В математике теория Галуа Гротендика представляет собой абстрактный подход к теории Галуа полей, разработанный около 1960 года, чтобы обеспечить способ изучения фундаментальной группы алгебраической топологии в контексте алгебраической геометрии . Она обеспечивает, в классическом контексте теории поля , альтернативную перспективу Эмиля Артина , основанную на линейной алгебре , которая стала стандартной примерно с 1930-х годов.
Подход Александра Гротендика касается теоретико-категорных свойств, характеризующих категории конечных G -множеств для фиксированной проконечной группы G . Например, G может быть группой, обозначенной (см. проконечное целое число ), которая является обратным пределом циклических аддитивных групп Z / n Z — или, что эквивалентно, пополнением бесконечной циклической группы Z для топологии подгрупп конечного индекса . Тогда конечное G -множество — это конечное множество X , на котором G действует через фактор-конечную циклическую группу, так что оно задается путем задания некоторой перестановки X .
В приведенном выше примере связь с классической теорией Галуа можно увидеть, рассматривая как проконечную группу Галуа Gal( F / F ) алгебраического замыкания F любого конечного поля F над F . То есть автоморфизмы F , фиксирующие F , описываются обратным пределом, поскольку мы берем все большие и большие конечные поля расщепления над F . Связь с геометрией можно увидеть, когда мы рассматриваем покрывающие пространства единичного круга в комплексной плоскости с удаленным началом координат: конечное покрытие, реализуемое отображением z n круга, мыслимым посредством комплексной числовой переменной z , соответствует подгруппе n . Z фундаментальной группы проколотого круга.
Теория Гротендика, опубликованная в SGA1 , показывает, как восстановить категорию G -множеств из функтора слоя Φ, который в геометрической постановке берет слой покрытия над фиксированной базовой точкой (как множество). Фактически, доказан изоморфизм типа
последняя является группой автоморфизмов (самоестественных эквивалентностей ) Φ. Дана абстрактная классификация категорий с функтором в категорию множеств, с помощью которой можно распознать категории G -множеств для G проконечной.
Чтобы увидеть, как это применимо к случаю полей, нужно изучить тензорное произведение полей . В теории топосов это часть изучения атомных топосов .
