штайнер, стр. 163
3. Штайнер, стр. 178
4. Штайнер, стр. 182
5. Штайнер: стр. 170,171
6. Штайнер: стр. 175
7. Мишель Шасль, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Брауншвейг, 1856, стр. 312
8. Уильям Дж. Макклелланд: Трактат о геометрии окружности и некоторых расширениях конических сечений методом возвратно-поступательного движения , 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN  978-0-344-90374-8 , стр. 121,220
9. КП Гротемейер: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65/65A, Берлин 1962, S. 54
10. Пьер Ларошель, Дж. Майкл Маккарти: Труды симпозиума USCToMM 2020 по механическим системам и робототехнике , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3 , стр. 97 

• Коксетер, Х.С.М. (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley.
• Дарбу, Гастон (1872), «Sur les Relations Entre les Groupes de Points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392, doi : 10.24033 /asens.87.
• Лагерр, Эдмон (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (на французском языке), Gauthier-Villars et fils, стр. 20
• Штайнер, Якоб (1826). «Einige geometrischen Betrachtungen» [Некоторые геометрические соображения]. Журнал Крелля (на немецком языке). 1 : 161–184. дои : 10.1515/crll.1826.1.161. S2CID  122065577.Рисунки 8–26.
• Бергер , Марсель (1987), Геометрия I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

Дальнейшее чтение

• Огилви CS (1990), Экскурсии в геометрию , Dover Publications, стр. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Вашингтон : MAA , стр. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Джонсон РА (1960), Продвинутая евклидова геометрия: Элементарный трактат по геометрии треугольника и окружности (переиздание издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

Внешние ссылки

• Якоб Штайнер и сила точки схождения
• Вайсштейн, Эрик В. "Круговая мощность". MathWorld .
• Теорема о пересекающихся хордах в Cut-the-Knot
• Теорема о пересекающихся хордах с интерактивной анимацией
• Теорема о пересекающихся секущих с интерактивной анимацией