Разложение Хопфа

Тип математического метода

В математике разложение Хопфа , названное в честь Эберхарда Хопфа , дает каноническое разложение пространства с мерой ( X , μ) относительно обратимого невырожденного преобразования T : X → X , т. е. преобразования, которое вместе со своим обратным измеримо и переводит нулевые множества в нулевые множества. С точностью до нулевых множеств X можно записать как непересекающееся объединение C ∐ D T -инвариантных множеств, где действие T на C консервативно , а действие T на D диссипативно . Таким образом, если τ - автоморфизм A = L ^∞ ( X ), индуцированный T , существует единственная τ-инвариантная проекция p в A такая, что pA консервативно , а (I–p)A диссипативно.

Определения

• Блуждающие множества и диссипативные действия. Измеримое подмножество W множества X является блуждающим , если его характеристическая функция q = χ _W в A = L ^∞ ( X ) удовлетворяет q τ ⁿ ( q ) = 0 для всех n ; таким образом, вплоть до нулевых множеств, трансляции T ⁿ ( W ) попарно не пересекаются. Действие называется диссипативным, если X = ∐ T ⁿ ( W ) п.в. для некоторого блуждающего множества W .
• Консервативные действия. Если X не имеет блуждающих подмножеств положительной меры, действие называется консервативным .
• Несжимаемые действия. Действие называется несжимаемым , если всякий раз, когда измеримое подмножество Z удовлетворяет T ( Z ) ⊆ Z , то Z \ TZ имеет меру ноль. Таким образом, если q = χ _Z и τ( q ) ≤ q , то τ( q ) = q ae
• Рекуррентные действия. Действие T называется рекуррентным, если q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... ae для любого q = χ _Y .
• Бесконечно повторяющиеся действия. Действие T называется бесконечно повторяющимся , если q ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... ae для любого q = χ _Y и любого m ≥ 1.

Теорема о возвращении

Теорема. Если T — обратимое преобразование на пространстве с мерой ( X ,μ), сохраняющее нулевые множества, то следующие условия эквивалентны на T (или его обратном): ^[1]

1. T — консервативный ;
2. Т – рецидивирующий;
3. T бесконечно рекуррентен;
4. Т несжимаем.

Поскольку T диссипативен тогда и только тогда, когда T ⁻¹ диссипативен, то T консервативен тогда и только тогда, когда T ⁻¹ консервативен.

Если T консервативен, то r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... является блуждающим, так что если q < 1, то обязательно r = 0. Следовательно, q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, так что T рекуррентен.

Если T рекуррентен, то q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Теперь предположим по индукции, что q ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Тогда τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Следовательно, q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Таким образом, результат верен для k +1, и, таким образом, T бесконечно рекуррентен. Наоборот, по определению бесконечно повторяющееся преобразование является повторяющимся.

Теперь предположим, что T является рекуррентным. Чтобы показать, что T является несжимаемым, нужно показать, что если τ( q ) ≤ q , то τ( q ) ≤ q . Фактически в этом случае τ ⁿ ( q ) является убывающей последовательностью. Но по рекуррентности q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ , поэтому q ≤ τ( q ) и, следовательно, q = τ( q ).

Наконец, предположим, что T несжимаем. Если T не является консервативным, то в A существует p ≠ 0 с τ ⁿ ( p ) непересекающимся (ортогональным). Но тогда q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ удовлетворяет τ( q ) < q с q − τ( q ) = p ≠ 0 , что противоречит несжимаемости. Поэтому T является консервативным.

Разложение Хопфа

Теорема. Если T — обратимое преобразование на пространстве с мерой ( X , μ ), сохраняющее нулевые множества и индуцирующее автоморфизм τ множества A = L ^∞ ( X ), то существует единственный τ -инвариант p = χ _C в A, такой что τ является консервативным на pA = L ^∞ ( C ) и диссипативным на (1 −  p ) A = L ^∞ ( D ), где D =  X  \  C. ^[2 ]

Без потери общности можно предположить, что μ является вероятностной мерой. Если T консервативен, то доказывать нечего, так как в этом случае C = X . В противном случае для T существует блуждающее множество W . Пусть r = χ _W и q = ⊕ τ ⁿ ( r ). Таким образом, q является τ -инвариантным и диссипативным. Более того, μ ( q ) > 0. Очевидно, что ортогональная прямая сумма таких τ -инвариантных диссипативных q ′s также является τ -инвариантной и диссипативной; и если q является τ -инвариантным и диссипативным и r < q является τ -инвариантным, то r является диссипативным. Следовательно, если q ₁ и q ₂ являются τ -инвариантными и диссипативными, то q ₁ ∨ q ₂ является τ -инвариантным и диссипативным, так как q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 −  q ₁ ). Теперь пусть M будет супремумом всех μ ( q ) с q τ -инвариантным и диссипативным. Возьмем q _n τ -инвариантное и диссипативное такое, что μ ( q _n ) возрастает до M . Заменяя q _n на q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n , можно предположить, что q _n возрастает до q , скажем. По непрерывности q является τ -инвариантным и μ ( q ) = M . По максимальности p = I − q является консервативным. Единственность очевидна, поскольку ни один τ -инвариант r < p не является диссипативным, а каждый τ -инвариант r < q является диссипативным.

Следствие. Разложение Хопфа для T совпадает с разложением Хопфа для T ⁻¹ .

Поскольку преобразование диссипативно на пространстве с мерой тогда и только тогда, когда его обратное диссипативно, диссипативные части T и T ⁻¹ совпадают. Следовательно, совпадают и консервативные части.

Следствие. Разложение Хопфа для T совпадает с разложением Хопфа для T ⁿ при n > 1.

Если W — блуждающее множество для T, то оно является блуждающим множеством для T ⁿ . Таким образом, диссипативная часть T содержится в диссипативной части T ⁿ . Пусть σ = τ ⁿ . Чтобы доказать обратное, достаточно показать, что если σ диссипативно, то τ диссипативно. Если нет, то, используя разложение Хопфа, можно предположить, что σ диссипативно, а τ консервативно. Предположим, что p — ненулевая блуждающая проекция для σ. Тогда τ ^a ( p ) и τ ^b ( p ) ортогональны для различных a и b в одном и том же классе конгруэнтности по модулю n . Возьмем множество τ ^a ( p ) с ненулевым произведением и максимальным размером. Таким образом, | S | ≤ n . По максимальности r является блуждающим для τ, противоречие.

Следствие. Если обратимое преобразование T действует эргодически, но нетранзитивно на пространстве с мерой ( X , μ ), сохраняя нулевые множества, и B является подмножеством с μ ( B ) > 0, то дополнение к B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ имеет меру нуль.

Обратите внимание, что эргодичность и нетранзитивность подразумевают, что действие T консервативно и, следовательно, бесконечно рекуррентно. Но тогда B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ... для любого m ≥ 1. Применяя T ^{− m} , следует, что T ^{− m} ( B ) лежит в Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ для любого m > 0. По эргодичности μ ( X \ Y ) = 0.

Разложение Хопфа для несингулярного потока

Пусть ( X ,μ) — мерное пространство, а S _{t —} несингулярный поток на X, индуцирующий 1-параметрическую группу автоморфизмов σ _t множества A = L ^∞ ( X ). Будем предполагать, что действие является точным, так что σ _t является тождеством только для t = 0. Для каждого S _t или, что эквивалентно, σ _t с t ≠ 0 существует разложение Хопфа, так что p _t фиксируется σ _t таким образом, что действие является консервативным на p _t A и диссипативным на (1− p _t ) A .

• Для s , t ≠ 0 консервативная и диссипативная части S _s и S _t совпадают, если s / t рационально. ^[3]

Это следует из того факта, что для любого невырожденного обратимого преобразования консервативная и диссипативная части T и T ⁿ совпадают при n ≠ 0.

• Если S ₁ диссипативно на A = L ^∞ ( X ), то существует инвариантная мера λ на A и p в A такая, что

1. p > σt ₍ p ) для всех t > 0
2. λ( p – σ _t ( p )) = t для всех t > 0
3. σ _t ( p ) 1 при t стремится к −∞ и σ _t ( p ) 0 при t стремится к +∞. ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$

Пусть T = S ₁ . Возьмем q блуждающее множество для T так, что ⊕ τ ⁿ ( q ) = 1. Изменив μ на эквивалентную меру, можно предположить, что μ( q ) = 1, так что μ ограничивается вероятностной мерой на qA . Перенося эту меру в τ ⁿ ( q ) A , можно далее предположить, что μ является τ-инвариантным на A . Но тогда λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ _t dt — эквивалентная σ-инвариантная мера на A , которую можно масштабировать при необходимости так, чтобы λ( q ) = 1. r в A , которые блуждают для Τ (или τ) с ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1, легко описываются: они задаются как r = ⊕ τ ⁿ ( q _n ), где q = ⊕ q _n — разложение q . В частности, λ( r ) = 1. Более того, если p удовлетворяет p > τ( p ) и τ ^{– n} ( p ) 1, то λ( p – τ( p )) = 1, применяя результат к r = p – τ( p ). Те же рассуждения показывают, что, наоборот, если r является блуждающим для τ и λ( r ) = 1, то ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 . ${\displaystyle \uparrow }$

Пусть Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ так что τ ^k ( Q ) < Q для k ≥ 1. Тогда a = ∫^∞
₀σt ( q ) dt = _{Σk ≥0} ∫_​¹
₀σk _{+ t} ( _q ) dt = ∫¹
₀σ _t ( Q ) dt так, что 0 ≤ a ≤ 1 в A. По определению σ _s ( a ) ≤ a для s ≥ 0, так как a − σ _s ( a ) = ∫^∞
_сσ _t ( q ) dt . Те же формулы показывают, что σ _s ( a ) стремится к 0 или 1, когда s стремится к +∞ или −∞. Положим p = χ _[ε,1] (a) для 0 < ε < 1. Тогда σ _s ( p ) = χ _[ε,1] (σ _s ( a )). Отсюда немедленно следует, что σ _s ( p ) ≤ p для s ≥ 0. Более того, σ _s ( p ) 0, когда s стремится к +∞, и σ _s ( p ) 1, когда s стремится к − ∞. Первая предельная формула следует, поскольку 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). Теперь то же самое рассуждение можно применить к τ ⁻¹ , σ _{− t} , τ ⁻¹ ( q ) и 1 – ε вместо τ, σ _t , q и ε. Тогда легко проверить, что величины, соответствующие a и p, равны 1 − a и 1 − p . Следовательно, σ _{− t} (1− p ) 0 при t, стремящемся к ∞. Следовательно, σ _s ( p ) 1 при s, стремящемся к − ∞. В частности, p ≠ 0 , 1. ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle \uparrow }$

Итак, r = p − τ( p ) является блуждающим для τ и ⊕ τ ^k ( r ) = 1. Следовательно, λ( r ) = 1. Отсюда следует, что λ( p −σ _s ( p ) ) = s для s = 1/ n и, следовательно, для всех рациональных s > 0. Поскольку семейство σ _s ( p ) является непрерывным и убывающим, по непрерывности та же формула верна и для всех действительных s > 0. Следовательно, p удовлетворяет всем заявленным условиям.

• Консервативная и диссипативная части S _t при t ≠ 0 не зависят от t . ^[4]

Предыдущий результат показывает, что если S _t диссипативен на X для t ≠ 0, то таков же и каждый S _s для s ≠ 0. По уникальности S _t и S _s сохраняют диссипативные части друг друга. Следовательно, каждый диссипативен на диссипативной части другого, поэтому диссипативные части согласуются. Следовательно, консервативные части согласуются.

Смотрите также

• Эргодический поток

Примечания

1. Кренгель 1985, стр. 16–17
2. Кренгель 1985, стр. 17–18.
3. Кренгель 1985, стр. 18
4. Кренгель 1968, стр. 183

Ссылки

• Ааронсон, Джон (1997), Введение в бесконечную эргодическую теорию , Математические обзоры и монографии, т. 50, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0494-4
• Хопф, Эберхард (1937), Ergodentheorie (на немецком языке), Springer
• Кренгель, Ульрих (1968), «Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I», Math. Аннален (на немецком языке), 176 : 181–190.
• Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 6, де Грюйтер, ISBN 3-11-008478-3