Сетка — это представление более крупной геометрической области более мелкими дискретными ячейками. Сетки обычно используются для вычисления решений уравнений с частными производными и визуализации компьютерной графики , а также для анализа географических и картографических данных. Сетка разбивает пространство на элементы (или ячейки или зоны ), по которым могут быть решены уравнения, что затем аппроксимирует решение по более крупной области. Границы элементов могут быть ограничены внутренними или внешними границами в пределах модели. Элементы более высокого качества (лучшей формы) имеют лучшие числовые свойства, где то, что составляет «лучший» элемент, зависит от общих управляющих уравнений и конкретного решения для экземпляра модели.
Обычно используются два типа двумерных ячеек: треугольник и четырехугольник .
Элементы, плохо поддающиеся вычислению, будут иметь острые внутренние углы или короткие края, или и то, и другое.
Эта форма ячейки состоит из 3 сторон и является одним из самых простых типов сетки. Треугольная поверхностная сетка всегда быстро и легко создается. Она наиболее распространена в неструктурированных сетках .
Эта форма ячейки является базовой 4-сторонней, как показано на рисунке. Она наиболее распространена в структурированных сетках.
Четырехугольные элементы обычно исключаются из числа вогнутых.
Базовыми трехмерными элементами являются тетраэдр , четырехугольная пирамида , треугольная призма и гексаэдр . Все они имеют треугольные и четырехугольные грани.
Вытянутые двумерные модели могут быть представлены исключительно призмами и шестигранниками в виде вытянутых треугольников и четырехугольников.
В общем случае четырехугольные грани в 3-х измерениях могут быть не идеально плоскими. Неплоскую четырехугольную грань можно считать тонким тетраэдрическим объемом, который разделяют два соседних элемента.
Тетраэдр имеет 4 вершины, 6 ребер и ограничен 4 треугольными гранями. В большинстве случаев тетраэдральная объемная сетка может быть сгенерирована автоматически .
Четырехугольная пирамида имеет 5 вершин, 8 ребер, ограничена 4 треугольными и 1 четырехугольной гранью. Они эффективно используются в качестве переходных элементов между квадратными и треугольными гранями и другими элементами в гибридных сетках и решетках.
Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер, ограничена 2 треугольными и 3 четырехугольными гранями. Преимущество этого типа слоя в том, что он эффективно разрешает граничный слой.
Кубоид , топологический куб , имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 четырехугольных граней, что делает его типом гексаэдра . В контексте сеток кубоид часто называют гексаэдром , шестигранником или кирпичом . [1] При одинаковом количестве ячеек точность решений в гексаэдральных сетках самая высокая.
Зоны пирамиды и треугольной призмы можно рассматривать вычислительно как вырожденные шестигранники, где некоторые ребра сведены к нулю. Могут быть также представлены и другие вырожденные формы шестигранника.
Многогранный (дуальный) элемент имеет любое количество вершин, ребер и граней. Обычно он требует больше вычислительных операций на ячейку из -за количества соседей (обычно 10). [2] Хотя это компенсируется точностью расчета.
Структурированные сетки определяются регулярной связностью. Возможный выбор элементов — четырехугольник в 2D и шестигранник в 3D. Эта модель очень экономит пространство, поскольку соседние отношения определяются организацией хранения. Некоторые другие преимущества структурированной сетки перед неструктурированной — лучшая сходимость и более высокое разрешение. [3] [4] [5]
Неструктурированная сетка определяется нерегулярной связностью. Ее нельзя легко выразить как двумерный или трехмерный массив в памяти компьютера. Это позволяет использовать любой возможный элемент решателя. По сравнению со структурированными сетками, для которых соседские отношения неявны, эта модель может быть очень неэффективной с точки зрения пространства, поскольку она требует явного хранения соседских отношений. Требования к хранению структурированной сетки и неструктурированной сетки находятся в пределах постоянного множителя. Эти сетки обычно используют треугольники в 2D и тетраэдральные в 3D. [6]
Гибридная сетка содержит смесь структурированных и неструктурированных частей. Она эффективно объединяет структурированные и неструктурированные сетки. Те части геометрии, которые являются регулярными, могут иметь структурированные сетки, а те, которые являются сложными, могут иметь неструктурированные сетки. Эти сетки могут быть неконформными, что означает, что линии сетки не должны совпадать на границах блоков. [7]
Сетка считается более качественной, если более точное решение вычисляется быстрее. Точность и скорость находятся в напряжении. Уменьшение размера сетки всегда увеличивает точность, но также увеличивает вычислительные затраты.
Точность зависит как от ошибки дискретизации, так и от ошибки решения. Для ошибки дискретизации заданная сетка является дискретным приближением пространства и, таким образом, может предоставить только приблизительное решение, даже если уравнения решаются точно. (В трассировке лучей в компьютерной графике количество выпущенных лучей является еще одним источником ошибки дискретизации.) Для ошибки решения для PDE требуется много итераций по всей сетке. Расчет прекращается на ранней стадии, до того, как уравнения будут решены точно. Выбор типа элемента сетки влияет как на дискретизацию, так и на ошибку решения.
Точность зависит как от общего числа элементов, так и от формы отдельных элементов. Скорость каждой итерации растет (линейно) с числом элементов, а число необходимых итераций зависит от локального значения решения и градиента по сравнению с формой и размером локальных элементов.
Грубая сетка может обеспечить точное решение, если решение является константой, поэтому точность зависит от конкретного экземпляра проблемы. Можно выборочно уточнить сетку в областях, где градиенты решения высоки, тем самым увеличивая точность там. Точность, включая интерполированные значения внутри элемента, зависит от типа и формы элемента.
Каждая итерация уменьшает ошибку между вычисленным и истинным решением. Более высокая скорость сходимости означает меньшую ошибку при меньшем количестве итераций.
Сетка низкого качества может упустить важные особенности, такие как пограничный слой для потока жидкости. Ошибка дискретизации будет большой, а скорость сходимости будет нарушена; решение может вообще не сойтись.
Решение считается независимым от сетки, если дискретизация и ошибка решения достаточно малы при достаточном количестве итераций. Это важно знать для сравнительных результатов. Исследование сходимости сетки состоит из уточнения элементов и сравнения уточненных решений с грубыми решениями. Если дальнейшее уточнение (или другие изменения) не приводит к существенному изменению решения, сетка является «Независимой сеткой».
Если точность имеет наибольшее значение, то наиболее предпочтительна гексаэдрическая сетка. Плотность сетки должна быть достаточно высокой, чтобы охватить все особенности потока, но в то же время она не должна быть настолько высокой, чтобы захватывать ненужные детали потока, тем самым нагружая ЦП и тратя больше времени. Всякий раз, когда присутствует стена, сетка, прилегающая к стене, достаточно мелкая, чтобы разрешить поток пограничного слоя, и, как правило, квадратные, шестигранные и призматические ячейки предпочтительнее треугольников, тетраэдров и пирамид. Четырехгранные и шестигранные ячейки можно растягивать, когда поток полностью развит и одномерен.
На основе асимметрии, гладкости и соотношения сторон можно принять решение о пригодности сетки. [8]
Асимметрия сетки является подходящим индикатором качества и пригодности сетки. Большая асимметрия ставит под угрозу точность интерполированных областей. Существует три метода определения асимметрии сетки.
Этот метод применим только к треугольникам и тетраэдрам и является методом по умолчанию.
Этот метод применим ко всем формам ячеек и граней и почти всегда используется для призм и пирамид.
Другой распространенный показатель качества основан на равноугольном смещении.
где:
Асимметрия 0 является наилучшей возможной, а асимметрия 1 почти никогда не является предпочтительной. Для ячеек Hex и quad асимметрия не должна превышать 0,85, чтобы получить достаточно точное решение.
Для треугольных ячеек асимметрия не должна превышать 0,85, а для четырехугольных ячеек асимметрия не должна превышать 0,9.
Изменение размера также должно быть плавным. Не должно быть резких скачков размера ячейки, так как это может привести к ошибочным результатам в соседних узлах.
Это отношение самой длинной стороны к самой короткой в ячейке. В идеале оно должно быть равно 1, чтобы обеспечить наилучшие результаты. Для многомерного потока оно должно быть близко к единице. Также локальные изменения размера ячейки должны быть минимальными, т. е. размеры соседних ячеек не должны отличаться более чем на 20%. Наличие большого соотношения сторон может привести к ошибке интерполяции неприемлемой величины.
См. также генерация сетки и принципы генерации сетки . В двух измерениях переворачивание и сглаживание являются мощными инструментами для адаптации плохой сетки в хорошую сетку. Переворачивание включает в себя объединение двух треугольников для формирования четырехугольника, а затем разделение четырехугольника в другом направлении для получения двух новых треугольников. Переворачивание используется для улучшения показателей качества треугольника, таких как асимметрия. Сглаживание сетки улучшает формы элементов и общее качество сетки за счет регулировки расположения вершин сетки. При сглаживании сетки основные характеристики, такие как ненулевой шаблон линейной системы, сохраняются, поскольку топология сетки остается инвариантной. Сглаживание Лапласа является наиболее часто используемым методом сглаживания.
![{\displaystyle {\text{ Асимметрия (для квадрата) }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{\text{min}}}{90}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3ff77fb6b558ef828248c0c6e1d653d5e770b)
![{\displaystyle {\text{ Равноугольный наклон }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-\theta _{e}}{180-\theta _{e}}},{\frac {\theta _{e}-\theta _{\text{min}}}{\theta _{e}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92570fbd2f1b156eca991dc256663d30f3bb0cd9)
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
Медиа, связанные с Типы сеток на Wikimedia Commons