Линейная нестационарная система

Математическая модель, которая является одновременно линейной и неизменной во времени.

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции и временную инвариантность для детерминированной системы с непрерывным временем, одним входом и одним выходом. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и является инвариантной во времени тогда и только тогда, когда y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ₀ ) + a ₂ y ₂ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных константы a ₁ , a ₂ , t ₀ и для всех входов x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . ^[1] Щелкните изображение, чтобы развернуть его.

В системном анализе , среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени ( LTI ) система — это система , которая создает выходной сигнал из любого входного сигнала, подчиняющегося ограничениям линейности и инвариантности во времени ; эти термины кратко определены ниже. Эти свойства применимы (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае реакция y ( t ) системы на произвольный входной сигнал x ( t ) может быть найдена непосредственно с помощью свертки : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) , где h ( t ) называется импульсной характеристикой системы, а ∗ представляет собой свертку (не путать с умножением). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определение h ( t ) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов , конденсаторов , катушек индуктивности и линейных усилителей . ^[2]

Линейная теория систем, не зависящая от времени, также используется при обработке изображений , где системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы можно назвать линейными трансляционно-инвариантными , чтобы придать терминологии наиболее общий охват. В случае общих систем с дискретным временем (т. е. дискретных ) соответствующим термином является линейный инвариант сдвига . Теория систем LTI — это область прикладной математики , которая имеет прямое применение в анализе и проектировании электрических схем , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления , машиностроении , обработке изображений , разработке различных измерительных приборов , ЯМР ^{- спектроскопии .} и многие другие технические области, где встречаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений .

Обзор

Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность времени .

• Линейность означает, что связь между входом и выходом , которые рассматриваются как функции, представляет собой линейное отображение: если - константа, то выход системы равен ; если это дополнительный вход с системным выходом , то выход системы равен , это применимо ко всем вариантам , , . Последнее условие часто называют принципом суперпозиции . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax(t)}$ ${\displaystyle ay(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle x(t)+x'(t)}$ ${\displaystyle y(t)+y'(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$
• Инвариантность во времени означает, что независимо от того, подаем ли мы входные данные в систему сейчас или через T секунд, выходные данные будут идентичными, за исключением временной задержки в T секунд. То есть, если выход, обусловленный входом , равен , то выход, обусловленный вводом, равен . Следовательно, система инвариантна во времени, поскольку выходной сигнал не зависит от конкретного времени применения входных данных. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t-T)}$ ${\displaystyle y(t-T)}$

Фундаментальный результат теории систем LTI заключается в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать одной функцией, называемой импульсным откликом системы . Выход системы — это просто свертка входных данных системы с импульсной характеристикой системы . Это называется системой непрерывного времени . Аналогично, линейная, инвариантная ко времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, действующая в дискретное время : где y , x и h — последовательности , а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

Связь между временной областью и частотной областью

Системы LTI также могут быть охарактеризованы в частотной области передаточной функцией системы , которая представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или Z-преобразование в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входного сигнала. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспонентами . То есть, если входные данные системы представляют собой комплексный сигнал для некоторой комплексной амплитуды и комплексной частоты , выходной сигнал будет равен некоторой комплексной константе, умноженной на входной сигнал, скажем, для некоторой новой комплексной амплитуды . Отношение является передаточной функцией на частоте . ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$ ${\displaystyle s}$

Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряженными частотами, то если на входе системы является синусоида, то на выходе системы также будет синусоида, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с той же частоты при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут генерировать частотные компоненты, которых нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются «легкими» для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимся во времени и/или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.

Большинство концепций систем LTI схожи в случаях с непрерывным и дискретным временем (линейным, инвариантным к сдвигу). При обработке изображений переменная времени заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется инвариантностью двумерного сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно рассматривать векторы сигналов.

Линейную систему, которая не является инвариантной во времени, можно решить, используя другие подходы, такие как метод функции Грина .

Системы непрерывного времени

Импульсный отклик и свертка

Поведение линейной, непрерывной, постоянной во времени системы с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки: ^[3]

где – реакция системы на импульс : . поэтому пропорциональна средневзвешенному значению входной функции . Весовая функция просто сдвигается на величину . По мере изменения весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Когда все отрицательные значения равны нулю , это зависит только от значений до момента времени , и система называется причинной . ${\textstyle h(t)}$ ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ ${\textstyle h(-\tau )}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$

Чтобы понять, почему свертка дает выходные данные системы LTI, пусть обозначение представляет функцию с переменной и константой . И пусть более короткие обозначения обозначают . Затем система с непрерывным временем преобразует входную функцию в выходную функцию . И вообще, каждое выходное значение может зависеть от любого входного значения. Это понятие представлено: ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ ${\textstyle x(u-\tau )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{y\}}$

$${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$

${\textstyle O_{t}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$

Для линейной системы должно удовлетворяться уравнение 1 : ${\textstyle O}$

И требование неизменности времени:

В этих обозначениях мы можем записать импульсную характеристику как ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Сходным образом:

Подставив этот результат в интеграл свертки:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

которое имеет вид правой части уравнения 2 для случая и ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Тогда уравнение 2 допускает такое продолжение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

Таким образом, входная функция может быть представлена ​​континуумом сдвинутых во времени импульсных функций, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1 . Свойство линейности системы позволяет представить реакцию системы соответствующим континуумом импульсных характеристик , объединенных таким же образом. А свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки. ${\textstyle \{x\}}$

Вышеописанные математические операции имеют простое графическое моделирование. ^[4]

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выходные данные оператора представляют собой масштабированную версию той же функции. То есть,

$${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

fсобственное значение ${\displaystyle \lambda }$

Показательные функции , где , являются собственными функциями линейного , стационарного оператора. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что входной сигнал . Тогда выход системы с импульсной характеристикой будет ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$ ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$

свертки

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}$$

где скаляр

$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

s

Таким образом, ответ системы — это масштабированная версия ввода. В частности, для любого выход системы является произведением входа и константы . Следовательно, – собственная функция системы LTI, а соответствующее собственное значение – . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$

Прямое доказательство

Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давайте зададим некую сложную экспоненту и ее версию со сдвигом по времени. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$линейностью по константе . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$по временной неизменности . ${\displaystyle H}$

Так . Установив и переименовав, получим: ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$ ${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$

${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Преобразования Фурье и Лапласа

Свойство экспоненты как собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа

$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

Преобразование Фурьесистемной функциейответом системыпередаточной функцией ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(j\omega )}$

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений t меньше некоторого значения. Обычно это «время начала» устанавливается равным нулю, для удобства и без потери общности, при этом интеграл преобразования принимается от нуля до бесконечности (показанное выше преобразование с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности формально известно как двустороннее преобразование Лапласа) . трансформировать ).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, которые обрабатывают сигналы, которые имеют бесконечную протяженность, например модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применить к входным и выходным сигналам, которые не интегрируются с квадратом . Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно для этих сигналов, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируются с квадратом, для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера – Хинчина, даже если преобразования Фурье сигналов не существуют.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.

$${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

Можно напрямую использовать отклик системы, чтобы определить, как система обрабатывает тот или иной частотный компонент с помощью этого преобразования Лапласа. Если мы оценим отклик системы (преобразование Лапласа импульсной характеристики) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2 πf , мы получим | ЧАС ( ы )| что является коэффициентом усиления системы для частоты f . Относительный сдвиг фазы между выходом и входом для этой частотной составляющей также определяется arg( H ( s )).

Примеры

• Простым примером оператора LTI является производная .
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (т.е. оно линейно)
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (т. е. оно инвариантно во времени)

  Когда выполняется преобразование Лапласа производной, она преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s .

  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$$
  Тот факт, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, отчасти объясняет полезность этого преобразования.
• Еще один простой оператор LTI — оператор усреднения.
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$$
  По линейности интегрирования
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$$
  оно линейно. Кроме того, поскольку
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$$
  это инвариант времени. Фактически, это можно записать как свертку с функцией boxcar . То есть, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,}$$
  где функция товарного вагона
  $${\displaystyle \Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$$

Важные свойства системы

Одними из наиболее важных свойств системы являются причинность и стабильность. Причинность необходима для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.

Причинность

Система является причинной, если результат зависит только от настоящего и прошлого, но не от будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является

$${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

где импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинность с помощью двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа , требующее причинности. ${\displaystyle h(t)}$

Стабильность

Система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO-стабильная), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый входной сигнал удовлетворяет

$${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

приводит к результату, удовлетворяющему

$${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(т. е. конечное максимальное абсолютное значение влечет за собой конечное максимальное абсолютное значение ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то , что импульсная характеристика находится в L 1 (имеет конечную норму L ¹ ): ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось . ${\displaystyle s=j\omega }$

Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc , не является BIBO-стабильным, поскольку функция sinc не имеет конечной нормы L ¹ . Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот не ограничен. В частности, если входной сигнал равен нулю для и равен синусоиде на частоте среза для , то выходной сигнал будет неограниченным во все времена, кроме пересечений нуля. ^{[ сомнительно ]} ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Получение решения линейных стационарных дифференциальных уравнений

Дана явная линейная система дифференциальных уравнений вида:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t)+b\,u(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}}$

с вектором состояния , матрицей системы , входом , входным вектором и начальным условием . Решение состоит из однородной и частной части. ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

Гомогенный раствор

Однородное дифференциальное уравнение получается путем установки входного сигнала равным нулю.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}}$

Теперь это решение можно описать с помощью представления ряда Тейлора :

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=\phi (t)x_{0}=(E+\phi _{1}t+\phi _{2}t^{2}+...+\phi _{n}t^{n}+...)x_{0}\end{aligned}}}$

где единичная матрица. Подставив это решение в приведенное выше уравнение, получим: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\phi (t)x_{0})&=A\,\phi (t)\,x_{0}\\(\phi _{1}+2\,\phi _{2}\,t+...+n\,\phi _{n}\,t^{n-1}+...)x_{0}&=(A+A\phi _{1}t+A\phi _{2}t^{2}+...+A\phi _{n}t^{n}+...)\,x_{0}\end{aligned}}}$

Теперь неизвестные матрицы можно определить путем сравнения коэффициентов: ${\displaystyle \phi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&=A\\\phi _{2}&={\frac {1}{2}}A\,\phi _{1}={\frac {1}{2!}}A^{^{2}}\\\phi _{3}&={\frac {1}{3}}A\,\phi _{2}={\frac {1}{3!}}A^{3}\\&...\\\phi _{n}&={\frac {1}{n!}}A^{n}.\end{aligned}}}$

Для фундаментальной матрицы обычно используются следующие обозначения : ${\displaystyle \phi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)=e^{At}=E+At+{\frac {1}{2!}}A^{2}t^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}t^{3}+...+{\frac {1}{n!}}A^{n}t^{n}+...\end{aligned}}}$

Частное решение

Полагая и , следует: ${\displaystyle u(t)\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x(t)=A\,x(t)+b\,u(t)\end{aligned}}}$

Частное решение получается в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{p}(t)=\phi (t)\xi (t)=e^{At}\xi (t),\end{aligned}}}$

где – вектор неизвестной функции с . Из приведенных выше двух уравнений следует: ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (0)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x_{p}(t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\xi (t){\frac {d}{dt}}\phi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,\phi (t)\xi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,x_{p}(t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\end{aligned}}}$

Таким образом можно определить: ${\displaystyle \xi (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\xi (t)=\phi ^{-1}(t)bu(t)\\\end{aligned}}}$

Путем интегрирования с использованием свойств фундаментальной матрицы получается:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)\xi (t)&=\phi (t)\int _{0}^{t}\phi ^{-1}(\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}}$

Таким образом, окончательно получаем решение линейного стационарного дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=e^{At}x_{0}+\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}}$

Системы дискретного времени

Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.

Системы дискретного времени из систем непрерывного времени

Во многих контекстах система дискретного времени (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, система цифровой записи принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.

В практических системах получаемые сигналы DT обычно представляют собой версии сигналов CT с однородной выборкой. Если это сигнал CT, то схема выборки , используемая перед аналого-цифровым преобразователем, преобразует его в сигнал DT: ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

Tпериод выборкифильтр Найквиставышечастоты Найквистанакладывается

Импульсный отклик и свертка

Представим последовательность ${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$ ${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

И пусть более короткие обозначения представляют ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Дискретная система преобразует входную последовательность в выходную последовательность. В общем, каждый элемент выхода может зависеть от каждого элемента входа. Представляя оператор преобразования как , мы можем написать: ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}.}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

Обратите внимание: если само преобразование не изменяется с изменением n , выходная последовательность остается постоянной, и система не представляет интереса. (Таким образом, нижний индекс n .) В типичной системе y [ n ] наиболее сильно зависит от элементов x , индексы которых близки к n .

В частном случае дельта - функции Кронекера выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$

$${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

Для линейной системы должно удовлетворяться: ${\displaystyle O}$

И требование неизменности времени:

В такой системе импульсная характеристика полностью характеризует систему. То есть для любой входной последовательности выходную последовательность можно рассчитать с учетом входных данных и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим тождество: ${\displaystyle \{h\}}$

$${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

которое выражается через сумму взвешенных дельта-функций. ${\displaystyle \{x\}}$

Поэтому:

$${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

где мы использовали уравнение 4 для случая и . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$ ${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

И благодаря уравнению 5 мы можем написать:

$${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

Поэтому:

это знакомая формула дискретной свертки. Таким образом, оператор можно интерпретировать как пропорциональный средневзвешенному значению функции x [ k ]. Весовая функция равна h [− k ], просто сдвинутая на величину n . По мере изменения n весовая функция подчеркивает различные части входной функции. Эквивалентно, реакция системы на импульс при n = 0 представляет собой перевернутую «временем» копию несмещенной весовой функции. Когда h [ k ] равно нулю для всех отрицательных k , система называется причинной . ${\displaystyle O_{n}}$

Экспоненты как собственные функции

Собственная функция — это функция, для которой выходным сигналом оператора является та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах,

$${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

где f — собственная функция, а — собственное значение , константа. ${\displaystyle \lambda }$

Показательные функции , где , являются собственными функциями линейного , стационарного оператора. – интервал выборки, и . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Предположим, что входной сигнал . Тогда выход системы с импульсной характеристикой будет ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$ ${\displaystyle h[n]}$

$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

что эквивалентно следующему согласно коммутативному свойству свертки

$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$

$${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

z

Это собственная функция системы LTI, поскольку реакция системы такая же, как входное значение, умноженное на константу . ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle H(z)}$

Z и преобразования Фурье в дискретном времени

Свойство экспоненты как собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Z -преобразование

$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики. ^{[ необходимы разъяснения ]} Особый интерес представляют чистые синусоиды; т.е. экспоненты вида , где . Их также можно записать как [ ^{необходимы разъяснения ]} . Преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) дает собственные значения чистых синусоид ^{[ необходимы пояснения ]} . Обе функции и называются системной функцией , ответом системы или передаточной функцией . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Подобно одностороннему преобразованию Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, т.е. сигналов, которые равны нулю при t<0. Ряд Фурье с дискретным временем преобразования Фурье можно использовать для анализа периодических сигналов.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, дающая выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. То есть,

$${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

Как и в случае с передаточной функцией преобразования Лапласа в системном анализе в непрерывном времени, Z-преобразование упрощает анализ систем и понимание их поведения.

Примеры

• Простым примером оператора LTI является оператор задержки . ${\displaystyle D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (т.е. оно линейно)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]}$   (т. е. оно инвариантно во времени)

  Z-преобразование оператора задержки представляет собой простое умножение на z ⁻¹ . То есть,

  $${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$$
• Еще один простой оператор LTI — оператор усреднения.
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$$
  Ввиду линейности сумм
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$$
  и поэтому оно линейно. Потому что,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$$
  оно также инвариантно во времени.

Важные свойства системы

Характеристики ввода-вывода дискретной системы LTI полностью описываются ее импульсной характеристикой . Двумя наиболее важными свойствами системы являются причинность и стабильность. Некаузальные (во времени) системы можно определить и проанализировать, как указано выше, но их нельзя реализовать в реальном времени. Нестабильные системы также можно анализировать и строить, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой стабильна . ${\displaystyle h[n]}$

Причинность

Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа. ^[5] Необходимым и достаточным условием причинности является

$${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$

^{[ сомнительно ]}область конвергенции ${\displaystyle h[n]}$

Стабильность

Система является стабильной с ограниченным входом и стабильным выходом (BIBO-стабильна), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если

$${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

подразумевает, что

$${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(то есть, если ограниченный ввод подразумевает ограниченный вывод в том смысле, что максимальные абсолютные значения и конечны ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то , что импульсная характеристика удовлетворяет ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

$${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

В частотной области область сходимости должна содержать единичный круг (т. е. геометрическое положение , удовлетворяющее комплексному z ). ${\displaystyle |z|=1}$

Примечания

1. Бессаи, Хорст Дж. (2005). MIMO-сигналы и системы . Спрингер. стр. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
2. Эспанья 2009, с. 78.
3. Кратчфилд, с. 1. Добро пожаловать!
4. Кратчфилд, с. 1. Упражнения
5. Филлипс 2007, с. 508.

Смотрите также

• Циркулянтная матрица
• Частотная характеристика
• Импульсивный ответ
• Системный анализ
• Зеленая функция
• График потока сигналов

Рекомендации

• Филлипс, Кл, Парр, Дж. М. и Рискин, Е. А. (2007). Сигналы, системы и преобразования . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Эспанья, Япония (2009). Теория линейных систем . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), «Радость свертки», Университет Джона Хопкинса , получено 21 ноября 2010 г.
• Вайдьянатан, ПП; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров. Часть I: основы теории систем» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 43 (6): 1090. Бибкод : 1995ИТСП...43.1090В. дои : 10.1109/78.382395.

дальнейшее чтение

• Порат, Боаз (1997). Курс цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN 978-0-471-14961-3.
• Вайдьянатан, ПП; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в банках многоскоростных фильтров. Часть I: основы теории систем» (PDF) . IEEE Транс. Сигнальный процесс . 43 (5): 1090. Бибкод : 1995ИТСП...43.1090В. дои : 10.1109/78.382395.

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI - Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники фазового сдвига – дает интуитивное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических системах LTI.
• JHU 520.214 Конспект курса «Сигналы и системы». Инкапсулированный курс по теории систем LTI. Подходит для самообучения.
• Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот. Амплитудный и фазовый отклик.