Разделение поля

Поле, порожденное всеми полями разрыва полинома над полем

В абстрактной алгебре полем расщепления многочлена с коэффициентами в поле называется наименьшее расширение поля этого поля, по которому многочлен расщепляется , т. е . разлагается на линейные множители.

Определение

Поле разложения многочлена p ( X ) над полем K — это расширение поля L поля K , над которым p разлагается на линейные множители

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})}$

где и для каждого мы имеем с a _i не обязательно различными и такими, что корни a _i порождают L над K . Тогда расширение L является расширением минимальной степени над K, в котором p расщепляется. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и являются единственными с точностью до изоморфизма . Количество свободы в этом изоморфизме известно как группа Галуа p (если мы предполагаем, что она сепарабельна ). ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X-a_{i}\in L[X]}$

Поле разбиения множества P многочленов — это наименьшее поле, по которому разбивается каждый из многочленов P.

Характеристики

Расширение L , являющееся полем разбиения для множества многочленов p ( X ) над K, называется нормальным расширением K .

Если задано алгебраически замкнутое поле A, содержащее K , то существует единственное поле расщепления L поля p между K и A , порожденное корнями p . Если K является подполем комплексных чисел , существование очевидно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «переходом к пределу» из результата о поле расщепления, что, следовательно, требует независимого доказательства, чтобы избежать круговых рассуждений .

При наличии сепарабельного расширения K ′ поля K замыкание Галуа L поля K ′ является типом поля расщепления, а также расширением Галуа поля K, содержащим K ′, которое является минимальным в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K элементов поля K ′.

Построение полей расщепления

Мотивация

Нахождение корней многочленов было важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые многочлены, такие как x ² + 1 над R , действительными числами , не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Строительство

Пусть F — поле, а p ( X ) — многочлен в кольце многочленов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля расщепления p ( X ) над F , заключается в построении цепочки полей, такой что K _i является расширением K _{i  −1 ,} содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, построение потребует не более n расширений. Шаги построения K _i приведены ниже: ${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$

• Разложим p ( X ) над K _i на неприводимые множители . ${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$
• Выберите любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ).
• Построим расширение поля K _{i  +1} поля K _i как фактор-кольцо K _{i  +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )), где ( f ( X )) обозначает идеал в K _i [ X ], порожденный f ( X ).
• Повторяйте процесс для K _{i  +1} до тех пор, пока p ( X ) полностью не разложится на множители.

Неприводимый фактор f ( X ), используемый в построении фактора, может быть выбран произвольно. Хотя разный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля расщепления будут изоморфны.

Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) является максимальным идеалом K _i [ X ] и K _i [ X ] / ( f ( X )) является, по сути, полем, полем вычетов для этого максимального идеала. Более того, если мы допустим, что будет естественной проекцией кольца на его фактор, то ${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).

Степень единичного расширения равна степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K  : F ] определяется как и не превышает n !. ${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$ ${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$

ПолеКя [Х]/(ф(Х))

Как упоминалось выше, фактор-кольцо K _{i  +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

где c _j находятся в K _i и α = π ( X ). (Если рассматривать K _{i  +1} как векторное пространство над K _{i ,} то степени α ^j для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис .)

Элементы K _{i  +1} можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K _{i  +1} задается правилами сложения многочленов, а умножение задается умножением многочленов по модулю f ( X ). То есть для g ( α ) и h ( α ) в K _{i  +1} их произведение равно g ( α ) h ( α ) = r (α), где r ( X ) — остаток от g ( X ) h ( X ) при делении на f ( X ) в K _i [ X ].

Остаток r ( X ) можно вычислить с помощью полиномиального деления в столбик ; однако существует также простое правило сокращения, которое можно использовать для вычисления r ( α ) = g ( α ) h ( α ) напрямую. Сначала пусть

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

Многочлен находится над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без потери общности . Теперь α является корнем f ( X ), поэтому

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Если произведение g ( α ) h ( α ) имеет член α ^m с m ≥ n, то его можно сократить следующим образом:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})}$.

В качестве примера правила редукции возьмем K _i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X ⁷ − 2. Пусть и h ( α ) = α ³ +1 будут двумя элементами Q [ X ]/( X ⁷ − 2). Правило редукции, заданное f ( X ), таково : α ⁷ = 2, поэтому ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Примеры

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов R [ x ] и неприводимый многочлен x ² + 1. Фактор -кольцо R [ x ] / ( x ² + 1) задается сравнением x 2 ^≡ −1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) кольца R [ x ] / ( x ² + 1) имеют вид a + bx , где a и b принадлежат R . Чтобы увидеть это, заметим, что поскольку x ² ≡ −1, то x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. д.; и так, например, p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .

Операции сложения и умножения задаются сначала с использованием обычного сложения и умножения многочленов, а затем сокращения по модулю x ² + 1 , т.е. с использованием того факта, что x ² ≡ −1 , x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т.д. Таким образом:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулой

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Мы утверждаем, что как поле фактор-кольцо R [ x ] / ( x ² + 1) изоморфно комплексным числам , C . Общее комплексное число имеет вид a + bi , где a и b — действительные числа и i ² = −1. Сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Если мы отождествим a + bi с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулой

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Предыдущие вычисления показывают, что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ x ] / ( x ² + 1) и C . Фактически, мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x ² + 1) и C , заданное как a + bx → a + bi, является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Также очевидно, что отображение a + bx → a + bi является как инъективным , так и сюръективным ; это означает, что a + bx → a + bi является биективным гомоморфизмом, т. е. изоморфизмом . Из этого следует, что, как утверждается: R [ x ] / ( x ² + 1) ≅ C .

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел. ^[1]

Кубический пример

Пусть K — поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x ³ − 2 . Каждый корень из p равен ³ √ 2 умноженному на кубический корень из единицы . Поэтому, если мы обозначим кубические корни из единицы как

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

любое поле, содержащее два различных корня p, будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное является примитивным кубическим корнем из единицы — либо , либо . Отсюда следует, что поле расщепления L из p будет содержать ω ₂ , а также действительный кубический корень из 2; наоборот , любое расширение Q , содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом, ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

Обратите внимание, что применение процесса построения, описанного в предыдущем разделе, к этому примеру начинается с и строится поле . Это поле не является полем расщепления, но содержит один (любой) корень. Однако многочлен не является неприводимым над и фактически: ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$ ${\displaystyle Y^{3}-2}$ ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Обратите внимание, что не является неопределенным , а фактически является элементом . Теперь, продолжая процесс, мы получаем , которое действительно является полем расщепления и охватывается -базисом . Обратите внимание, что если мы сравним это с вышеизложенным, то мы можем идентифицировать и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

Другие примеры

• Поле разложения x ^q − x над F _p является единственным конечным полем F _q для q = p ⁿ . ^[2] Иногда это поле обозначается как GF( q ).

• Поле разложения x ² + 1 над F ₇ равно F ₄₉ ; многочлен не имеет корней в F ₇ , т. е. −1 не является там квадратом , поскольку 7 не сравнимо с 1 по модулю 4. ^[3]

• Поле разложения x ² − 1 над F ₇ равно F ₇ , поскольку x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) уже разлагается на линейные множители.

• Вычислим поле расщепления f ( x ) = x ³ + x + 1 над F ₂ . Легко проверить, что f ( x ) не имеет корней в F ₂ ; следовательно, f ( x ) неприводима в F ₂ [ x ]. Положим r = x + ( f ( x )) в F ₂ [ x ]/( f ( x )), так что F ₂ ( r  ) является полем и x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + ax + b ) в F ₂ ( r  )[ x ]. Обратите внимание, что мы можем записать + вместо −, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r ² . Элементы F ₂ ( r  ) можно перечислить как c + dr + er ² , где c , d , e находятся в F ₂ . Имеется восемь элементов: 0, 1, ^r , 1 + r , r2 ^, 1 + r2 , r + ^{r2  и} 1 + r + r2 ^. Подставляя их в x2 + rx + 1 + r2 , получаем ( ^r2 ) 2 ⁺ r ( ^{r2  )} + 1 + r2 = r4 + r3 + 1 ⁺ r2 = ⁰ , поэтому ^{x3 +} x + 1 = ( ^x + r ) ( x ⁺ r2 ) ( x + ( r + ^r2)) для r в F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r  ) — поле разложения x ³ + x + 1 над F ₂ .

Примечания

1. Коши, Огюстен-Луи (1847), «Mémoire sur la theorie des équivalences algebriques, substituée à la theorie des imaginaires», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 24 : 1120–1130
2. Серр, Жан-Пьер . Курс арифметики .
3. Вместо применения этой характеристики нечетных простых модулей, для которых −1 является квадратом, можно было бы просто проверить, что множество квадратов в F ₇ является множеством классов 0, 1, 4 и 2, которое не включает класс −1 ≡ 6.

Ссылки

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 . 
• «Разбиение поля многочлена», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Разделение поля". MathWorld .